Giáo án GIải tích 12 - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
1.Đồ thị hàm số: Cho hàm số xác định trên tập D. Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; f(x)) với trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Chú ý:Nếu đồ thị hàm số là một đường cong thì người ta còn gọi là đường cong có phương trình là ( gọi tắt là đường cong 
2.Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy đã chọn . I là một điểm có tọa độ là đối với hệ trục Oxy, Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và hai trục là IX, IY theo thứ tự có cùng các véc tơ đơn vị với hai trục Ox, Oy.
Giả sử M là một điểm bất kì cửa mặt phẳng. Gọi (x; y) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục Oxy và (X; Y) là tọa độ của điểm M đối vơi hệ trục IXY. Khi đó
 hay 
Vậy đối với hệ trục IXY
 (*)
Công thức (*) gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ .
3.Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới 
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, điểm ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ được hệ trục IXY.
Giả sử (C) là đồ thị của hàm số đối với hệ trục Oxy thì đường cong (C) có phương trình đối với hệ tọa độ Oxy. Ta tìm phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục tọa độ mới IXY.
Giả sử M là điểm bất kì trên đường cong (C) và (x; y) , (X; Y) lần lượt là tọa độ của điểm M đối với các hệ trục Oxy và IXY. Do 
Theo công thức đổi hệ trục tọa độ ta có:
Vậy đối với hệ trục tọa độ mới IXY đường cong (C) có phương trình là .
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trình:
 Và điểm I (2; -1) . Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo véc tơ được hệ trục IXY.
a.Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến trên và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY.
b.Chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đường cong (C).
Bài giải:
a.Công thức đổi hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ là:
Phương trình đường cong (C) đối với hệ trục Oxy là 
b. Vì là hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ của hệ trục IXY làm tâm đối xứng suy ra đường cong (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): .
a.Tìm tọa độ đỉnh I của Parabol (P).
b. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và viết phương trình của Parabol (P) đối với hệ trục mới IXY.
Bài giải:
a.Đỉnh của Parabol (P) đã cho là I
b. Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ là:
Đối với hệ trục IXY thì Parabol (P) có phương trình là:.
II.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 
1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang. 
Ví dụ: xét hàm số có đồ thị là đường Hypebol gồm hai nhánh nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba của mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta có: 
Điều đó có nghĩa là khoảng cách MH = từ điểm M của đồ thị đến trục hoành dần đến 0 khi điểm M theo đường hypebol đi xa ra vô tận về phía phải hoặc phía trái.
Người ta gọi trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
Ta lại có 
Điều đó có nghĩa là khoảng cách NK = từ điểm N của đồ thị đến trục tung dần đến 0 khi điểm N theo đường hypebol đi xa ra vô tận về phía trên hoặc phía dưới.
Người ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Một cách tổng quát ta có
a.Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu hoặc 
Chú ý: Nếu chỉ tồn tại một trong hai giới hạn trên thì đồ thị chỉ có tiệm cận ngang một bên
Ví dụ : Xét hàm số 
Có 
Ta có đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
b.Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn
, 
Chú ý: Nếu chỉ tồn tại hoặc thì đường thẳng x = x0 gọi là tiệm cận đứng một bên của đồ thị hàm số 
Ví dụ: Xét hàm số có 
Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
c.Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
Bài giải:
Hàm số đã cho có tập xác định là 
*Ta có nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Lại có nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 2:Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
Bài giải:
Ta có 
Nên: Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi (hay còn gọi là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị)
Đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi (hay còn gọi là tiệm cận ngang bên trái của đồ thị)
Lại có nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị.
2. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Trong mặt phằng tọa độ Oxy cho đường cong (C) có phương trìnhvà đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b (a khác 0)
Gọi M , N là hai điểm lần lượt nằm trên (C) và (d) có cùng hoành độ x nếu độ dài đoạn thẳng MN dần tới 0 khi x dần đến (hoặc x dần tới ) thì đường thẳng (d) gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
Vì MN = nên ta có định nghĩa sau:
a.Định nghĩa Đường thẳng , được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số nếu:
 hoặc 
Chú ý: Nếu chỉ xảy ra một trong hai giới hạn trên thì đường thẳng y = ax + b gọi là tiệm cận xiên một phía của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1 : Xét hàm số có
 và 
Nên đường thẳng y = x + 4 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b.Bài tập áp dụng
Bài1:Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
Tập xác định: R\{-1; 1}
Ta có 
Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ta lại có:
Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bài 2: 
Chứng minh rằng đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên bên phải là đường thẳng y = x + 1 và đường tiệm cận xiên bên trái là đường thẳng y = - x - 1
Bài giải:
Ta có 
Suy ra đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số.
