Giáo án Hình học 12 tiết 16 đến 19

 Ngày dạy : / /
Tiết 16 Bài 6. Đường tròn.
I Mục tiêu bài dạy. Qua bài học, học sinh cần nắm : 
1/ Kiến thức : Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững phương trình của đường tròn, phương tích của một điểm đối với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn.
2/ Kỹ năng : Tính toán với các con số, lập phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.
3/ Tư duy : Lôgic, quy lạ về quen, óc quan sát, tưởng tượng.
4/ Thái độ : cẩn thận, chính xác
 II Phương tiện : 1/ Thực tiễn : học sinh đã học khái niệm đường tròn ở cấp 2
 2/ Phương tiện : Giáo án, SGK.
 III Phương pháp : Vấn đáp.
IV Tiến trình bài dạy.
1/ Kiểm tra bài cũ : Không.
2/ Bài mới : 
tg
Hoạt động của Thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động1 Hướng dẫn học sinh phát hiện lập phương trình đường tròn. Xác định tâm và bán kính của một đường tròn.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) tâm 
I(a, b) bán kính R.
 M(x, y) (C) ?
Vậy phương trình đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:
 (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) 
 Khi I O(0, 0) thì phương trình đường tròn là gì ?
 Ngược lại mỗi phương trình dạng x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có phải là phương trình của một đường tròn hay không ?
Xét ví dụ a.
 Xác địng tâm và bán kính của đường tròn này ?
 Xác định tâm và bán kính của đường tròn đường kính AB .
 Gọi là đường thẳng đi qua
 A(-1, 0) và có véctơ pháp tuyến = (A, B). 
 Phương trình tổng quát của đường thẳng là gì ?
Ax + By + A = 0.
 tiếp xúc với đường tròn (C) khi nào ? Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến của đường tròn ? 
Bước 4. Củng cố dặn dò.
 * Nắm vững hai dạng phương trình của đường tròn, cách xác định tâm và bán kính của dtr.
 * Làm các bài tập 1 5 sgk
* M(x, y) (C) IM = R IM2 = R2 
(x - a)2 + (y - b)2 = R2x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
* Khi I O(0, 0) thì phương trình đường tròn là:
 x2 + y2 = R2
Ngược lại, 
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (2)
 x2 + y2 + 2Ax + 2By + A2 + B2 + C = A2 + B2 - C 
(x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C 
 Nếu A2 + B2 - C > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm 
I(-A, -B), bán kính R = .
* x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 
(x - 2)2 + (y + 1)2 = 32
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm (2, -1) bán kính bằng 3.
* Tâm của đường tròn đường kính AB với A(a1, b1), B(a2, b2) là trung điểm của AB, bán kính là AB.
* Phương trình tổng quát của đường thẳng là: Ax + By + A = 0.
* tiếp xúc với đường tròn (C) d(I, ) = R = 5 9A2 - 24AB + 16B2 = 
25(A2 + B2) 16A2 + 24AB + 9B2 = 0 A = -B.
Chọn B = 4 A = -3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 3x - 4y + 3 = 0. 
1. Phương trình của đường tròn Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R.
M(x, y) (C) IM = R IM2 = R2 
(x - a)2 + (y - b)2 = R2x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0
Phương trình đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:
 (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) 
* Khi I O(0, 0) thì phương trình đường tròn là:
 x2 + y2 = R2
Ngược lại, ta xét phương trình:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (2)
 x2 + y2 + 2Ax + 2By + A2 + B2 + C = A2 + B2 - C 
 (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C .
 Nếu A2 + B2 - C > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(-A, -B), bán kính R = .
Vậy phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với 
A2 + B2 - C > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm 
I(-A, -B), bán kính R = .
2. Ví dụ a, Xác định tâm và bán kính của đường tròn 
x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0.
Giải. x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 (x - 2)2 + (y + 1)2 = 32
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm 
(2, -1) bán kính bằng 3.
 b, Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(a1, b1), B(a2, b2).
Giải. Gọi I là tâm đường tròn cần tìm và bán kính là R.
