Giáo án Hình học 12 tiết 47 đến 57

Tuần học thứ: 32 Ngày soạn: 11/4. Tiết chương trình: 47
BÀI 4. KHOẢNG CÁCH_BÀI TẬP
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh phát hiện khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mp, và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 * Học sinh phải vận dụng được các kiến thức trên để giải các bài tập.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoảt âäüng 1. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt mp,
Cho âiãøm M0(x0, y0, z0) vaì màût phàĩng cọ phỉång trçnh:() : Ax + By + Cz + D = 0
Tỉång tỉû nhỉ khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt âỉåìng thàĩng trong mp, ta dãù daìng cm cäng thỉïc tênh khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt mp.
 Nãu cäng thỉïc tênh khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt mp ?
 Tênh khoaíng cạch tỉì M(1, -1, 2) âãún mp:
3x - 5z + 2 = 0 ?
Hoảt âäüng 2. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt dt.
Cho âỉåìng thàĩng qua M0 cọ VTCP Vaì âiãøm M1, ta veỵ , xạc âënh hbh M0M1M2M3, khi âọ: Goüi khoaíng cạch hçnh chiãúu cuía M1 lãn D laì H.
 Khoaíng cạch tỉì M1 âãún D laì gç ? Tênh khoaíng cạch naìy ? 
 d(M1, ) = 
Hỉåïng dáùn hs giaíi bt 6 sgk.
Hoảt âäüng 2. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng khoaíng cạch giỉỵa hai dt chẹo nhau.
Cho hai âỉåìng thàĩng vaì ' chẹo nhau 
qua M0, cọ VTCP vaì ' qua M0' cọ VTCP ', khi âọ veỵ hçnh häüp 
M0M1M2M3. M’0M’1M’2M’3 sao cho: 
.
Goüi H laì chán âỉåìng cao keí tỉì M0. 
 Khoaíng cạch giỉỵa hai âỉåìng thàĩng chẹo nhau D vaì D’ laì gç ? Suy ra cạc cạch tênh thãø têch cuía hçnh häüp naìy ?
Suy ra khoaíng cạch giỉỵa hai âỉåìng thàĩng chẹo nhau 
Hỉåïng dáùn hs giaíi baìi táûp 2.
Bỉåïc 4. Cuíng cäú:
Nàõm vỉỵng cäng thỉïc âãø váûn dủng cho linh hoảt.
Laìm cạc baìi táûp sgk.
* d(M0,()) = 
* Khoaíng cạch: d = 
* Khoaíng cạch laì M1H = = 
* laì âäü daìi âỉåìng cao M0H cuía hçnh häüp 
M0M1M2M3. M’0M’1M’2M’3 laì gç ?
1. Khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mät màût phàĩng:
 Trong khäng gian cho hãû toả âäü Oxyz . Cho âiãøm M0(x0, y0, z0) vaì màût phàĩng cọ phỉång trçnh:
 () : Ax + By + Cz + D = 0
 Khi âọ: d(M0,()) = 
Vê dủ 1. khoaíng cạch tỉì M(1, -1, 2) âãún mp:3x - 5z + 2 = 0 laì:
d = .
2. Khoaíng cạch tỉì mäüt âiãøm âãún mäüt âãún thàĩng:
Cho âỉåìng thàĩng qua M0 cọ VTCP
 Vaì âiãøm M1, ta cọ:
 d(M1, ) = 
Baìi táûp 6/102 : M0(2, 3, 1)
: 
 qua A(-2, 1, -1), cọ VTCP =(1, 2, -2), . Váûy: = = (-8, 10, 6)
=
= = 3 nãn d(d, ) = .
3. Khoaíng cạch giỉỵa hai âỉåìng thàĩng chẹo nhau:
Cho hai âỉåìng thàĩng vaì ' chẹo nhau.qua M0, cọ VTCP vaì ' qua M0' cọ VTCP ', khi âọ: d(,') = 
Baìi táûp ạp dủng: 
	Baìi 2/102: Tçm táûp håüp cạc âiãøm cạch âãưu 2 màût phàĩng
(): 2x - y + 4z + 5 = 0 vaì (b): 3x + 5y - z - 1 = 0
Goüi M(x, y, z), ta cọ:
 d(M, ()) 
.
