Giáo án Giải tích 12 - Tuần 1 - Tiết 1-2-3-4: Các phương pháp tìm nguyên hàm

Tuõ̀n: 1. Tiờ́t 1-2-3-4
Các phương pháp tìm nguyên hàm
I. Mục tiêu.
-Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về nguyên hàm của một hàm số.
-Vận dụng bảng nguyên hàm tìm được nguyên hàm của một hàm số.
-Sử dụng thành thạo phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số và phương pháp từng phần.
II. Nội dung.
Hoạt đụ̣ng của hoc sinh và giáo viờn
Nụ̣i dung bài dạy
1.TèM NGUYEÂN HAỉM CUÛA MOÄT HAỉM SOÁ:
 a.Kieỏn thửực caàn naộm vửừng :
Caực ủũnh nghúa nguyeõn haứm vaứ hoù nguyeõn haứm, caực tớnh chaỏt cuỷa nguyeõn haứm.
Baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng.
Baỷng nguyeõn haứm cuỷa moọt soỏ haứm soỏ thửụứng gaởp :
NGUYEÂN HAỉM CAÙC HAỉM SOÁ Sễ CAÁP THệễỉNG GAậP
NGUYEÂN HAỉM CAÙC HAỉM SOÁ HễẽP : 
b.Tỡm nguyeõn haứm cuỷa moọt haứm soỏ baống ủũnh nghúa vaứ tớnh chaỏt.
Phửụng phaựp giaỷi: 
 Thửụứng ủửa nguyeõn haứm ủaừ cho veà nguyeõn haứm cuỷa toồng vaứ hieọu sau ủoự vaọn duùng baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng keỏt quaỷ.
Vớ du 1: Tỡm nguyeõn haứm caực haứm soỏ sau:
 a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + 
 c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Giaỷi
a) 
b)
c)
d) 
Vớ du 2ù: Tỡm moọt nguyeõn haứm F(x) cuỷa haứm soỏ f(x)=1+ sin3x bieỏt F()= 0.
Giaỷi
Ta coự F(x)= x – cos3x + C. Do F() = 0 - cos + C = 0 C = -.
Vaọy nguyeõn haứm caàn tỡm laứ: F(x)= x – cos3x -.
 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm các hàm số.
 c. Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số:
 Phương pháp giải: đặt t=u(x)
 Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm các hàm số 
 d. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
 Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 
 Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm các hàm số 
 Củng cụ́: 
Baứi taọp ủeà nghũ:
1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau đây.
 2. Tỡm moọt nguyeõn haứm F(x) cuỷa haứm soỏ f(x)=sin2x.cosx, bieỏt giaự trũ cuỷa nguyeõn haứm baống khi x= 
 3. Tỡm moọt nguyeõn haứm F(x) cuỷa haứm soỏ f(x) = e1-2x , bieỏt F( 
 4. Tỡm moọt nguyeõn haứm F(x) cuỷa haứm soỏ f(x) = , bieỏt F(
Tuõ̀n: 1-2. Tiờ́t:5-6-7	 
Các phương pháp tích phân-Đổi biến số
I. Mục tiêu.
-Giúp học sinh tính được tích phân của một số hàm đơn giản.
-Sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số .
II. Nội dung.
Hoạt đụ̣ng của hoc sinh và giáo viờn
Nụ̣i dung bài dạy
1/Caực kieỏn thửực caàn naộm vửừng :
Baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng.
ẹũnh nghúa tớch phaõn, caực tớnh chaỏt cuỷa tớch phaõn.
Phửụng phaựp tớnh tớch phân bằng phương pháp đổi biến số.
2/Moọt soỏ daùng toaựn thửụứng gaởp:
Daùng 1: Tớnh tớch phaõn baống ủũnh nghúa vaứ tớnh chaỏt.
Phửụng phaựp giaỷi: 
 Thửụứng ủửa tớch phaõn ủaừ cho veà tớch phaõn cuỷa toồng vaứ hieọu sau ủoự vaọn duùng baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng keỏt quaỷ.
