Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Tiết 41 đến 43

Tiết: 41-43	Ngày soạn: . . . . . . . . . . .
§ 1 NGUYÊN HÀM 
I. MỤC TIÊU:
Về kiến thức:
Hiểu khái niệm nguyên hàm của hàm số trên K.Phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số.
Nắm được các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Về kĩ năng:
Vận dụng bảng nguyên hàm vào các bài toán cụ thể.
Vận dụng được các tính chất, phép toán và các phương pháp tính nguyên hàm.
Về tư duy và thái độ:
Rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt và tính chính xác khi làm toán.Đồng thời cho HS thấy được ứng dụng của toán học trong thực tế.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: 
Ngoài giáo án,đồ dùng dạy học ,bảng phụ. 
Học sinh:
Ngoài đồ dùng học tập như: SGK, bút ,còn có:
Kiến thức cũ về cách hình thành khái niệm đạo hàm,các quy tắc tính đạo hàm, tính chất của hàm lũy thừa.
Kiến thức về : đoạn, khoảng,nửa đoạn,nửa khoảng.
 III. PHƯƠNG PHÁP: 
Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện,chiếm lĩnh tri thức như: thuyết trình ,giảng giải, gợi mở,.Trong đó, phương pháp chính được sử dụng ở đây là đàm thoại gợi mở và giải quyết vấn đề.
IV. TIẾN TRÌNH: 
Ổn định lớp: (1’)
Kiểm tra bài cũ: 
Bài mới
Phần 1: Nguyên hàm và tính chất:
GV: Đặt vấn đề: Biết phương trình của một chuyển động thẳng là: s=f(t) thì phương trình vận tốc của chuyển động là v= f’(t).Vậy ngược lại, biết phương trình vận tốc của chuyển động thẳng v=g(t) thì có biết được phương trình chuyển động đó hay không? Để biết thêm về điều này sau đây chúng ta cùng đi tìm hiểu về nội dung đó chính là nguyên hàm của một hàm số.
Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm:
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
Hãy tìm F(x),biết :
 1)F’(x)=3xvới x
 2) F’(x)=với 
-Yêu cầu học sinh trả lời
-Nhận xét, bổ sung (nếu cần)
-Nếu biết đạo hàm của một hàm số ta có thể suy ngược lại được hàm số “gốc” của đạo hàm ấy
-Hàm số “gốc” ấy được gọi là nguyên hàm của hàm số.
-Cả lớp cùng làm vào nháp sau đó đưa ra câu trả lời theo yêu cầu của GV.
-Đưa ra kết quả
1)F(x)=
 2) F(x)=-cotx 
-Nghe hiểu
Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
-Cho HS phát biểu về điều phát hiện được.
-Yêu cầu HS khác nhận xét.
-Đưa ra nhận xét chung,đi đến định nghĩa như SGK.
-Phát biểu về điều phát hiện được.
-Nhận xét ý kiến trên.
-Định nghĩa nguyên hàm (như SGK).
1.Nguyên hàm:
 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
 Đinh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K.Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) 
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
-Cho HS phát biểu lại định nghĩa nguyên hàm của hàm số
-Yêu cầu HS vận dụng định nghĩa để tìm nguyên hàm ở ví dụ 1
-Cho HS phat biểu cách làm
-Yêu cầu các HS khác nhận xét, bổ sung (nếu cần) 
-Phát biểu lại định nghĩa nguyên hàm của hàm số.
-Vận dụng định nghĩa để tìm nguyên hàm trong ví dụ 1
-phát biểu cách làm
-HS khác nhận xét, bổ sung (nếu cần)
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a)f(x)= 5x
 b)f(x)=
-Kq:
a)F(x)=
b)F(x)=lnx 
Hoạt động 4: Tiếp cận và hình thành định lí
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
-Cho f(x)= 2x-2
Trong các hàm số sau hàm số nào là nguyên hàm của f(x)?
A.F(x)=x-2x
B.F(x)=
C.F(x)=
D.F(x)=
-Cho HS thảo luận sau đó gọi bất kỳ một HS phát biểu cách làm
-Đưa ra nhận xét chung
-Các em có nhận xét gì các nguyên hàm của cùng một hàm số nói trên
-Nhận xét chung: các nguyên hàm của f(x) khác nhau ở hằng số C.
