Giáo án Hình học 12 - Phương trình đường thẳng (7 tiết)

§ 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (7 tiết)
A. Mục tiêu : Yêu cầu học sinh
- Nắm chắc 2 dạng phương trình đường thẳng 
PT tổng quát. Và PT tham số (chính tắc)
Biết cách chuyển từ PT dạng này sang dạng kia.
- Biết cách xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng, vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Biết cách viết phương trình đường thẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước.
B. Nội dung bài giảng :
 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
 Trong không gian Oxyz ta xem
 Ax + By + Cz + D = 0
 A’x + B’y + C’ z + D’ = 0
 A2 + B2 + C2 > 0;
 A’2 + B’2 + C’2 >0 
 và A : B : C ≠ A’: B’:C’
 d = (a’) Ç ( b). Xét hệ phương trình.
Hệ PT trên gọi là PT tổng quát của đường thẳng (d) :
HĐ1 : Cho hệ PT : 
 2x – y + z – 1 = 0
 x + y = 0
a) CMR đó là PT tổng quát của đường thẳng.
b) Tìm tọa độ 2 điểm nằm trên đường thẳng tìm 1 VTCP.
c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đó với các mp tọa độ.
2. PT tham số và PT chính tắt của đường thẳng :
a). Phương trình tham số :
 Trong không gian Oxyz (d) qua M(x0 ; y0 ; z0) và có VTCP a2 + b2 + c2 > 0
Lấy M(x ; y ; z) Ỵ (d) Û 
 x = x0 + ta
 y = y0 + tb (1)
 z = z0 + tc
 a2 + b2 + c2 > 0
Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
HĐ2 : Cho đường thẳng (d) có PTTS
 x = 1 – 2t
 y = 2 + t
 z = 2t
a). Hãy tìm tọa độ 1 VTCP của (d). 
b). Xác định tọa độ của các điểm thuộc (d) ứng với 
t = 0 ; t = 1 ; t = -2. 
c). Trong các điểm A(5 ;0 ;-4) ; B(-3 ;4 ;2) ; C(0 ;2,5 ;1)  điểm nào thuộc (d).
b). Phương trình chính tắc :
* Xét đường thẳng (d) có PTTS (1) 
Với abc ≠ 0, bằng cácch khử t từ các phương trình của hệ (1), ta được :
PT (2) gọi là PT chính tắc của d đi qua M(x0 ;y0 ;z0) và có VTCP 
Ví dụ 1 : Cho 2 đường thẳng d1 và d2 có PT :
d1 : 2x + 2y + z – 4 = 0
 2x – y – z + 5 = 0
d2 : 
a) Viết PTTS và PTCT của d1
b) Viết PTCT và PTTQ của đường thẳng d3 đi qua M(1 ;-1 ;2) vuông góc với cả d1 và d2.
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :
 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (a) có phương trình :
 x = x0 + at
 d : y = y0 + bt (t Ỵ R) (a):Ax+By+ Cz + D = 0
 z = z0 + ct
 Xét vị trí tương đối giữa d và (a)
- Xét hệ phương trình : PT của d
 PT của a
- Thay các giá trị a, y, z của d vào PT (a) ta có : 
(Aa + Bb + Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (*)
Mỗi nghiệm của (*) ứng với 1 giao điểm của d và (a) 
TH1 : Aa + Bb + Cc = 0 . 
 PT (*) có 1 N0 duy nhất Þ d cắt (a)
TH2 : Aa + Bb + Cc = 0 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (M0 Ï a)
 PT (*) VN Þ d// (a)
TH3 : Aa + Bb + Cc = 0 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 
 PT (*) VSN Þ dÌ (a) 
HĐ3 : Cho đường thẳng d qua điểm Mo(xo ; yo ; zo) có VTCP  ; mặt phẳng có VTPT là . Ta có :
 + Û d và cắt nhau
 + Û d // 
 + Û d 
Ví dụ 2 : Trong không gian Oxyz, với mỗi số m, xét đường thẳng dm có phương trình :
Với gia trị nào của m đường thẳng dm : cắt mp(Oxy), song song với mp(Oxy), nằm trên mp(Oxy) ?
Giải :
CÁCH 1 : mp(oxy) : z = 0. Kết hợp với phương trình của dm ta được : 1 – m +( 1 – m2) t = 0 (*)
* Nếu 1 – m2 ¹ 0 , tức là m ¹ 1 : (*) có nghiệm duy nhất Þ dm cắt mp(Oxy)
* Nếu m = 1 thì (*) có vô số nghiệm Þ d1 nằm trên mp(Oxy)
* Nếu m = –1 thì (*) vô nghiệm Þ d1 song song với mp(Oxy)
CÁCH 2 : 
dm đi qua I(1 ; m ; 1 – m) có VTCP , mp(Oxy) có VTPT 
* Nếu 1 – m2 ¹ 0 , tức là m ¹ 1 thì Û dm cắt mp(Oxy)
* Nếu m = 1 thì và d1 đi qua 
I(1 ; 1 ; 0) Ỵmp(Oxy) nên d1 nằm trên mp(Oxy)
* Nếu m = –1 thì và d-1 đi qua 
I(1 ; 1 ; 0) không nằm trên mp(Oxy) nên d-1 song song với mp(Oxy)
Chú ý : (SGK trang 93)Nếu đường thẳng d được cho bởi phương trình tổng quát thì ta có thể làm một trong hai cách sau :
* Đưa phương trình d về dạng tham số rồi giải như trên.
* Kết hợp phương trình tổng quát của d và phương trình của mp () ta được hệ ba phương trình ba ẩn. Giải hê phương trình đó ta biết về vị trí tương đối của d và mp ().
4). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
Trong không gian cho đường thẳng d và d’ lần lượt có VTCP là và qua M và M’
* Û d và d’ chéo nhau
* d và d’ cắt nhau
* 
* 
Ví dụ 3 : Cho hai đường thẳng :
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dmvà d’m tùy theo giá trị của m.
Giải :
dm có VTCP và qua M(1 ; m ; 1 – m)
d’m có VTCP và qua M’(m; 0 ; 1 – m)
=(3m+2 ; 6 – m ; m2 + 4)
Þ 
+ Nếu m ¹ 2 và m ¹ -1/4 : dm, d’m chéo nhau
+ Nếu m = 2 thì và  : dm vàd’m cắt nhau
+ Nếu m = - ¼ thì và  : dm vàd’m cắt nhau
 Chú ý : Người ta có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng cách xét hệ phương trình gồm phương trình của hai đường thẳng 
* Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau.
* Nếu hệ có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
* Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau :
 + Nếu hai VTCP không cùng phương thì hai đường thẳng chéo nhau
 + Nếu hai VTCP cùng phương thì hai đường thẳng song song .
Ví dụ 4 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình :
Giải :
Thay x, y, z ở phương trình d’ vào phương trình d ta có
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(4 ; -4 ; 3)
Chú ý : Một phương trình dạng tổng quát và một phương trình tham số
GV : Hướng dẫn cho học sinh thực hiện HĐ1
GV : Vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt phẳng ?
GV : Cho học sinh chứng minh HĐ 3 và nhớ kết quả để áp dụng giải toán.
GV : Cho học sinh làm VD2
GV : Các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian ?
Từ các vị trí tương đối của hai đường thẳng , GV gợi ý đưa ra các điều như bên cạnh.