Lại có 
Suy ra đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
c.Cách tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 
Giả sử đồ thi hàm số có tiệm cận xiên bên phải là đường thẳng y = ax + b
Thì 
Giả sử đồ thi hàm số có tiệm cận xiên bên trái là đường thẳng y = ax + b
Thì 
Nếu thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên cả hai phía của đồ thị hàm số y = f(x).
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
Bài giải:
Ta có
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên cả hai phía là đường thẳng y = x.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
Bài giải:
Ta có
 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên bên phải(x là đường thẳng 
y = 3x.
Lại có 
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên bên trái( là đường thẳng
 y = x.
d. Nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số đơn giản, 
*Nếu f(x) hàm đa thức thì đồ thị của nó không có đường tiệm cận
* Các hàm số có tập xác định là đoạn [a; b] đò thị của chúng không có đường tiệm cận.
* Nếu f(x) là hàm phân thức tức là trong đó P(x) và q(x) là các đa thức thì xảy ra hai trường hợp
Trường hợp 1: Bậc của p(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của q(x) đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = y0 với và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = xi trong đó xi là các nghiệm của đa thức q(x) .
 Trường hợp 2: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) một đơn vị đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên hai phía là đường thẳng y = ax + b với và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = xi trong đó xi là các nghiệm của đa thức q(x) .
Chú ý: Bậc của p(x) lớn hơn bậc của q(x) từ 2 đơn vị trở lên đồng thời p(x), q(x) không có nhân tử chung thì đồ thị hàm số có tiệm cận cong (không được nghiên cứu trong chương trình SGK phổ thông)và đồ thị có tiệm cận đứng là các đường thẳng x = xi trong đó xi là các nghiệm của đa thức q(x) * Các hàm số có chứa biến x trong dấu căn bậc hai nếu có tiệm cận xiên thì tiệm cận xiên hai phía là hai đường khác nhau.
III. Điểm uốn của đồ thị hàm số. 
1.Định nghĩa: Điểm Ugọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu hàm số có đạo hàm tại x0 (Đồ thị có tiếp tuyến tại U) và tồn tại khoảng (a; b) chứa x0 sao cho trên một trong hai khoảng 
(a ; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Người ta nói rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn xuyên qua đồ thị.
2.Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: Ta thừa nhận và sử dụng định lí sau để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
Định lý: Nếu hàm số có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm và đổi dấu khi x qua x0 thì điểm U(là một điểm uốn của đồ thị hàm số 
Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 
Bài giải: Ta có 
Dấu của 
Từ kết quả xét dấu ta nhận thấy đổi dấu (từ dương sang âm) khi x qua điểm x = 1 nên U(1; 5) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Nhận xét : Hàm số bậc ba có đạo hàm cấp hai là một nhị thức bậc nhất và bằng 0 tại một điểm x0 =duy nhất đồng thời đổi dấu khi x qua điểm x0 đó nên đồ thị luôn có một điểm uốn và ta chứng minh được điểm uốn đó là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 
Bài giải: 
Ta có 
Dấu của 
Do tại hai điểm và đổi dấu (từ dương sang âm và từ âm sang dương) khi x lần lượt đi qua hai giá tri đó nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn U1 và U2.
Chú ý: Hàm số bậc bốn có đạo hàm cấp hai là một tam thức bậc hai có thể không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu khi x qua nghiệm đó vì vậy đồ thị hàm số bậc bốn có thể không có điểm uốn.
Ví dụ 3: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 
Bài giải: Tập xác định : R
Ta có hoặc x = 1
Dấu của 
Từ kết quả xét dấu của suy ra đồ thị hàm số chỉ có một điểm uốn là U(1; -1).
Ví dụ 4: Xác định a, b để điểm I(-2; 1) là điểm uốn của đồ thị hàm số 
Bài giải:
Tập xác định: R
Điều kiện cần để điểm I(-2;1) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho là
Điều kiện đủ: Với thì 
Nhận thấy đổi dấu khi x qua điểm x = -2 nên x = -2 là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số
Và : Với thì 
Kết luận: thỏa mãn điều kiên bài toán.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số có 3 điiểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn đó.
