Giáo án Giải tích 12 - Tuần 3: Cực trị hàm số đa thức

Tuần 3
(Từ ngày 21/9/2009 đến ngày 26/9/2009)
cực trị hàm số đa thức
A. Kiến thức cơ bản
	1. Điều kiện cần: Hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
	2. Điều kiện đủ: Nếu hàm số f(x) liên tục trên một lân cận của điểm x0 và đổi dấu khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực trị tại x0.
	3. Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên.
	4. Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp 2
B. Các dạng toán thường gặp.
 I. Dạng I: Tìm cực trị của hàm số đa thức
	* Kĩ năng tính nhanh cực trị của hàm số 
	- Nếu hàm số đạt cực trị tại các điểm x1;x2 thì ta có f’(x1) = f’(x2) = 0 nên ta chia đa thức f(x) cho f’(x) ta được y = f’(x).q(x) + r(x). Từ đó suy ra giá trị cực trị.
	1. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
	2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
II. Dạng II: Điều kiện để hàm số có cực trị
	* Cho hàm số , ta có:
	a. Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi f’(x) không đổi dấu:
	+/ a = b = 0 và c khác 0.
	+/ 
	b. Hàm số có đúng một cực trị: f’(x)= 0 có nghiệm duy nhất: a = 0 và b khác 0
	c. Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT): f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
	d. Hàm số có CĐ và CT với các hoành độ thỏa mãn điều kiện K:
	 - Điều kiện để hàm số có CĐ và CT: f’(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2 phân biệt. 
	 - Vận dụng định lí Viet và kiểm tra điều kiện K.
	e. Hàm số có CĐ và CT trong khoảng I: Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I.
Hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I: Lập BBT để suy ra các điểm cực trị. Điều kiện để hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I là xCĐ (hoặc xCT) thuộc I.
Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ 0 và 
Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ > xCT khi a < 0 và 
Hàm số đạt CĐ (hoặc CT) tại điểm x0: 
1. Cho hàm số . Tìm m để:
Hàm số có cực trị
Hàm số đạt CĐ và CT tại x1; x2 thỏa mãn x1+ 2x2 = 1
Hàm số đạt CĐ và CT tại các điểm có hoành độ dương
Hàm số đạt CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT
Hàm số đạt CĐ tại điểm x0 = 0.
2. Cho hàm số .
	Cmr với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ và CT; đồng thời khi m thay đổi thì các điểm CĐ, CT luôn chạy trên hai đường thẳng phân biệt.
Hướng dẫn: 
- Chứng minh phương trình f’(x) = 0 luôn có hai nghiệm pb.
	- Tìm y1 = f(x1) và y2 = f(x2) sau đó rút gọn m để tìm quỹ tích.
3. Cho hàm số 
Cmr hàm số đã cho luôn có CĐ, CT.
Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2. Cmr: 
4. Cho hàm số 
a. Tìm a để hàm số có cực trị.
b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2. Tìm a để: 
5. Cho hàm số . Tìm m để:
Hàm số có cực đại và cực tiểu với tổng bình phương các hoành độ bằng 27.
Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm
Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ.
Hướng dẫn:
Ta có: 
Hàm số có CĐ và CT (có 3 cực trị) khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt. Điều kiện là g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì điều kiện bài toán là: 
Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm khi g(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: .
Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ khi:
 +/ 
 +/ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0:
6. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ và CT là các đỉnh của một tam giác đều.
Hướng dẫn:
- Hàm số có CĐ, CT khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ( m > 0).
- Khi đó ta có các điểm cực trị là:
- Điều kiện để tam giác ABC đều là:
7. Cho hàm số 
Chứng minh rằng với mọi m hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT.
Hướng dẫn:
- Ta có 
- Số nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = g(x).
- Ta có: nên hàm số y = g(x) luôn nghịch biến. Suy ra phương trình g(x) = m có đúng một nghiệm, tức là f’(x) = 0 có đúng một nghiệm. Vậy, hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT.
8. Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị và gốc tọa độ O là trọng tâm tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị đó.
Hướng dẫn: 
- Ta có: 
- Nhận xét: f’(-2) = - 4; f’(-1) = 12; f’(1) = - 4; f’(2) = 12. Từ đó suy ra phương trình f’(x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị với mọi m.
- Giả sử các điểm cực trị là thì ta có:
	+/ 
Suy ra O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.
III. Dạng III: Đường thẳng (đường cong) đi qua các điểm cực trị.
* Bài toán 1: Cho hàm số . Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:
Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Giả sử là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó ta có (*).
Chia y cho y’ ta được: . Do điều kiện (*) nên ta có: . Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng .
* Bài toán 2: Cho hàm số . Viết phương trình đường cong đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:
 - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (có 3 cực trị).
- Giả sử là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó (*).
- Chia y cho y’ ta được: . Do điều kiện (*) nên ta có: . Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường cong .
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau:
	a. 
	b. 
2. Tìm tham số m để đồ thị các hàm số sau có CĐ, CT và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e. 
3. Cho hàm số . Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
Hướng dẫn:
- Ta có: và .
- Điều kiện để hàm số có CĐ, CT là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
- Giả sử là các điểm cực trị. Ta có:
.
Suy ra phương trình đường thẳng AB là: .
- Gọi I là trung điểm đoạn AB. Khi đó, điều kiện để A và B đối xứng nhau qua đường thẳng là:
.
4. Cho hàm số . Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
5. Cho hàm số . Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng .
6. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có CĐ, CT . Cmr đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định.
7. Chứng minh đồ thị các hàm số sau có ba điểm cực trị cùng nằm trên một Parabol:
	a. 
	b. 
	c. 
8. Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT.
Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
9. Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị.
Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.