-Đưa ra định lí
-Hướng dẫn HS chứng minh định lí: bằng cách lấy đạo hàm của G(x)đpcm
-Định lí 2: là dạng đảo của định lí 1
-Cho HS đọc nội dung định lí 2 trong SGK.
-Hướng dẫn HS chứng minh: 
Xem G(x) giống F(x), tức G’(x)=f(x),xK.Cần c/m là một hàm số không đổi trên Kđpcm
*Các nguyên hàm tìm được của hàm số f(x) có dạng F(x) + C đgl gì của f(x)?
-Đưa ra nhận xét.
-Họ nguyên hàm của f (x) còn được gọi là tích phân không xác định của f(x) trên K
-Các em có nhận xét gì về biểu thức f(x) dx so với F(x)?
-Nhận xét chung
-Đưa ra chú ý
-Đây là một câu hỏi có tính chất tổng quát HS có thể đưa ra nhiều đáp án khác nhau nhưng mỗi đáp án đều là kết quả đúng.
-Thảo luận sau đó đưa ra cách làm.
-Nhận xét theo cách hiểu của mình.
-Nghe hiểu
-Định lí:1,2 (SGK)
-Đọc nội dung định lí 2
-Phát biểu theo cách hiểu của mình.
-phát biểu theo cách hiểu của mình.
-Định lí : 
 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
*CM: G(x)=F(x)+C
G’(x)=
 =F’(x)+C’=f(x),xK
Suy ra: đpcm
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C,với C là một hằng số.
*CM: SGK
*Nhận xét:Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x)+C, CR là họ tất cả cá nguyên hàm của f(x) trên K.Kí hiệu 
*Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x) vì dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx
Hoạt động 5: Củng cố định lí
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
-Cho HS vận dụng định lí để giải ví dụ 2
-Yêu cầu 3 HS lên bảng giải ví dụ2
HĐ2: Tính chất của nguyên hàm.
HĐTP1: Mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm:
- Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh suy ra tính chất 1 (SGK)
- Minh hoạ tính chất bằng vd và y/c h/s thực hiện.
HĐTP2: Tính chất 2 (SGK)
- Yêu cầu học sinh phát biểu tính chất và nhấn mạnh cho học sinh hằng số K+0
- HD học sinh chứng minh tính chất.
HĐTP3: Tính chất 3
- Y/cầu học sinh phát biểu tính chất.
- Thực hiện HĐ4 (SGK)
(giáo viên hướng dẫn học sinh nếu cần)
- Minh hoạ tính chất bằng vd4 SGK và yêu cầu học sinh thực hiện.
- Nhận xét, chính xác hoá và ghi bảng.
-Vận dụng định lí để giải ví dụ 2
*HS1:a)
*HS2:b)
*HS3:c)
- Phát biểu tính chất 1 (SGK)
- H/s thực hiện vd
- Phát biểu tính chất.
- Phát biểu dựa vào SGK.
- Thực hiện
- Học sinh thực hiện
Vd: 
Với x Є(0; +∞)
Ta có:
∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = 
-3cosx + 2lnx +C
Ví dụ 2:Tính
a) với x
b) với u
c) dt với t 
-KQ:
 a)C, x
 b) lnu +C, u
 c)-cost+ C , t 
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
 ∫f’(x) dx = f(x) + C
Vd3:
∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx + C
Tính chất2:
 ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx
k: hằng số khác 0
C/M: (SGK)
Tính chất 3:
∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx 
C/M: Chứng minh của học sinh được chính xác hoá.
Vd4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞)
Giải:
Lời giải của học sinh đã chính xác hoá
Củng cố:
1. Về kiến thức :
 -Hiểu khái niệm nguyên hàm của hàm số trên K.Phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số
2.Về kỹ năng:
 -Vận dụng định nghĩa, đ ịnh l í nguyên hàm vào gi ải các bài toán cụ thể.
Bài tập về nhà: 
 -Học kĩ bài, vận dụng vào làm các bài liên quan trong SGK .