Bài giải : 
Tập xác định : R
Đồ thị hàm số có 3 điểm uốn khi và chỉ khi có 3nghieemj phân biệt và liên tục đổi dấu khi x lần lượt qua các nghiệm đó (1) có 3 nghiệm phân biệt
Ta có là hàm số liên tục trên R và có
Điều đó chứng tỏ tồn tại ít nhất 3 điểm x1 , x2 , x3 lần lượt thuộc 3 khoảng (-3; -1), (-1; 0), (0; 1)
Sao cho hay phương trình g(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm (1)
Lại do phương trình g(x) = 0 là phương trình bậc 3 nên có nhiều nhất 3 nghiệm(2)
Từ (1) và (2) suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt 
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm uốn.
Ba điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y = ax + b khi các hoành độ của chúng là nghiệm của phương trình 
Lại do cũng là nghiệm của phương trình (1) 
Suy ra 3 điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho thẳng hàng khi và chỉ khi là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2)
Vậy 3 điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho nằm trên đường thẳng y = .
IV. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức.
1 Lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: 
Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức ta tiến hành các bước sau đây.
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số 
Bước 2 : Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số tức là tìm 
b. Xét chiều biến thiên của hàm số 
+ Tính và tìm nghiệm (nếu có) của 
+ Xét dấu của căn cứ kết quả xét dấu đạo hàm kết luận các khoảng hàm số đồng biến , nghịch biến và tìm cực trị (nếu có ) của hàm số.
+ Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thi hàm số
+ Tìm điểm uốn (nếu có ) của đồ thị hàm số 
+ Xác định các điểm CĐ, CT và điểm uốn (nếu có) của đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
+ Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có) , Xác định thêm một số điểm khác (nếu cần)
+ Vẽ đồ thị 
+ Chỉ ra tâm đối xứng , trục đối xứng (nếu có)của đồ thị 
2.Các ví dụ:
Ví dụ 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải :
1. Tập xác định : R
2. Sự biến thiên
a. Các giới hạn,
b. Chiều biến thiên
Dấu của 
Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 1)
Nghịch biến trên các khoảng 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3 ; yCT = -13
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = 
Bảng biến thiên:
3.Đồ thị
+Điểm uốn: và đổi dấu khi x qua -1 nên đồ thị hàm số có 1 điểm uốn là U
+Đồ thị cắt trục tung tại y = -4.
+ Một số điểm khác: Cho x = -6 thì y = 14, Cho x = 3 thì y = -13
+ Vẽ đồ thị
+Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải: 
1.Tập xác định : R
2. Sự biến thiên:
a. Các giới hạn: ,
b. Chiều biến thiên
Hàm số luôn đồng biến trên R , hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
+ Điểm uốn: và đổi dấu khi x qua 0 nên đồ thị hàm số đã cho có một điểm uốn là điểm U(0; 10)
+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm y = 10
+ Một số điểm khác:Cho x = -2 thì y = -10; cho x = -1 thì y = 3; cho x = 1 thì y = 17
+Vẽ đồ thị
+ Đồ thị nhận điểm uốn U(0;10) làm tâm đối xứng
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm số 
Bài giải:
1.Tập xác định : R
2. Sự biến thiên:
a. Các giới hạn: 
b. Chiều biến thiên:
Dấu của :
Hàm số đồng biến trên các khoảng 
 Nghịch biến trên khoảng 
Hàm số đạt cực đại tại yCĐ = M
Hàm số đạt cực tiểu tại yCT = m
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị: 
+Điểm uốn:Ta có và đổi dấu khi x qua nên đồ thị hàm số có 1 điểm uốn là U. đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm x1 = -3 ; x2 = 0 ; x3 = 1
+Đồ thị nhận điềm uốn U làm tâm đối xứng.