Tuần học thứ: 32 Ngày soạn: 11/4. Tiết chương trình: 48
BÀI 4. GÓC_BÀI TẬP
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vứng góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
* Học sinh phải vận dụng được các kiến thức trên để giải các bài tập.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoảt âäüng 1. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng.
Giaí sỉí ât d cọ vtcp = (a, b, c) vaì ât d’ cọ vtcp = (a’, b’, c’).
 Nháûn xẹt gç vãư gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng vaì gọc giỉỵa hai vtpt cuía nọ ?
Goüi j laì gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng d vaì d’. 
 cosj = ?
Xẹt vê dủ 1.
 Xạc âënh vtcp cuía hai âỉåìng thàĩng ?
 Ta cọ cosj = ?
Hoảt âäüng 2. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng gọc giỉỵa âỉåìng thàĩng vaì màût phàĩng.
 Nháûn xẹt gç vãư gọc giỉỵa âỉåìng thàĩng vaì màût phàĩng vaì gọc giỉỵa âỉåìng thàĩng âọ vaì hçnh chiãúu cuía nọ trãn màût phàĩng?
Goüi j laì gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng d vaì d’. 
 sinY = ?
 d // (a) hồûc d Ì (a’) Û ?
Hoảt âäüng 3. Hỉåïng dáùn hoüc sinh phạt hiãûn vaì nàõm vỉỵng gọc giỉỵa hai màût phàĩng.
 Nháûn xẹt gç vãư gọc giỉỵa hai màût phàĩng vaì gọc giỉỵa hai vtpt cuía nọ ?
Goüi j laì gọc giỉỵa hai mp.
 cosj = ?
 (a) ^ (a’) Û ?
Hỉåïng dáùn hs giaíi vê dủ 2.
Bỉåïc 4. Cuíng cäú:
Nàõm vỉỵng cäng thỉïc âãø váûn dủng cho linh hoảt.
Laìm cạc baìi táûp sgk.
* Chụng luän bàịng hồûc buì våïi nhau.
* cosj = = 
Âỉåìng thàĩng D cọ vtcp = (3, 1, 4) vaì âỉåìng thàĩng D’ cọ ' = (6, -5, -4). 
. Ta cọ: 
cosj = = .
* Chụng luän phủ nhau.
* 
 (0 £ y £ 900).
* d // (a) hồûc d Ì (a’) Û Aa + Bb + Cc = 0.
* Chụng luän bàịng hồûc buì nhau.
* cosj = = .
* (a) ^ (a’) Û AA’ + BB’ + CC’ = 0.
1. Gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng.
Trong khäng gian våïi hãû toả âäü Âãcạc Oxyz, cho hai âỉåìng thàĩng:
d: cọ vtcp = (a, b, c).
 d’: cọ vtcp = (a’, b’, c’).
Goüi j laì gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng d vaì d’. Ta cọ: 
cosj = = 
Vê dủ 1. Tênh gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng D: vaì âỉåìng thàĩng D’: .
Giaíi. Âỉåìng thàĩng D cọ vtcp = (3, 1, 4) vaì âỉåìng thàĩng D’ cọ ' = (6, -5, -4). Goüi j laì gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng d vaì d’. Ta cọ: 
cosj = = .
2. Gọc giỉỵa âỉåìng thàĩng vaì màût phàĩng.
Trong khäng gian våïi hãû toả âäü Âãcạc Oxyz, cho âỉåìng thàĩng:
d: cọ vtcp = (a, b, c) vaì màût phàĩng 
(a): Ax + By + Cz + D = 0 cọ vtpt = (A, B, C).
Goüi j laì gọc giỉỵa hai âỉåìng thàĩng d vaì d’, d’: laì âỉåìng thàĩng chỉïa . y laì gọc giỉỵa ât d vaì mp(a). Ta cọ:
 (0 £ y £ 900).
Chụ yï: d // (a) hồûc d Ì (a’) Û Aa + Bb + Cc = 0.
3. Gọc giỉỵa hai màût phàĩng.
Trong khäng gian våïi hãû toả âäü Âãcạc Oxyz, 
(a): Ax + By + Cz + D = 0 cọ vtpt = (A, B, C).
(a’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 cọ vtpt ’ = (A’, B’, C’).
Goüi j laì gọc giỉỵa hai mp(a) vaì (a’). Ta cọ: 
cosj = = .
Chụ yï: (a) ^ (a’) Û AA’ + BB’ + CC’ = 0.