Vớ duù: Tỡm tớch phaõn caực haứm soỏ sau:
 a/ 	b/ 	c/ 
Giaỷi
a/ = 
b/
==8
 c/ =+=+ =(x-=5 
 Daùng 2: Tớnh tớch phaõn baống phửụng phaựp ủoồi bieỏn daùng 1:
 Phửụng phaựp giaỷi: 
 b1: ẹaởt x = u(t) (ủieàu kieọn cho t ủeồ x chaùy tửứ a ủeỏn b) dx = 
 b2: ẹoồi caọn: 
 x = a u(t) = a t = 
 x = b u(t) = b t = ( choùn , thoaỷ ủk ủaởt ụỷ treõn)
 b3: Vieỏt veà tớch phaõn mụựi theo bieỏn mụựi, caọn mụựi roài tớnh tớch phaõn .
Vớ duù: Tớnh :
 	Đặt x = sint dx = cost.dt. Với x [0;1] ta có t
 	Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x= 1 t = 
Vậy = = 
 Chuự yự: Khi gaởp tớch phaõn maứ bieồu thửực dửụựi daỏu tớch phaõn coự daùng :
 thỡ ủaởt x= sint t 
 thỡ ủaởt x= tgt t 
 thỡ ủaởt x= t \ 
Daùng 2: Tớnh tớch phaõn baống phửụng phaựp ủoồi bieỏn.
Phửụng phaựp giaỷi: 
 b1: ẹaởt t = (x) dt = 
 b2: ẹoồi caọn: 
 	 x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Vieỏt tớch phaõn ủaừ cho theo bieỏn mụựi, caọn mụựi roài tớnh tớch phaõn tỡm ủửụùc .
Vớ duù : Tớnh tớch phaõn sau :
 	a/ b/
Giaỷi:
a/ ẹaởt t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
ẹoồi caọn: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3. Vaọy I= 
b/ ẹaởt t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
ẹoồi caọn: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 . Vaọy J = 
 Củng cụ́:
Baứi taọp ủeà nghũ:
Bài 1. Tính caực tớch phaõn sau:
1/I= 2/J= 3/K= 
 Bài 2. Tớnh caực tớch phaõn sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 
Tuõ̀n : 2-3 Tiờ́t : 8-9-10-11
Các phương pháp tính tích phân-Từng phần
I. Mục tiêu.
-Giúp học sinh tính được tích phân của một số hàm phân thức hữu tỉ.
-Sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân bằng phương pháp từng phần .
II. Nội dung.
Hoạt đụ̣ng của hoc sinh và giáo viờn
Nụ̣i dung bài dạy
1/ Tớnh tớch phaõn baống phửụng phaựp tuứng phaàn:
 Coõng thửực tửứng phaàn : 
Phửụng phaựp giaỷi: 
 B1: ẹaởt moọt bieồu thửực naứo ủoự dửụựi daỏu tớch phaõn baống u tớnh du. phaàn coứn laùi laứ dv tỡm v.
 B2: Khai trieồn tớch phaõn ủaừ cho theo coõng thửực tửứng phaàn.
 B3: Tớch phaõn suy ra keỏt quaỷ.
Chuự yự:
a) Khi tớnh tớnh tớch phaõn tửứng phaàn ủaởt u, v sao cho deó tớnh hụn neỏu khoự hụn phaỷi tỡm caựch ủaởt khaực.
b) Khi gaởp tớch phaõn daùng : 
 - Neỏu P(x) laứ moọt ủa thửực ,Q(x) laứ moọt trong caực haứm soỏ eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thỡ ta ủaởt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Neỏu baọc cuỷa P(x) laứ 2,3,4 thỡ ta tớnh tớch phaõn tửứng phaàn 2,3,4 laàn theo caựch ủaởt treõn.
- Neỏu P(x) laứ moọt ủa thửực ,Q(x) laứ haứm soỏ ln(ax+b) thỡ ta ủaởt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Vớ duù 1: Tớnh caực tớch phaõn sau:
a/ I= b/J=
Giaỷi
 a/ ẹaởt : (chuự yự: v laứ moọt nguyeõn haứm cuỷa cosx )
Vaọy I=x cosx - = cosx= -1
 b/ ẹaởt :
Vaọy J= lnx. -
2/ Tớnh tớch phaõn cuỷa moọt soỏ haứm hửừu tổ thửụứng gaởp:
a) Daùng baọc cuỷa tửỷ lụựn hụn hay baống baọc cuỷa maóu:
Phửụng phaựp giaỷi: 
 Ta chia tửỷ cho maóu taựch thaứnh toồng cuỷa moọt phaàn nguyeõn vaứ moọt phaàn phaõn soỏ roài tớnh.