Ví dụ 4: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải:
1.Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a. Các giới hạn: : 
b. Chiều biến thiên:
Dấu của 
Hàm số đồng biến trên các khoảng và (0; 1)
Nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) và 
Hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = và tại x = 1; yCĐ = 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -1
Bảng biến thiên:
3.Đồ thị:
+Điểm uốn: và đổi dấu khi x qua các điểm
Vậy đồ thị có hai điểm uốn U1(, U2(
Đồ thị cắt trục Oy tại y = -1 Cho x = thì y = -3
+Vẽ đồ thị
+ Đồ thi nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị hàm số 
Bài giải:
1. Tập xác định : R
2. Sự biến thiên 
a. Các giới hạn 
b. Chiều biến thiên
Dấu của 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0 ), đồng biến trên khoảng (0; +∞)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = 1. Hàm số không có cực đại
Bảng biến thiên:
 3. Đồ thị
+ Do nên đồ thị hàm số không có điểm uốn
+ Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, đồ thị không cắt trục hoành
Một số điểm khác: cho 
+ Vẽ đồ thị 
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
Bài giải:
1.Tập xác định: R
2.Sự biến thiên
a. Các giới hạn 
b. Chiều biến thiên
Dấu 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
 Đồng biến trên các khoảng 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm , yCT = 0
Bảng biến thiên
3. Đồ thị 
+Điểm uốn: và đổi dấu khi x lần lượt qua các giá trị suy ra đồ thị có hai điểm uốn U1( U2(
+ Đồ thị cắt Oy tại điểm y = 1 , cắt Ox tại hai điểm 
Một số điểm khác: cho 
+Vẽ đồ thị
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
V.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ: 
1. lược đồ bài khảo sát và vẽ đồ thi hàm số phân thức hữu tỷ. 
Bài khảo sát một hàm số phân thức hữu tỷ gồm các bước sau
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 
Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số
a.Tìm giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực của hàm số từ đó suy ra các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
b. Xét chiều biến thiên của hàm số 
+ Tính đạo hàm và tìm nghiệm (nếu có) của 
+ xét dấu của căn cứ vào kết quả xét dấu kết luận những khoảng hàm số đồng biến ,nghịch biến. tìm cực trị (nếu có) của hàm số
+ Lập bảng biến thiên.
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số 
+ Vẽ các đường tiệm cận
+ Xác định các điểm cực đại , cực tiểu (nếu có) lên mặt phẳng tọa độ.
+ Tìm giao điểm (nếu có ) của đồ thị với các trục tọa độ, xác định thêm một số điểm nếu cần.
+ Vẽ đồ thị 
+ Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2.Các ví dụ
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải:
1.Tập xác định: D = 
1.Sự biến thiên:
a.Các giới hạn 
 vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng
 y = 2 ( khi )
 vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 (khi 
b. Chiều biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên
3.Đồ thị 
+ Khi x = 0 thì y = -1 suy ra đồ thị cắt trục tung tại điểm y = -1. Khi y = 0 thì x = suy ra đồ thị cắt trục hoành tại điểm x = 
+ Một số điểm khác : 
x
-2
2
3
y
1
5
+Vẽ đồ thị
Đồ thị nhận điểm I( 1; 2) làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải:
1.Tập xác định: D = 
1.Sự biến thiên:
a.Các giới hạn 
 vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng
 y = -1 ( khi )
 vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 (khi 
b. Chiều biến thiên
Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên
3.Đồ thị 
+ Khi x = 0 thì y = 1 suy ra đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1. Khi y = 0 thì x = -2 suy ra đồ thị cắt trục hoành tại điểm x = -2
+ Một số điểm khác : 
x
1
3
4
y
3
-5
-3
+Vẽ đồ thị
+ Đồ thị hàm số nhận điểm I (2; -1) làm tâm đối xứng.
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Bài giải:
1. Tập xác định 
2. Sự biến thiên:
a. Các giới hạn Ta có hàm số 
, vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 (khi 
 và 
 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng ( khi )
b. Chiều biến thiên
Dấu của 
Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên các khoảng 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , yCT = , hàm số đạt cực đại tại x = 3, yCĐ = .
Bảng biến thiên:
3.Đồ thị: +Cho x = 0 thì y = suy ra đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 
 Cho y = 0 thì hoặc đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm 
+Vẽ đồ thị
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hat đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
Bà giải:
Bài giải:
1. Tập xác định 
2. Sự biến thiên:
a. Các giới hạn Ta có hàm số 
, vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1 (khi 
 và 
 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x + 2( khi )
b. Chiều biến thiên
 suy ra hàm số luôn đồng biến trên các khoảng )
Bảng biến thiên
3.Đồ thị: +Cho x = 0 thì y = 1 suy ra đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1
Cho y = 0 thì hoặc đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm 
+Vẽ đồ thị
Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
VI Bài tập luện tập
Bài 1 :Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
Bài 2 :Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
Bài 3: Biện luận theo tham số m số đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau
Bài 4:Tìm điểm uốn (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị của mỗi hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng . Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn đó của hàm số
Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a. , b. 
c. , d. 
e. , g. 
h. k. 
Bài 7 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. , b. c. 
Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. , b. , c. , d.