 -Đọc trước các phần còn lại để tiết sau học tiếp.
Rút kinh nghiệm
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Tieát 42:
IV. TIẾN TRÌNH: 
Ổn định lớp: (1’)
Kiểm tra bài cũ: 
Bài mới
Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp tính nguyên hàm 
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
HĐ5: Phương pháp đổi biến số
HĐTP1: Phương pháp
- Yêu cầu h/s làm hđộng 6 SGK.
- Những bthức theo u sẽ tính được dễ dàng nguyên hàm
- Gv đặt vđề cho học sinh là: ∫(x-1)10dx = ∫udu
Và ∫lnx/x dx = ∫tdt
- HD học sinh giải quyết vấn đề bằng định lý 1(SGKT98)
- HD h/s chứng minh định lý 
- Từ định lý y/c học sinh rút ra hệ quả và phát biểu.
- Làm rõ định lý bằng vd7 (SGK) (yêu cầu học sinh thực hiện)
- Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu nếu tính nguyên hàm theo biến mới.
HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng p2 đổi biến số.
- Nêu vd và y/c học sinh thực hiện. HD học sinh trả lời bằng 1 số câu hỏi 
H1: Đặt u như thế nào?
H2: Viết tích phân bất định ban đầu thẽo?
H3: Tính?
H4: Đổi biến u theo x
- Nhận xét và chính xác hoá lời giải.
- Thực hiện
a/ (x-1)10dx chuyển thành u10du.
b/ lnx/x dx chuyển thành : t
 ─ etdt = tdt
 et
- Phát biểu định lý 1 (SGK/T98)
- Phát biểu hệ quả
- Thực hiện vd7 
Vì ∫sinudu = -cosu + C
Nên: ∫sin (3x-1)dx
= -1/3 cos (3x - 1) + C
- Thực hiện vd:
Đặt u = x + 1
Khi đó: ∫x/(x+1)5dx
= ∫ u-1/u5 du
= ∫1/u4 du - ∫1/u5 du
 1 1 1 1 
= - ─ . ─ + ─ ─ + C
 3 u3 4 u4
 1 1 1 1 
= - ─ . ─ + ─ ─ + C
 3 (x+1)3 4 (x+1)4
 1 1 1 
= ─ [- ─ + ─ ]+ C
(x+1)3 3 4(x+1)
II. Phương pháp tính nguyên hàm 
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý1: (SGK/ T98)
C/M (SGK)
Hệ quả: (SGK/ T98)
∫f(ax+b)dx=1/a F(ax+b) + C 
(a + 0)
VD7: Tính ∫sin (3x -1)dx
* Chú ý: (SGK/ T98)
Vd8 (SGK)
Tính ∫x/(x+1)5 dx
Giải:
Lời giải học sinh được chính xác hoá
Hoạt động 2: củng cố phương pháp đổi biến thông qua các ví dụ
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
- Nêu vd 9; yêu cầu học sinh thực hiện. GV có thể hướng dẫn thông qua 1 số câu hỏi:
H1: Đổi biến như thế nào?
H2: Viết tích phân ban đầu theo u
H3: Tính dựa vào bảng nguyên hàm.
- Từ những vd trên và trên cơ sở của phương pháp đổi biến số y/cầu học sinh lập bảng nguyên hàm các hàm số cấp ở dạng hàm số hợp: dạng: f(u) với u = u (x)
- Học sinh thực hiện
a/ 
Đặt U = 2x + 1
U’ = 2
∫2 e 2x+1 dx = ∫ eu du
= eu + C
= e 2x+1 + C
b/ Đặt U = x5 + 1
U’ = 5 x4
 ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx
= ∫ sin u du = - cos u +c 
= - cos (x5 + 1) + c 
- Học sinh thực hiện
Vd9: Tính 
a/ ∫2e2x +1 dx
b/ ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx
Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá .
- Bảng nguyên hàm 1 số hàm số sơ cấp ở dạng hàm số hợp.