Toạ độ điểm I(, ), bán kính 
R = .
Vậy phương trình đường tròn:
(x - )2 + (y - )2 = .
 c, Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 
x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 đi qua A(-1, 0).
Giải. Tâm của đường tròn (C) x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 là
I(2, -4) và bán kính R = 5.
Gọi là đường thẳng đi qua A(-1, 0) và có véctơ pháp tuyến = (A, B). Phương trình tổng quát của đường thẳng là:
Ax + By + A = 0.
 tiếp xúc với đường tròn (C) d(I, ) = R 
= 5 9A2 - 24AB + 16B2 = 25(A2 + B2)
 16A2 + 24AB + 9B2 = 0 A = -B.
Chọn B = 4 A = -3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 3x - 4y + 3 = 0. 
Ngày dạy : / /
Tiết 17 Bài 6. Đường tròn.
I Mục tiêu bài dạy. Qua bài học, học sinh cần nắm : 
1/ Kiến thức : Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững phương trình của đường tròn, phương tích của một điểm đối với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn.
2/ Kỹ năng : Tính toán với các con số, tính phương tích.
3/ Tư duy : Lôgic, quy lạ về quen, óc quan sát, tưởng tượng.
4/ Thái độ : cẩn thận, chính xác
 II Phương tiện : 1/ Thực tiễn : học sinh đã học khái niệm đường tròn ở cấp 2
 2/ Phương tiện : Giáo án, SGK.
 III Phương pháp : Vấn đáp.
IV Tiến trình bài dạy.
1/ Kiểm tra bài cũ : Nêu khái niệm phương trình đường tròn ? Phương tích của một điểm đối với đường tròn ? Trục đẳng phương của hai đường tròn ?.
2/ Bài mới : 
tg
Hoạt động của Thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững công thức tính trục đẳng phương của hai đường tròn. 
Cho đường tròn (C) có phương trình: F(x, y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (với A2 + B2 - C > 0) và một điểm M0(x0, y0). 
 Xác định tâm và bán kính của đường tròn ?
 Phương tích của điểm M0 đối với đường tròn (C) là gì ?
 Tính phương tích của điểm M(2, 1) đối với đường tròn 
(C): x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = 0 ?
Phương tích của điểm M(2, 1) đối với đường tròn (C) là: 
P M/(C) = 4 + 1 + 4 - 2 - 1 = 6.
Hoạt động 2. Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững phương trình của trục ẳng phương của hai đường tròn.
 Nhắc lại định nghĩa trục đẳng phương của hai đường tròn ?
 Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) lần lượt có phương trình:
x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0
x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0
 Xác định tâm và bán kính của đường tròn ?
 Điểm M(x, y) có cùng phương tích đối với hai đường tròn khi nào ?
Vì hai đường tròn không đồng tâm nên A1 - A2 và B1 - B2
Không đồng thời bằng 0.
Vậy (3) là một đường thẳng, đó chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 Xác định trục đẳng phương của hai đường tròn
 (C): x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = 0 
 (C’): x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0
Bước 4. Củng cố dặn dò.
 * Nắm vững phương tích của một điểm đối với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn..
 * Làm các bài tập 6 7 sgk
* Tâm và bán kính của đường tròn là: tâm I(-A, -B), bán kính 
R = .
* Phương tích của điểm M0 đối với đường tròn (C) là: 
P M0/(C) = M0I2 - R2 = (x0 + A)2 + (y0 + B)2 - A2 - B2 + C = 
 = x + y + 2Ax0 + 2By0 + C = F(x0, y0).
* Phương tích của điểm M(2, 1) đối với đường tròn (C) là: 
P M/(C) = 4 + 1 + 4 - 2 - 1 = 6.
* Cho hai đường tròn không đồng tâm (I, R) và (I’, R’). Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn (I, R) và (I’, R’) là một đường thẳng, đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của hai đường thẳng.
 * Tâm và bán kính của đường tròn (C1) là: tâm I1(-A1, -B1), bán kính 
R1 = .
Tâm và bán kính của đường tròn (C2) là: tâm I2(-A2, -B2), bán kính
R2 = .