Vê dủ 2. Tçm gọc giỉỵa hai mp(a): 2x + 3y - z + 12 = 0, mp(a’): x - 2y - 2z + 7 = 0,
Giaíi. (a):2x + 2y - z + 12 = 0 cọ vtpt = (2, 2, -1).
(a’): x - 2y - 2z + 7 = 0 cọ vtpt ’ = (1, -2, -2).
Goüi j laì gọc giỉỵa hai mp(a) vaì (a’). Ta cọ: 
cosj = = Þ j = 900.
Tuần học thứ: 33. Ngày soạn: 18/4. Tiết chương trình: 49
BÀI 5. MẶT CẦU_BÀI TẬP
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững pt mcc. 
 * Học sinh phải vận dụng được các kiến thức trên để giải các bài tập.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện pt mcc.
Cho điểm I và số R > 0.
 Nhắc lại đn mặt cầu tâm I bk R ?
Giả sử mặt cầu S(I, R), I(a, b, c).
 M(x, y, z) Ỵ (S) Û ? 
 I º O thì sao ?
Xét pt: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 
 Đây có phải là pt mcc không ?
Tương tự cho pt : k( x2+ y2 + z2) + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn hs tìm tâm và bk của mcc.
Xét ví dụ 1. 
 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu này ?
Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện vị trí tương đối của mcc và mp.
 Nhắc lại các vị tí tương đối của mp (a) và mcc (S) ?
Cho mp (a): Ax + By + Cz + D = 0 vàmặt cầu (S): =R2.
Gọi H là hc vg của I(a, b, c) lên mp(a), 
 IH = ?.
 Viết phương trình đường tròn trong (C).
Hướng dẫn hs giải bt 4 sgk.
Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp và mcc.
Làm hết các bài tập agk.
* S(I,R) = {M | IM = R}.
* IM = R Û Û =R2. 
* (1) Û x2 + y2 + z2 = R2.
* Nếu A2 + B2 + C2 - D > 0 thì
 là pt mcc tâm I(-A, -B, -C) bk 
R = 
* pt mcc nếu (A2 + B2 + C2 - kD > 0 ).
* pt: x2 + y2 + z2 + 4x + 8y -2z - 4 = 0Û (x +2)2 + (y + 4)2 + (z -1)2 = 25. 
Vậy mặt cầu có tâm I(-2, -4, 1) và bk R = 5.
* a, IH < R Û (a) (S) = C(H,r), r = .
b, IH = R Û (a) (S) = {H}, H: tiếp điểm, (a): tiếp diện.
c, IH > R Û (a) (S) = þ.
* IH = d(I, (a)) = .
* Phương trình của đường tròn (C) là: .
1. Phương trình mặt cầu.
Giả sử mặt cầu S(I, R), I(a, b, c). M(x, y, z) Ỵ (S) Û IM = R Û Û =R2. (1).
Ptt (1) gọi là pt mặt cầu.
I º O thì: (1) Û x2 + y2 + z2 = R2.
Ngược lại pt: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là pt mcc tâm I(-A, -B, -C) bk R = nếu (A2 + B2 + C2 - D > 0 ).
* k( x2+ y2 + z2) + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là pt mcc nếu (A2 + B2 + C2 - kD > 0 ).
2. Ví dụ. (bt 1a sgk).
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có pt: x2 + y2 + z2 + 4x + 8y -2z - 4 = 0
Giải. Ta có x2 + y2 + z2 + 4x + 8y -2z - 4 = 0 Û (x +2)2 + (y + 4)2 + (z -1)2 = 25. Vậy mặt cầu có tâm I(-2, -4, 1) và bk R = 5.
3. Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mp (a): Ax + By + Cz + D = 0 vàmặt cầu (S): =R2.
Gọi H là hc vg của I(a, b, c) lên mp(a), IH = d(I, (a)) = .
a, IH < R Û (a) (S) = C(H,r), r = .
Phương trình của đường tròn (C) là: .
b, IH = R Û (a) (S) = {H}, H: tiếp điểm, (a): tiếp diện.
c, IH > R Û (a) (S) = þ.
Ví dụ 2. Bài tập 4 sgk. 
Bán kính mặt cầu phải tìm R = d(I, (a)) = = 1.
Vậy mcc phải tìm là: (x +2)2 + (y - 1)2 + (z -1)2 = 1.
Tuần học thứ: 33. Ngày soạn: 11/4. Tiết chương trình: 49-50-51
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong chương III.