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn sau:
a/ = .
b/ 
b) Daùng baọc1 treõn baọc 2:
Phửụng phaựp giaỷi: Taựch thaứnh toồng caực tớch phaõn roài tớnh.
*Trửụứng hụùp maóu soỏ coự 2 nghieọm phaõn bieọt:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn : 
Giaỷi
ẹaởt =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. 
 Vaọy ta coự: =
* Trửụứng hụùp maóu soỏ coự nghieọm keựp:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn : 
Giaỷi
CI:
=(ln 
CII: ẹaởt 
 Ax -2A+B= 0 
Vaọy = 
*Trửụứng hụùp maóu soỏ voõ nghieọm:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn :I= 
Giaỷi:
Ta coự = 
Tớnh J= 
ẹaởt x+1=(t ) dx=. Khi x= -1 thỡ t = 0 ; khi x=0 thỡ t= 
 J= . Vaọy I= ln ) 
3/ Tớnh tớch phaõn haứm voõ tổ:
Daùng1: ẹaởt t=
Daùng 2: ẹaởt t=
Vớ duù: Tớnh tớch phaõn I = 
Giaỷi
ẹaởt t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
ẹoồi caọn:
x=0 t=1; x=1 t=0. Vaọy I= 
4/ Tớnh tớch phaõn cuỷa moọt soỏ haứm lửụùng giaực thửụứng gaởp
Daùng:
Phửụng phaựp giaỷi:
Duứng coõng thửực bieỏn ủoồi tớch thaứnh toồng ủeồ taựch thaứnh toồng hoaởc hieọu caực tớch phaõn roài giaỷi.
Daùng: 
Phửụng phaựp giaỷi: Neỏu n chaỹn duứng coõng thửực haù baọc, n leỷ duứng coõng thửực ủoồi bieỏn. 
Vớ duù :
Daùng: ẹaởc bieọt: 
Phửụng phaựp giaỷi: ẹaởt t =sinx
Daùng: ẹaởc bieọt: 
Phửụng phaựp giaỷi: ẹaởt t =cosx
Caực trửụứng hụùp coứn laùi ủaởt x=tgt
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn sau:
a/ b/ c/ 	d/
Giaỷi
a/ = 
b/
c/I==
ủaởt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 
 Vaọy: I=
d/J==
ủaởt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 
Vậy: J=
 Củng cụ́:
Baứi taọp ủeà nghũ: Tớnh caực tớch phaõn sau:
Bài 1 : 1/ 	2/ 	3/ 	4/ 	5/ 
Bài 2 : 1/ I= 2/ J= 
Bài 3 : 1/ I= 	 2/ I= 3/ I= 
Bài 4: 1/ 	2/ 
Bài 5 : 1/ 2/ 3/ 4/.
Tuõ̀n: 3 Tiờ́t: 12-13-14
DIậ́N TÍCH HÌNH PHẲNG – THấ̉ TÍCH KHễ́I TRÒN XOAY
I. Mục tiêu.
-Tính được diện tích hình phẳng
-Tính được thể tích khối tròn xoay quay trục Ox .
II. Nội dung.
Hoạt đụ̣ng của hoc sinh và giáo viờn
Nụ̣i dung bài dạy
1/ Dieọn tớch hỡnh phaỳng:
a) Daùng toaựn1: Dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi 1 ủửụứng cong vaứ 3 ủửụứng thaỳng.
Coõng thửực:
Cho haứm soỏ y=f(x) lieõn tuùc treõn ủoaùn [a;b] khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C) :y=f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a; x=b; y= 0 laứ :
b) Daùng toaựn2: Dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi 2 ủửụứng cong vaứ 2 ủửụứng thaỳng.
Coõng thửực:
Cho haứm soỏ y=f(x) coự ủoà thũ (C) vaứ y=g(x) coự ủoà thũ (C’) lieõn tuùc treõn ủoaùn [a;b] khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C), (C’) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a; x=b laứ : 
Phửụng phaựp giaỷi toaựn:
 B1: Laọp phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm giửừa (C) vaứ (C’)
 B2: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm:
 TH1:
Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm voõ nghieọm trong (a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ:
 TH2:
Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự 1 nghieọm laứ x1(a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ:
 TH3:
Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự caực nghieọm laứ x1; x2(a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ:
Chuự yự: * Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự nhieàu hụn 2 nghieọm laứm tửụng tửù trửụứng hụùp 3.
 * Daùng toaựn 1 laứ trửụứng hụùp ủaởc bieọt cuỷa daùng toaựn 2 khi ủửụứng cong g(x)=0
Vớ duù 1ù: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủoà thũ cuỷa haứm soỏ y = sinx treõn ủoaùn [0;2] vaứ Ox.
Giaỷi:
Ta coự :sinx = 0 coự 1 nghieọm x= vaọy dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ:
S = = = 4 
Vớ duù 2: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P1): y = x2 –2 x , vaứ (P2) y= x2 + 1 vaứ caực ủửụứng thaỳng x = -1 ; x =2 .
Giaỷi
Pthủgủ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 .
Do ủoự :S=
= = =(dvdt)
Vớ duù 3: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P): y2 = 4 x , vaứ ủửụứng thaỳng (d): 2x+y-4 = 0.
Giaỷi: 
Ta coự (P): y2 = 4 x x = vaứ (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phửụng trỡnh tung ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ ủửụứng thaỳng (d) laứ: = 
Vaọy dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ: S= 
2/ Theồ tớch cuỷa moọt vaọt theồ troứn xoay
 Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay sinh ra khi hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C) coự phửụng trỡnh y= f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a, x=b , y= 0 quay moọt voứng xung quanh truùc ox laứ: 
Vớ duù 1: Tớnh theồ tớch khoỏi caàu sinh ra do quay hỡnh troứn coự taõm O baựn kớnh R quay xung quanh truùc ox taùo ra. 
Giaỷi: 
ẹửụứng troứn taõm O baựn kớnh R coự phửụng trỡnh :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2
Theồ tớch khoỏi caàu laứ : V= = = = (ủvtt)
Vớ duù 2: Tớnh theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay, sinh ra bụỷi moói hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng sau khi noự quay xung quanh truùc Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giaỷi: 
Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay caàn tỡm laứ : 
== (ủvtt)
Baứi taọp ủeà nghũ: 
1/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn giửừa ủửụứng cong (P): y= x2 - 2x vaứ truùc hoaứnh.
 2/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (H): vaứ caực ủửụứng thaỳng coự phửụng trỡnh x=1, x=2 vaứ y=0
3/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn giửừa ủửụứng cong (C): y= x4 - 4x2+5 vaứ ủửụứng thaỳng (d): y=5. 
 4/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (C): y = x3 –3 x , vaứ y = x .
 5/ Tớnh theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay, sinh ra bụỷi moói hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng sau khi noự quay xung quanh truùc Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
c/ y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Bài tập thêm về tích phân
Bài 1. Tính:	a, b, 
Giải a, 
b, 
Bài 2. Tính: a, b, c, 
Giải. a, Đặt . Đổi cận 
b, Đặt 
Đổi cận 
c, Đặt 
Đổi cận . Vậy: =
Bài 3. Tính: a, b, c, 
Giải a, Đặt . Vậy:=
b, . Đặt 
c, . Đặt . Vậy: =
Bài 4. Tính tích phân sau: .
Giải: 
Bài 5. Tính tích phân sau: 
Giải: 
Bài 6. Tính tích phân sau: .
Giải: Đặt 
Ta có: 
Bài 7. Tính tích phân sau: .
Giải: Đặt 
Khi đó 
Bài 8. Tính tích phân sau: .
Giải: Ta có: 
 Đặt 
Vậy: 
Bài 9. Tính tích phân sau: .
Giải: 
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
 y = x2 + 1 , x + y = 3.
Giải: Đặt : f1(x) = x2 + 1 , f2(x) = 3 - x.
Xét phương trình : f1(x) - f2(x) = 0 Û x = -2 , x = 1. 
Vậy diện tích cần tìm là: S=
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
 y = x2 + 2, y = 3x.
Giải S = 
Bài 13. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : 
y = 0, y = , x = 0, x = .
Giải: V = Đặt : ị 
 ị V = = = ế.