* M(x, y) có cùng phương tích đối với hai đường tròn 
 P M/(C1) = P M/(C2) = x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 
 2(A1 - A2)x - 2(B1 - B2)y + C1 - C2 = 0.
* P M/(C) = P M/(C’) x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = x2 + y2 + 4x - 2y - 10 2x - 4y - 9 = 0.
Vậy trục đẳng phương của hai đường tròn là: 2x - 4y - 9 = 0
3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.
 Cho đường tròn (C) có phương trình:
F(x, y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (với A2 + B2 - C > 0) và một điểm M0(x0, y0). Tâm và bán kính của đường tròn là: tâm I(-A, -B), bán kính R = .
Phương tích của điểm M0 đối với đường tròn (C) là: 
P M0/(C) = M0I2 - R2 = (x0 + A)2 + (y0 + B)2 - A2 - B2 + C = 
 = x + y + 2Ax0 + 2By0 + C = F(x0, y0).
Vậy phương tích của điểm M0(x0, y0) đối với đường tròn (C) là: 
P M0/(C) = F(x0, y0) = x + y + 2Ax0 + 2By0 + C
ví dụ. Tính phương tích của điểm M(2, 1) đối với đường tròn 
(C): x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = 0.
Phương tích của điểm M(2, 1) đối với đường tròn (C) là: 
P M/(C) = 4 + 1 + 4 - 2 - 1 = 6.
4. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
 Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0
(C2) : x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0
M(x, y) có cùng phương tích đối với hai đường tròn 
x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 
 2(A1 - A2)x - 2(B1 - B2)y + C1 - C2 = 0 (3)
Vì hai đường tròn không đồng tâm nên A1 - A2 và B1 - B2
Không đồng thời bằng 0.
Vậy (3) là một đường thẳng, đó chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
ví dụ. Xác định trục đẳng phương của hai đường tròn
 (C): x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = 0 
 (C’): x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0
Gọi M(x, y).
P M/(C) = P M/(C’) x2 + y2 + 2x - 2y - 1 = x2 + y2 + 4x - 2y - 10 2x - 4y - 9 = 0.
Vậy trục đẳng phương của hai đường tròn là: 2x - 4y - 9 = 0.
Ngày dạy : / /
Tiết 18 Bài tập Đường tròn.
I Mục tiêu bài dạy. Qua bài học, học sinh cần nắm : 
1/ Kiến thức : Củng cố : phương trình của đường tròn, phương tích của một điểm đối với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn.
2/ Kỹ năng : Thành thạo trong lập phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính đường tròn, lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
3/ Tư duy : Lôgic, quy lạ về quen, óc quan sát, tưởng tượng.
4/ Thái độ : cẩn thận, chính xác
 II Phương tiện : 1/ Thực tiễn : học sinh đã học các kiến thức trên và bước đầu dạy học.
 2/ Phương tiện : Giáo án, SGK.
 III Phương pháp : Vấn đáp – Luyện tập.
IV Tiến trình bài dạy.
1/ Kiểm tra bài cũ : Nêu khái niệm phương trình đường tròn ? Phương tích của một điểm đối với một đường tròn ? 
2/ Bài mới : 
tg
Hoạt động của Thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững quỹ tích một điểm là một đường tròn. 
* Gọi học sinh giảI bài tập 1.
 Ta có MA = ? MB = ?.
Suy ra MA2 + MB2 = ?
 Quỹ tích của điểm M
thoả mãn x2 + y2 - 10x - 8y = 0
 Từ phương trình (x + 25)2 + (y + 19)2 = 600 - k2 ta kết luận gì về quỹ tích điểm M ?
Hoạt động 2. Hướng dẫn học sinh xác định tâm và bk của các đường tròn.
 Xác định tâm và bk của đường tròn 
x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 ? 
Tương tự cho các câu còn lại.
Hoạt động 3. Hướng dẫn học sinh xác định phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi I(a, b) và R là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
 Điểm I(a, b) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi nào ?