 * Học sinh làm lại các dạng toán trong chương III.
* Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bản ... , Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = [;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là: .
Đường thẳng d qua I vuông góc với (a) có pt: .
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (a) có toạ độ (.
Tuần học thứ: 33. Ngày soạn: 19/4. Tiết chương trình: 52-53-54-55-56-57
ÔN TẬP HỌC KÌ II
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY
* Hướng dẫn học sinh ôn tập, hệ thống và củng cố lại các kiến thức đã học trong HKII.
 * Rèn luyện và phát triển tư duy trừu tượng, kĩ năng tính toán cho học sinh.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
* Học đọc bài và soạn bài trước ở nhà.
* Giáo viên nghiên cứu sách giáo khoa + tài liệu có liên quan, chuẫn bị bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
III. Tiến trình bài dạy.
. Ổn định lớp : (1’)
	Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số. 
‚. Kiểm tra bài cũ: (3’) 
l Tiến hành dạy bài mới.
T gian
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
H­íng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®­êng th¼ng, ®­êng trßn vµ ba ®­êng c«nic trong mỈt ph¼ng.
Gäi hs gi¶i bµi tËp 1.
 Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa D lµ g× ?
Suy ra vtpt cđa ®t d ?
VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d lµ g× ?
 §t ®i qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ g× ?
 §t ®i qua hai ®iĨm . Cã vtpt lµ g× ? Suy ra pttq cđa nã ?
XÐt bµi tËp 2.
 §Ĩ x¸c ®Þnh tËp vµ b¸n kÝnh cđa ®­êng trßn 
 ta lµm ntn ?
 T­¬ng tù cho ®­êng trßn 
 ?
Gäi hs gi¶i bµi tËp 3.
XÐt elÝp 
 Ta cã: a = ?, b = ?, c = ?
Suy ra: c¸c tiªu ®iĨm, trơc lín, trơc nhá, 
T©m sai cđa elÝp.
T­¬ng tù cho elÝp: 
Gäi hs gi¶i bµi tËp 4.
XÐt hûpbol: .
 Ta cã: a= ?, b = ?, c = ?
Suy ra tiªu ®iĨm 
 trơc thùc, trơc ¶o, t©m sai cđa hypebol.
T­¬ng tù cho hypebol: 
H­íng dÉn hs «n tËp l¹i c¸c kiÕn thøc vỊ ®­êng th¼ng, mỈt ph¼ng, mỈt cÇu trong kh«ng gian.
Hướng dẫn hs giải bài tập1.
 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi nào ?
 Thể tích tứ diện V = ?
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của có :
Hướng dẫn hs giải bài tậpï 2. 
Trong khäng gian cho hai mp:
 () laì màût phàĩng cọ pt: Ax + By + Cz + D = 0 cọ vtpt = (A; B; C). (’) laì màût phàĩng cọ pt: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 cọ vtpt = (A’; B’; C’).
 () vaì (’) càõt nhau Û ?
 () vaì (’) truìng nhau Û ?.
 () vaì (’) song song Û ?
Gọi hs giải bài tập 2b.
 Mp (b) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng ?
 Mp (g) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng ?
 Hướng dẫn hs giải bài tập3. 
 Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì ?
 vtpt cuía mp (P) laì: ? Suy ra pttq cuía (P).
 Váûy pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: ?
Hướng dẫn hs giải bài tập 4
 Ta có: = ? = ?
 Vậy ta có: [;] = ? Suy ra pt mp(ABC) ?
 4 điểm A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ diện khi nào ?
Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. 
 Ta có điều gì ?
 Bán kính của mặt cầu: R = ?.
Vậy pt mcc cần tìm là ?
 Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = ?
Suy ra ptmp(ABC) ?
Suy ra pt đường tròn ?
[;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Hướng dẫn hs giải bài tập 4d.
Hướng dẫn hs giải bài tập 5 Xác định một điểm và một vtcp của mỗi đường thẳng ?
 Hai đường thẳng này chéo nhau khi nào ?
 Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = ? 
Suy ra pttq mp(P) ?
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
Hướng dẫn hs ôn tập lại góc giữa hai đường thẳng.
Bước 4. Củng cố.
Nắm vững phương trình mcc, giao của mp và mcc.
Làm hết các bài tập sgk.
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa 
Nã cịng chÝnh lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cđa ®­êng th¼ng ph¶i t×m d.