(bảng phụ)
Củng cố:
1. Về kiến thức :
 -Hiểu phương pháp đổi biến số
2.Về kỹ năng:
 -Vận dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
Bài tập về nhà: 
 -Học kĩ bài, vận dụng vào làm các bài liên quan trong SGK .
 -Đọc trước các phần còn lại để tiết sau học tiếp.
Rút kinh nghiệm
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tieát 43
IV. TIẾN TRÌNH: 
Ổn định lớp: (1’)
Kiểm tra bài cũ: 
Bài mới
Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp tính nguyên hàm từng phần
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
HĐ6: Phương pháp nguyên hàm từng phần.
HĐTP1: Hình thành phương pháp.
- Yêu cầu và hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 7 SGK.
- Từ hoạt động 7 SGK hướng dẫn học sinh nhận xét và rút ra kết luận thay u = x và v = cos x.
- Từ đó yêu cầu học sinh phát biểu và chứng minh định lý
- Lưu ý cho học sinh cách viết biểu thức của định lý:
 v’(x) dx = dv
u’(x) dx = du
- Thực hiện:
∫(x cos x)’ dx = x cos + C1
∫cosx dx = Sin x + C2
Do đó: 
∫x sin x dx = - x cosx
+ sin x + C (C = - C1 + C2)
- Phát biểu định lý
- Chứng minh định lý:
 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Định lý 2: (SGK/T99)
∫u (x) v’ (x) dx = u (x) v(x) - ∫u’ (x) v(x) dx
Chứng minh:
*Chú ý: 
∫u dv = u . v - ∫ vdu
Hoạt động 2: củng cố phương pháp đổi biến thông qua các ví dụ
HĐ CỦA GV
HĐ CỦA HS
GHI BẢNG
HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
- Nêu vd 9 SGK yêu cầu học sinh thực hiện. GV có thể hướng dẫn
thông qua các câu hỏi gợi ý:
Đặt u = ?
Suy ra du = ? , dv = ?
Áp dụng công thức tính
- Nhận xét , đánh giá kết quả và chính xác hoá lời giải , ghi bảng ngắn gọn và chính xác lời giải.
- Từ vd9: yêu cầu học sinh thực hiện HĐ8 SGK 
- Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học sinh thực hiện tính khi sử dụng phương pháp nguyeê hàm từng phần ở mức độ linh hoạt hơn.
- GV hướng dẫn học sinh thực hiện tính (lặp lại tính nguyên hàm 1 số lần )
- Nhận xét và chính xác hoá kết quả.
HĐ7: Củng cố:
- Thực hiện vídụ:
a/ Đặt: U = x dv = ex dx
Vậy: du = dx , v = ex
∫x ex dx = x . ex - ∫ ex de - x ex - ex + C
b/ Đặt u = x , dv = cos dx, du = dx , v = sin x 
Do đó:
∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin dx = x sin x + cosx + C
c/ Đặt u = lnx, dv = dx
 du = 1/2 dx , v= x 
Do đó:
∫ lnx dx = xlnx - x + c
- Thực hiện 1 cách dễ dàng.
- Thực hiện theo yêu cầu giáo viên
a/ Đặt u = x2 và dv = cosx dx
ta có: du = 2xdx, v = sin x
do đó: 
∫x2 cosxdx = x2 sin x - ∫2x sin x dx 
Đặt u = x và dv = sin x dx
du = dx , v = - cosx
∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx
= - x cos x + sin x + C
Vậy: kết quả = x2 sin x - 2 (- x cosx + sin x +C)
- Nhắc lại theo yêu cầu của giáo viên. 
VD9: Tính 
a/ ∫ xex dx 
b./ ∫ x cos x dx
c/ ∫ lnx dx.
Giải:
Lời giải học sinh đã chính xác hoá.
VD10: Tính
a/ ∫x2 cos x dx
Giải:
Lời giải của học sinh đã chính xác hoá.
Củng cố:
- Yêu cầu học sinh nhắc lại :
+ Định nghĩa nguyên hàm hàm số 
+ Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đảo biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần .
Bài tập về nhà: 
Nắm vững các cách tính nguyên hàm của hàm số 
Làm các bài tập SGK và SBT.
Rút kinh nghiệm
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .