Giáo án Giải tích 12 - Tiết 53 – 54 : Tích phân

Tiết 53 – 54 : 	TÝch ph©n
i. môc tiªu:
 1. Kiến thức cơ bản: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
 2. Kỹ năng: Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.
 3. Thaùi ñoä: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
 4. Tö duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
ii. chuÈn bÞ:
Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, hÖ thèng c©u hái. Phiếu học tập, bảng phụ.
Häc sinh :
¤n tËp nguyªn hµm.
Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
iii. ph­¬ng ph¸p:
 - VÊn ®¸p gîi mëi, quy vÒ quen, kết hợp thảo luận nhoùm vaø hỏi ñaùp.
 - Phöông tieän daïy hoïc: SGK. 
iv. TiÕn tr×nh bµi d¹y:
 1.Ổn định lớp : KiÓm tra sü sè.
 2.Kiểm tra bài cũ : 5’
Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
Tính :
GV nhắc công thức : 
 3. Bài mới
Hoạt ñộng của Gv
Hoạt ñộng của Hs
 I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
 1. Diện tích hình thang cong:
 Hoạt động 1 : Yªu cÇu HS th¶o luËn ?1 SGK.
 y
 7 B 
 H
f(t)=t+1
 3 A
 1 D G C
 -1 x 
 O 2 t 6 
 ( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD
-Lấy t . Khi đó diện tích hình thang AHGD bằng bao nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ?
 -Tính S(6) , S(2) ? và S?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó. 
 Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)”
 Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong.
 y
 B
 y= f (x)
 A
 x 
 O a b 
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) 
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk 
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
-Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) 
*Xét điểm x(a ; b ]
-Diện tích hình thang cong MNEQ? 
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích 
SMNPQ , SMNEQ và SMNEF
 *f(x) liên tục trên [ a; b]
? 
 - Suy ra ?
*Xét điểm x[a ; b )
Tương tự ?
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
 [ a; b ] ta biểu diễn S(x)?
* SMNEQ = S(x) – S(x0)
 S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x) 0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng 
x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ]
2. Định nghĩa tích phân :
 Hoạt động 2 :
 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).
 Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số 
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
Ta cßn ký hiÖu: .
Vậy: 
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :
 Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu.
 Nhận xét:
 + Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
 + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì 
 là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang 102)
Vậy : S = 
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN.
 + Tính chất 1:
 + Tính chất 2:
 + Tính chất 3:
 Hoạt động 3 :
 Hãy chứng minh các tính chất 1, 2.
 Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu.
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
 1. Phương pháp đổi biến số:
 Hoạt động 4 :
 Cho tích phân I = 
a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2.
b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du.
c/ Tính: và so sánh với kết quả ở câu a.
 Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số 
x = j(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho j(a) = a; j(b) = b và a £ j(t) £ b với mọi t thuộc [a; b] . Khi đó:”
 Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
 Chú ý:
 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính ta chọn hàm số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [a; b]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
 = 
 Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
 Hoạt động 5 :
 a/ Hãy tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
 b/ Từ đó, hãy tính: 
 Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì 
Hay ”
 Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)
+ Tính diện tích S(t) của hình T khi t Î [1; 5].
+ Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của 
f(t) = 2t + 1, t Î [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).
S = 
S(t) = 
 t
S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
 và S= S(6)-S(2)
Thảo luận nhóm để chứng minh 
F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
SMNEQ = S(x) – S(x0)
SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
 f(x0)
 f(x0) (2)
 f(x0) (3)
 f(x0)
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
 y y=f(x) 
 F E
 f(x)
 f(x) Q P
 xo x
 x
 0 a M N b 
 Hình 4
*Xét điểm x(a ; b ] 
SMNEQ là S(x) – S(x0)
Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0)
 f(x0)<<f(x) (1
Vì f(x0)
(1) f(x0)(2)
*Xét điểm x[a ; b )
Tương tự:f(x0)(3)
 Từ (2) và (3)ta có:
 f(x0)
Hay S’ (x) = f(x0)
 Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x(a ; b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên [ a; b ]
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
 = (F(b) +C) – (F(a) + C)
 = F(b) – F(a)
Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, 2.
Thảo luận nhóm để:
+ Tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
+ Tính: 
IV. Củng cố:
	+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
	+ Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113. 
Tiết 55 – 56 : 	LUYỆN TẬP 
Hoaït ñoäng cuûa thaày 
Ho¹t ®éng cña trß
Bµi 1 (SGK)
H1. Ta neân ñoåi bieán baèng caùch ñaët t= ? Tính tích phaân ñoù ( víi c©u a, b, d, e) ?
H2. B¹n nµo cã c¸ch gi¶i kh¸c?
H3. Nªu c¸ch tÝnh tÝch ph©n h÷u tû? TÝnh tÝch ph©n ®ã? (C©u e)
. 
Bµi 2 (SGK)
H1. Neân ñaët aån phuï t= ? Töø ñoù bieåu dieãn theo t vaø tính tích phaân ?
 * Giaùo vieân höôùng daãn caùch khoâng caàn chuyeån qua bieán t 
b. Höôùng daãn : Ñaët t =1+x 
H2 Goïi hoïc sinh thöïc hieän 
Bµi 3 (SGK)
a. Höôùng daãn : ñaët t=1+lnx
Goïi hoïc sinh thöïc hieän 
b.Höôùngdaãn : Ñaët t=sinx 
Goïi hoïc sinh thöïc hieän 
Bµi 4 (SGK)
H1Khi ñaët t=atgt thì dx=? 
Khi x=0 thì t = ? 
Khi x=a thì t = ? 
Töø ñoù tính = ? 
Caâu b töông töï goïi hoïc sinh giaûi 
HS lªn b¶ng gi¶i, nhËn xÐt, ph¶n diÖn
Baøi 2 : Tính caùc tích phaân 
a. 	b. 	c. 
Giaûi :
a. = -. = - = 
c. = = ln|x+1| = ln2
Baøi 3 : Tính caùc tích phaân :
a. b. 
c. d. 
Giaûi :
a. Ñaët t=1+lnx . Neân dt = . Khi x=1 thì t=1 . Khi x=e thì t=2 . Ta coù = =t.dt = (2-1)
b.Tacoù === 
Baøi 4: Tính caùc tích phaân sau ( vôùi a > 0 )
a. 	b. 
Giaûi :
a. Ta coù I= . Ñaët x = atgt t Î 
=> dx= . Khi x=0 thì t=0 ; khi x=a thì t=.Vaäy I= = = 
b. Ta goïi I= .Ta ñaët x=asint t Î . Khi x=0 thì t=0 ; khi x= thì t=.Vaø dx=acostdt .Vaäy I= = = 
Bµi 5 (SGK)
* Neâu coâng thöùc tính tích phaân töøng phaân 
H1 Ñaët thì .Töø ñoù tính 
H2i Neáu ñaët thì coù tính ñöôïc ? 
Hoûi Ñaët thì .Töø ñoù tính =? 
Baøi 5 : Tính a. 	b. 
c. 	d. 
Giaûi :
c. Ñaët ta coù 
Vaäy I= (x-2)cos3x -=
d. . Ñaët ta coù . Do ñoù I= -x2.e-x + = - + . 
Goïi J= . Tính töông töï ta coù J= -+ 2 . Vaäy I= 2- 
Baøi 6 : Tính : a. 	b. 
c. d. 	 e. 
Giaûi :
a. Ñaët , ta coù . Vaäy I= -x2.cosx + . Goïi J= Tính töông töï ta coù J=p -2 . Vaäy I=p -2 
b.Höôùng daãn : Ñaët 
Cñng cè :
1. Nh¾c l¹i c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n.
2. §äc tr­íc bµi 3.
3. Lµm thªm bµi tËp: 
a. 	b. 
c. 	d .