Hoạt động 4. Hướng dẫn học sinh viết phương trình của một tiếp tuyến với một đường tròn.
 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi nào ?
 Nhận xét gì về điểm A với đường tròn đã cho ?
Suy ra cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua A ?
 Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua B ta làm như thế nào ?
 Gọi D là đường thẳng vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0. Khi đó đường thẳng D có VTPT là gì ?
Hướng dẫn học sinh giải bài tập 6, 7 sgk.
Bước 4. Củng cố dặn dò.
 * Nắm vững cách xác định tâm và bán kính của một đường tròn, cách viết phương trình tiếp tuyến của một đường tròn.
 * Làm các bài tập sgk còn lại.
MA2 + MB2 = 20 (x - 1)2 + (y - 1)2 + (x - 9)2 + (y - 7)2 = 20 
x2 + y2 - 10x - 8y = 0.
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm I(5, 4) Bk R = .
 * k < thì quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm 
I(-25, -19) Bk R = .
k = thì M I.
k > thì quỹ tích của điểm M là tập rỗng.
 * x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 
 (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2.
Vậy đường tròn có tâm I(1, 1) và BK R = 2.
* Điểm I(a, b) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi:
.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi d(I, d) = R, I và R là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Điểm A nằm trên đường tròn, nên tiếp tuyến của đường tròn đã cho đI qua A là một đường thẳng qua A và có VTPT là .
Gọi VTPT của đt D là = (a, b). Ta có PTTQ của đt D là: 
a(x - 3) + b(y + 1) = 0, từ đó xác định a và b.
Gọi D là đường thẳng vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0, đường thẳng D có VTPT = (2, -1).
Bài tập 1. Gọi M(x, y).
a, Ta có: MA2 + MB2 = 20 (x - 1)2 + (y - 1)2 + (x - 9)2 + (y - 7)2 = 20 x2 + y2 - 10x - 8y = 0.
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm I(5, 4) Bk R = .
b, Ta có: 2MA2 - 3MB2 = k2 2[(x - 1)2 + (y - 1)2] - 3[(x - 9)2 + (y - 7)2 ] = 20 x2 + y2 + 50x + 38y 386 + k2 = 0 
(x + 25)2 + (y + 19)2 = 600 - k2.
 * k < thì quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm 
I(-25, -19) Bk R = .
k = thì M I.
k > thì quỹ tích của điểm M là tập rỗng.
Bài tập 2.
a, x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2.
Vậy đường tròn có tâm I(1, 1) và BK R = 2.
b, 16x2 + 16y2 + 16x - 8y = 11 (x +)2 + (y - )2 = 1.
Vậy đường tròn có tâm I(-,) và BK R = 1.
Bài tập 3. Gọi tâm và BK của đường tròn đI qua A, B, C là I(a, b) và R. Khi đó ta có:
. Suy ra R = IA = .
Vậy phương trình đường tròn là: (x - 3)2 + (y+)2 = .
Bài tập 5. 
 Ta có: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 (x - 2)2 + (x + 4)2 = 25.
 a, Vậy tâm của đường tròn là I(2, -4) và Bk R = 5.
 b, Dễ thấy A( -1, 0) thuộc vào đường tròn nên phương trình tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng đi qua A và có VTPT là = (3, -4). Vậy PTTT của đường tròn qua A là: 3x - 4y + 3 = 0.
 c, Dễ thấy điểm B(3, -1) không thuộc vào đường tròn. Gọi VTPT của đt D là = (a, b). Ta có PTTQ của đt D là: 
a(x - 3) + b(y + 1) = 0 Û ax + by - 3a + b = 0.
Đt D tiếp xúc với đường tròn Û d(I, D) = R Û Û 12a2 - 12b2 + 7ab = 0.
Chọn a = 1 suy ra b = hoặc b = . Vậy có hai tiếp
tuyến với đường tròn là: 4x - 3y - 45 = 0 và 3x + 4y + 35 = 0.
 d, Gọi D là đường thẳng vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0. Khi đó đường thẳng D có VTPT = (2, -1). PTTQ của đường thẳng D là : 2x - y + c = 0.
