Giáo án Giải tích 12 - Chương 0: Công thức lượng giác

CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
cosin
O
cotang
 sin 
tang
p
A
M
Q
B
T'
a
T
1.	Định nghĩa các giá trị lượng giác:
	Nhận xét: 
	· 
	· tana xác định khi ,	
	· cota xác định khi 
2.	Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
II
IV
sina
+
+
–
–
cosa
+
–
–
+
tana
+
–
+
–
cota
+
–
+
–
3.	Hệ thức cơ bản: 
sin2a + cos2a = 1; 	tana.cota = 1
Cung liên kết: 
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung phụ nhau
Cung hơn kém p
Cung hơn kém 
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
0
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin
0
1
0
–1
0
cos
1
0
–1
0
1
tan
0
1
–1
0
0
cotg
1
0
–1
0
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng: 
Hệ quả: 
III. CÔNG THỨC NHÂN
1.	Công thức nhân đôi:
 	 	sin2a = 2sina.cosa
2.	Công thức hạ bậc:	3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan: 
	Đặt: thì: ; ;	 
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1.	Công thức biến đổi tổng thành tích:
2.	Công thức biến đổi tích thành tổng:
 ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c
I – Ph­¬ng tr×nh lù¬ng gi¸c c¬ b¶n :
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau 
1. 2. 3. 4 . 5. 
6. 7. sin 2x = 2cos x 8. 9. 
10. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 11. 
Bµi 2 : T×m tÊt c¶ c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh 
II - Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­¬ng gi¸c 
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau 
1. 2. 3. 4. 5. 6. 
Bµi 2 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh víi m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
 1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m lµ tham sè )
 2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m lµ tham sè )
III – Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt víi sin x vµ cos x
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
1. 2. 3. 
4. 5. 6. 
7. 
Bµi 2 : Cho 
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 
2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa y
Bµi 3 : Cho ph­¬ng tr×nh m sin x + 2 cos x = 1-m
 X¸c ®Þnh m ®Ĩ
Ph­¬ng tr×nh v« nghiƯm 
Ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm 
IV – Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai ( §¼ng cÊp bËc hai ) ®èi víi sin x vµ cos x 
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
 1) 2) 3) 
 4) 5) 6) 
7) 8) 9) 
Bµi 2 : Cho ph­¬ng tr×nh ( m +3) ( 1+sinx cos x) = (m+2) cos2x
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = -3 ; m = 0
T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm 
V – Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi sin x vµ cos x 
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
 1 . 2 . 
3. 4 . 
 5 . 6 . 
 7 . 8 . 
 9 . 10 . 
11 . 12 . 
Bµi 2 : Cho ph­¬ng tr×nh m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 
T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm 
Bµi 3 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt hµm sè 
y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
VI – Ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c kh¸c
A- ph­¬ng tr×nh gi¶i b»ng c¸ch dỈt Èn phơ 
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
1. 2. 
B- Sư dơng c«ng thøc h¹ bËc 
Bµi 2 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
1. 3. 
2. . 
C – Ph­¬ng tr×nh biÕn ®ỉi vỊ tÝch 
Bµi 3 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
1 . 2. 
3. 4 . 
5 . 6 . 
7. 8 . 9 . 
10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x
D- Ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c cã ®iỊu kiƯn
Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau 
 1. 2. 
 3. 4.
 5. 
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
 1. 2. 3. 4. 5. 
 6. 
Bµi 3 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh
 1. 2. 3. 
 4. 5. 
 6. 7. 
 8. 
Bµi 4: 
a) T×m c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh 
b) T×m c¸c nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh
c) T×m c¸c nghiƯm tho· m·n ®iỊu kiƯn cđa ph­¬ng tr×nh
d) T×m c¸c nghiƯm tho· m·n cđa ph­¬ng tr×nh 
Ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c cã chøa tham sè 
Khi ®Ỉt Èn phơ t = f ( x) ta cÇn chĩ ý c¸c yªu cÇu sau :
* T×m ®iỊu kiƯn cđa Èn phơ t : Th­êng dïng c¸c c¸ch sau :
C¸ch 1 : Coi t lµ tham sè t×m t ®Ĩ ph­¬ng tr×nh f(x) = t cã nghiƯm víi Èn x 
C¸ch 2 : T×m miỊn gi¸ trÞ cđa hµm sè f (x) 
C¸ch 3 : ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc 
* Víi x th× t ph¶i tho· m·n ®iỊu kiƯn g× ? Gi¶ sư t 
* Víi mçi t th× ph­¬ng tr×nh f(x) = t cã mÊy nghiƯm Èn x 
 1: Cho ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c f ( x , m) = 0. T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm x
 X¸c ®Þnh m ®Ĩ c¸c ph­¬ng tr×nh sau :
Cos 2x – 3 cos x +m = 0 cã nghiƯm 
m cos 2x + sin 2x = 2 cã nghiƯm 
m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x cã nghiƯm 
( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 cã nghiƯm 
cos 4x - = 2 m cã nghiƯm 
 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x cã nghiƯm 
Cos 2x = m cos 2x cã nghiƯm 
9. tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 cã nghiƯm 
 10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 cã nghiƯm 
Bµi to¸n 2 : Cho ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c f ( x , m) = 0 . T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã n nghiƯm x 
T×m m ®Ĩ c¸c ph­¬ng tr×nh sau tho· m·n :
m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 cos dĩng hai nghiƯm ph©n biƯt 
m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 cã ®ĩng ba nghiƯm ph©n biƯt x 
m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m cã ®ĩng hai nghiƯm 
( 1- m) tan 2 x - cã nhiỊu h¬n mét nghiƯm 
(2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x cã ®ĩng hai nghiƯm 
cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 cã ®ĩng b¶y nghiƯm 
sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 cã ®ĩng t¸m nghiƯm 
 4 sin 2x + m cos x = cos 3x cã ®ĩng ba nghiƯm