* pt lµ:
 §i qua hai ®iĨm . Ta cã: 
Suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB ®i qua vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:	
* 
VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 5.
*
VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 6.
3/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa elip:
a/. 
Ta cã: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
Trơc lín: 2a = 10. Trơc bÐ: 2b = 
6. T©m sai: 
*
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 10. Trơc ¶o: 2b = 8. T©m sai: .
khi ≠ 0.
* Ta cọ thãø têch tỉï diãûn laì: = .
* âäü daìi âỉåìng cao keí tỉì A laì: = 1.
* () vaì (’) càõt nhau Û A:B:C’:B’:C’.
* () vaì (’) truìng nhau Û.
* () vaì (’) song song Û.
* Dạng: l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0.
* Dạng: 
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0
Hay (2l + m)x+(-l + 3m)y + (l - m)z + (l + 2m) = 0.
* Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì giao tuyãún cuía hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P) chỉïa ât vaì cọ mäüt vtcp laì = (1, 1, 1).
* Vtpt cuía mp (P) laì: .
*pt mp (P) laì: 2x + y - 3z + 1 = 0.
* pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: .
* : =(-4, 0, -2), = (-1, -4, -3),
[;] = (-8, -10, -16).
Khi S Ï (ABC).
* Ta có: Û.
* R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)2 + (y + 3)2 + (x + 5)2 = 9.
* Đường thẳng D1 đi qua M0(-23, -10, 0), có vtcp = (8, 4, 1) và đường thẳng D2 đi qua M0’(3, -2, 0) có vtcp = (2, -2, 1) nên 
* [,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
* Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = [,] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13 = 0.
* Ta có: M(1, -2, 0) Ỵ D2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
I. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong mỈt ph¼ng.
 1/. ViÕt ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng trong mçi tr­êng hỵp sau:
a/. §i qua vµ song song víi ®­êng th¼ng 
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa cịng chÝnh lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cđa ®­êng th¼ng ph¶i t×m d.
Ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng d ®i qua 
vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:
b/. §i qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
Vect¬ ph¸p tuyÕn cđa . Ta cã: 
§­êng th¼ng b ®i qua vµ vu«ng gãc víi (a) sÏ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn cã ph­¬ng tr×nh lµ:
c/. §i qua hai ®iĨm . Ta cã: 
Suy ra: 
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB ®i qua vµ cps vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:	
2/. T×m t©m vµ b¸n kÝnh cđa c¸c ®­êng trßn:
a/. 
	VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 5.
b/. 
	VËy ®­êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh R = 6.
3/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa elip:
a/. 
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
Trơc lín: 2a = 10. Trơc bÐ: 2b = 6. T©m sai: 
b/. 
cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc lín: 2a = 26. Trơc bÐ: 2b = 10. T©m sai: .
4/. T×m täa ®é c¸c tiªu ®iĨm, ®é dµi c¸c trơc vµ t©m sai cđa hypebol:
a/. .
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 10. Trơc ¶o: 2b = 8. T©m sai: .
b/. 
Ta cã: 
Suy ra: 
VËy cã: Tiªu ®iĨm 
 Trơc thùc: 2a = 8. Trơc ¶o: 2b = 6. T©m sai: .
II. Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian.
Bài tập 1. Cho 4 A(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1).
a, Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b, Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
c, Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện.
a) [= -3 ¹ 0 Váûy ba vectå khäng âäưng phàĩng hay A; B; C; D laì 4 âènh cuía mäüt tỉï diãûn. 
b, Goüi a laì gọc tảo båíi hai âỉåìng thàĩng AB vaì CD. Ta cọ: cosa = nãn a = .
Goüi b laì gọc tảo båíi hai âỉåìng thàĩng BC vaì AD. Ta cọ: cosb = .
c, Ta cọ thãø têch tỉï diãûn laì: = .	
Váûy âäü daìi âỉåìng cao keí tỉì A laì: = 1.
Bài 2. Cho hai màût phàĩng: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0. 
a, Cm () vaì (’) càõt nhau.
b, Viãút pt mp (b) qua giao tuyãún cuía () vaì (’) vaì qua M(1, 2, 3).
c, Viãút pt mp (g) qua giao tuyãún cuía () vaì (’) vaì vuäng gọc våïi mp: x – y + 3z – 2 = 0.