D tiếp xúc với đường tròn Û d(I, D) = R Û c = --8 hoặc 
c = - + 8.
Vậy ta có hai tiếp tuyến với đường tròn là : 2x - y - - 8 = 0 hoặc 2x - y + - 8 = 0.
 Ngày dạy : / /
 Tiết 19 Bài 7. elíp.
I Mục tiêu bài dạy. Qua bài học, học sinh cần nắm : 
1/ Kiến thức : Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững định nghĩa và phương trình chính tắc của elíp, hình dáng của elíp.
2/ Kỹ năng : Thành thạo trong lập phương trình elip, xác định các yếu tố của elip, lập phương trình elip.
3/ Tư duy : Lôgic, quy lạ về quen, óc quan sát, tưởng tượng.
4/ Thái độ : cẩn thận, chính xác
 II Phương tiện : 1/ Thực tiễn : học sinh làm quen với hình dạng elip qua các môn học.
 2/ Phương tiện : Giáo án, SGK, hình vẽ elip.
 III Phương pháp : Vấn đáp .
IV Tiến trình bài dạy.
1/ Kiểm tra bài cũ : Nêu công thức tính khoảng cách giưã hai điểm A( xA, yA ), B( xB, yB ) ?
2/ Bài mới : 
Thời
Gian
Hoạt động của Thầy
Hoạt động của trò
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững khái niệm elíp.
Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0. Lấy một vòng dây quấn quanh hai điểm F1F2. Ta căng dây ra rồi quay quanh hai điểm đó để vạch nên một đường. Đường đó gọi là Elíp.
GV đưa ra khái niệm Elíp.
Hoạt động 2. Hướng dẫn học sinh phát hiện phương trình chính tắc của elíp.
Giả sử elíp (E) gồm những điểm M sao cho: MF1 + MF2 = 2a. Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F1(-c, 0) và F2(c, 0) M(x, y).
 Ta có MF12 = ? 
 MF22= ?
Suy ra: MF12 - MF22= ? MF12 + MF22 = ?
 M ẻ(E) Û ?
Thay vào và tính ta được PTCT của elíp là 
 (với b2 = a2 - c2).
 Từ MF12 - MF22 = 4cx 
 MF1 + MF2 = 2a suy ra MF1 , MF2 ?
Củng cố: Nắm vững khái niệm elíp, phương trình chính tắt của elíp, công thức tính bán kính qua tiêu điểm.
y
F2
F1
O
x
MF12 = (x + c)2 + y2, 
MF22 = (x - c)2 + y2.
Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. 
MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2)
M ẻ(E) Û MF1 + MF2 = 2a
Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là: .
1. Định nghĩa. 
 Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0.
Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a (a là số không đổi lớn hơn c) gọi là một elíp.
F1, F2: tiêu điểm của elíp. Khoảng cách 2c: tiêu cự.
M thuộc elíp thì MF1, MF2 gọi là các bán kính qua tiêu điểm.
2. Phương trình chính tắc của elíp.
Giả sử elíp (E) gồm những điểm M sao cho: MF1 + MF2 = 2a.
Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F1(-c, 0) và F2(c, 0). 
" M, ta có: MF12 = (x + c)2 + y2, 
 MF22 = (x - c)2 + y2.
Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. 
MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2)
Để ý |MF1 - MF2| Ê 2c < 2a nên (MF1 - MF2)2 - 4a2 ≠ 0.
M ẻ(E) Û MF1 + MF2 = 2a Û (MF1 + MF2 )2 = 4a2 Û
(MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 - 4a2] = 0 Û
(MF12 - MF22)2 - 8(MF12 + MF22) + 16a2 = 0 Û
16c2x2 - 16a2(x2 + y2 + c2) + 16a4 = 0 Û x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2) Û Û (với b2 = a2 - c2).
Phương trình: (với b2 = a2 - c2) gọi là phương trình chính tắc của elíp.
Chú ý: a, Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là: .
 b, Nếu chọn F1(0, -c) và F2 (0, c) thì elíp có phương trình là .