Giáo án Hình học chương I - Diện tích - Thể tích của khối đa diện

Diện tích - thể tích của khối đa diện
==========
Hình lăng trụ: 
1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a, góc của AB’ với mp (BCC’B’) bằng .
Chứng minh Sxq của lăng trụ bằng .
2. Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với AOB là tam giác vuông cân tại O có BA = a, mặt bên ABB’A’ là hình vuông.
Tính Sxq và V của lăng trụ.
Gọi I là trung điểm AB, là mặt phẳng qua I, vuông góc với AB’. Xác định thiết diện của với lăng trụ và tính diện tích của thiết diện này.
Tính tỉ số thể tích chia lăng trụ.
3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, AA’ = h. Gọi I là trung điểm của AB, J là hình chiếu của I trên AC.
Xác định thiết diện của lăng trụ voéi mp (IJC’).
Tính diện tích thiết diện này.
4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’.
Dựng thiết diện của mp (MNE) với lăng trụ. Chứng minh các mp (MNE), (AA’B’B) vuông góc với nhau.
Tính diện tích thiết diện. 
5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a. bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 mặt bên là a. 
Tính V, Sxq của lăng trụ.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
6. Chiều cao của 1 lăng trụ tứ giác đều là h. Từ 1 đỉnh ta vẽ 2 đường chéo của 2 mặt bên kề nhau, góc của 2 đường chéo ấy bằng .
Chứng minh góc BCA = góc B’CB và tính V lăng trụ.
Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp (ACB’) cắt lăng trụ.
Lăng trụ xiên:
7. Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống mp (ABC) là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và góc BAA’ = 450.
Tính V lăng trụ.
Chứng minh BCC’B’ là hcn.
Tính Sxq của lăng trụ.
8. Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC có tâm O. Hình chiếu của C’ trên (ABC) là O. Tính V của lăng trụ biết rằng k/c từ O đến CC’ là d và số đo nhị diện cạnh CC’ là 2.
9. Một lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên BB’ = a, hình chiếu của B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
Tính góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. Tính V lăng trụ. 
 Chứng minh mặt bên AA’C’C là hcn.
10. Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC có tâm O. Hình chiếu của A’ trên (ABC) là O. Biết k/c từ O đến mặt bên ABB’A’ là d, góc nhị diện cạnh AA’ là 2. 
Chứng minh V lăng trụ đó bằng 
Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có 6 mặt là các hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc H của A’ trên mp (ABCD) nằm trong hình thoi ABCD, các cạnh xuất phát từ A của hình hộp đôi một tạo với nhau góc 
Chứng minh H nằm trên đường chéo AC.
Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’.
Tính V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’
12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Tính góc của mp (A’BD) và mp (ABCD)
Chứng minh AC’ (A’BD)
13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Lấy điểm M trên cạnh BC, mp (MB’D) cắt A’D’ tại N.
Chứng minh NB’MD là hbh.
Chứng minh MN C’D
Gọi H là h/c của A trên MN. Khi M chạy trên đoạn BC, tìm tập hợp điểm H.
14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo là d. Biết CA’ hợp với các mp (ABCD), (ABB’A’) các góc a, b. Chứng minh V hình hộp là: 
V = 
15. Trong các hình hộp cn có cùng V, hình nào có diện tích toàn phần min.
16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh: (BA’C’) // (ACD’) và chia đường chéo B’D thành 3 đoạn bằng nhau.
17. Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương các đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh.
18. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống mp (ABCD) trùng với giao điểm các đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.
Tính góc của cạnh bên và đáy
Tính V và Sxq của hình hộp.
19. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là điểm trên cạnh A’D’ và A’M = x (0 < x < a). Mp (MAC) cắt C’D’ tại N. 
Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó theo a và x.
20. Trong tất cả các hình hộp cn có cùng diện tích toàn phần, hình nào có V max?
21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AA’ và BD’
Điểm M di động trên cạnh AA’. Mp (MBD’) cắt CC’ tại N. Tứ giác BMD’N là hình gì? Xác định điểm M để diện tích tứ giác BMD’N min. Tính Smin đó.
22. Cho hình hộp cn ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, AD = h. M, N lần lượt là 2 điểm trên 2 cạnh AB. BC. Mp (MDD’) cắt A’B’ tại M’, mp (NDD’) cắt B”C’ tại N’ và các mp đó chia hình hộp thành 3 phần có V bằng nhau.
Tính AM, CN theo a, b.
Tính tỉ số V 2 khối đa diện DMND’M’N’ và BMNB’M’N’.
Tìm hệ thức giữa a và b để các mp (DMM’) và (NMM’) vuông góc với nhau.
23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, chiều cao h. Một mp a di động qua A cắt các cạnh bên BB’, CC’ lần lượt tại K, L sao cho tam giác AKL vuông tại K. Tìm đk mà a, h phải thỏa để bài toán có nghĩa. Khi đó tìm max, min của diện tích thiết diện AKL.
24. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thang cân, AB = 2a, CD = a và góc BAD = 600. Trên các cạnh AA’ và BB’ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 2x, BN = 2y. Trên các cạnh DD’ và CC’ lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho DP = x, CQ = y.
Chứng minh MP cắt NQ tại I trên mp (ABCD).
MNPQ là hình gì? Tính các cạnh của tứ giác theo a, x, y.
Tính y theo a và x để MNPQ là hình thang vuông tại M và P. Trong T.H này hãy tính cosin của góc giữa 2 mp ABCD và MNPQ theo a, x.
25. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a, góc của 1 đchéo với đáy là 600. 	
Tính V và Sxq của lăng trụ.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Chứng minh MN, AC’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn và MN AC’. Suy ra hình dạng của thiết diện tạo bởi mp (C’MN) và lăng trụ. Tính diện tích thiết diện.
Tính góc của mp (C’MN) và đáy.
26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Tìm vị trí của 1 điểm M trong không gian sao cho tổng các bình phương các k/c từ M đến các đỉnh của hình hộp min. 
27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có: 
AB = a, AD = b, AA’ = c và BD’ = AC’ = CA’ = 
Chứng minh ABC’D’ là hcn và ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp cn.
Gọi a, b, c là 3 góc tạo bởi 1 đường chéo và 3 mặt cùng qua 1 đỉnh thuộc 1 đ/chéo. Chứng minh: Sin2a + Sin2b + Sin2c = 1. 
28. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có đường chéo bằng a. 
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các đường thẳng AC và DC'
Gọi G là trọng tâm tam giác A’C’D’. Mp (GAC) cắt hình lập phương theo hình gì? Tính diện tích hình này.
Điểm M di động trên cạnh BC. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của A’ trên DM
Hình chóp đều:
29. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên là a, góc ở đáy của mặt bên là a. Chứng minh V của hình chóp là: V = 
30. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b hợp với đáy 1 góc a.
Tính V hình chóp.
Tính Sxq của hình chóp đó.
31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc của đường cao và mặt bên là a, trung đoạn có độ dài là d. Chứng minh Stp của hình chóp là: 
32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l, mặt bên hợp với đáy góc a 
Tính V của hình chóp
Chứng minh rằng V . Với giá trị nào của a thì đẳng thức xảy ra?
33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng a. Gọi O là tâm của mặt đáy. 
Tính Sxq của hình chóp
Chứng minh chiều cao hình chóp bằng: 
Xác định góc a để O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
34. Một hình chóp tam giác đều có trung đoạn d, góc của mặt bên và đáy là a. 
Chứng minh rằng Stp của hình chóp là: 
Hình chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy:
35. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hcn có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc đáy; cạnh bên SC hợp đáy góc a và hợp với mặt bên 1 góc b. 
Chứng minh rằng 
Tính V hình chóp S.ABCD
36. Cho hình chóp S.ABCD có 2 mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy; SA = a, ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200.
Chứng minh 2 tam giác SBC và SDC bằng nhau.
Tính Sxq của hình chóp S.ABCD
Tính V hình chóp S.ABCD, từ đó suy ra k/c từ D đến mp (SBC )
37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn, chiều cao SA = h, 2 mặt bên SBC, SCD lần lượt tạo với đáy các góc a, b. Tính V hình chóp .
38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, B là chân đường cao của hình chóp.
CMR 3 mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông và SC2 = SB2 + BA2 + AC2
Biết SB = h, góc ASC = a và nhị diện cạnh AC là b. Tính V hình chóp theo h, a, b .
38. Cho tứ diện S.ABC với các mặt SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là 24a2, 30a2, 40a2. Hãy tính V tứ diện ấy.
Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy:
39. Cho hình chóp S.ABC có (SBC) vuông góc đáy, 2 mặt bên SAB, SAC cùng hợp đáy góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a.
Chứng minh hình chiếu vuông góc của S lên mặt ABC là trung điểm của cạnh BC.
Tính V của hình chóp S.ABC
40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy.
Tính V hình chóp đó.
Tính góc hợp bởi cạnh bên SC với mặt đáy của hình chóp.
41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình cn với AB = a, BC = b. Mặt bên SBC là tam giác vuông tại S và vuông góc với đáy. Biết góc SBC = a 
Tính V hình chóp 
Tính tổng diện tích các mặt bên SAB, SCD.
Hình chóp cụt:
42. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên là l và hợp với đáy góc a, diện tích đáy lớn bằng 4 lần diện tích đáy nhỏ
Tính V hình chóp cụt.
Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đó
43. Cho biết diện tích 2 đáy của 1 hình chóp cụt là S1, S2. Tính diện tích của thiết diện trung bình (tức là thiết diện qua trung điểm của 1 cạnh bên và // với đáy).
Hình nón:
44. Tính Stp hình nón có đường sinh là l và đường sinh hợp với đáy góc a 
45. Gọi V, V1, V2 là thể tích các vật thể tròn xoay tạo ra bởi 1 tam giác vuông khi quay quanh cạnh huyền và các cạnh góc vuông. Chứng minh rằng:
===================================================================