Giaíi: a, Ta cọ: 2:-1:1≠ 1:3:-1 nãn hai mp () vaì (’) càõt nhau.
b, Mp (b) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng:
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0.
Vç mp (b) âi qua M(1, 2, 3) nãn 4l + 6m = 0.
Choün l = 3 thç m = -2. Váûy pt mp (b) laì: 4x – 9y – z – 1 = 0.
c, Mp (g) qua giao tuyãún cuía hai mp: (): 2x –y + z + 1 = 0 vaì (’):x + 3y – z + 2 = 0 cọ pt dảng:
l(2x –y + z + 1) + m( x + 3y – z + 2) = 0, l2 + m2 ≠ 0
Hay (2l + m)x+(-l + 3m)y + (l - m)z + (l + 2m) = 0.
Vç mp (g) vuäng gọc våïi mp: x – y + 3z – 2 = 0 nãn 
(2l + m) - (-l + 3m) + (l - m)3 = 0 Û 6l + 4m = 0.
Choün l = 2 thç m = -3. Váûy pt mp (b) laì: x – 11y + 5z – 4 = 0.
Bài tập 3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mp: x + y + z - 1 = 0.
Hçnh chiãúu vuäng gọc cuía âthàĩng âaỵ cho lãn mp: x + y + z - 7 = 0 laì giao tuyãún cuía hai mp x + y + z - 7 våïi mp (P) chỉïa ât vaì cọ mäüt vtcp laì = (1, 1, 1).
Váûy vtpt cuía mp (P) laì: .
Váûy pt mp (P) laì: 2x + y - 3z + 1 = 0.
Váûy pttq cuía âthàĩng cáưn tçm laì: .
Bài 4. Trong không gian cho 4 điểm A(6, -1, -4), B(2, -1, -6), C(5, -5, -7) và S(3, -5, -3).
a) Chứng minh A, B, C, S là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Viết phương trình mcc ngoại tiếp tứ diện.
c) Viết phương trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và mp(ABC).
Giải. a, Ta có: : =(-4, 0, -2), = (-1, -4, -3),
Vậy ta có: [;] = (-8, -10, -16).
Vậy pt mp(ABC): 4x + 5y - 8z - 51 = 0.
Dễ thấy S không thuộc mp này nên 4 điểm A, B, C và D không đồng phẳng.
b, Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D. Ta có: Û.
Bán kính của mặt cầu: R =3.
Vậy pt mcc cần tìm là: (x - 4)2 + (y + 3)2 + (x + 5)2 = 9.
d, Mặt phẳng (ABC) có vtpt: = [;] = (6, 12, 0) đi qua điểm C(2, 0, -1) nên nó có pt: 6x + 12y - 12 = 0 Û x + 2y - 2 = 0.
Vậy đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C có pt là: .
Đường thẳng d qua I vuông góc với (a) có pt: .
Tâm của đường tròn (C) có tâm là giao điểm của d và (a) có toạ độ (.
Bài 5. Trong không gian cho hai đường thẳng: D1: 
và D2:.
a, Chứng minh D1 và D2 chéo nhau.
b, Viết phương trình mp(P) chứa D1 và song song với D2.
c, Tính khoảng cách giữa D1 và D2.
d, Viết phương trình mặt phẳng D song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2.
Giải. a, Đường thẳng D1 đi qua M0(-23, -10, 0), có vtcp = (8, 4, 1) và đường thẳng D2 đi qua M0’(3, -2, 0) có vtcp = (2, -2, 1) nên dễ thấy:
[,]. ≠ 0 nên hai đường thẳng này chéo nhau.
b, Mặt phẳng (P) đi qua D1 và song song với D2 nên nó có vtpt = [,] = (6, -6, -24).
Vậy pttq mp(P) là: x - y -4z +13 = 0.
c, Ta có: M(1, -2, 0) Ỵ D2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là: d = d(M, D1) = .
Bài tập làm thêm: 
Bài 1. Cho hai mp(a) và mp(b) có pt: (a): 2x - y + 3z + 1 = 0, 
(b): x + y - z + 5 = 0. và điểm M(1, 0, 5).
a, Tính khoảng cách từ M đến giao tuyến d của (a) và (b).
b, Tính góc giữa hai mp(a) và (b).
c, Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp (a) và (b), vuông góc với mp: 3x - y + 1 = 0.
d, Viết phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với giao tuyến của (a) và (b) và cắt giao tuyến ấy.