Giáo án dạy thêm Toán 12

Chủ đề 1 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Các bài toán có liên quan đến đồ thị
Ngày giảng: Thứ 3, ngày 30 tháng 9 năm 2008
Có mặt :  học sinh
Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) = x + 3x + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ.
Giải bất phương trình f(x - a) < 21 với a là nghiệm của phương trình f”(x) = 0
Giải:
1. Txđ: D = R.
 2. Sự biến thiên:
*) Chiều biến thiên:
y’ = 3x + 6x
y’ = 0 
y’ < 0 với mọi x thuộc (- 2 ; 0) Hàm số nghịch biến / (- 2 ; 0)
y’ > 0 với mọi x thuộc (- ; - 2) và (0 ; +) Hàm số đồng biến / 
*) Cực trị: hàm số có 2 cực trị
 x = 0 y = 1 x = - 2 y = 5
 *) Các giới hạn tại vô cực: 
 *) Bảng biến thiên: 
x
- - 2 0 + 
y’
 + 0 - 0 +
y
 5 +
- 1
 3. Đồ thị:
 Giao điểm của đồ thị với Oy: A (0 ; 1) 
 Giao điểm của đồ thị với Ox: B (- 3,1 ; 0)
 b) Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ (không trùng với Oy) có phương trình là y = kx (k là hệ số góc).
Điều kiện cần và đủ để d là tiếp tuyến của (C) là hệ phương trình sau có nghiệm:
Vậy qua gốc tọa độ, kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C):
y = - 3x và y = x.
c) Vì a là nghiệm của phương trình f”(x) = 0 nên a = -1
Ta có: f(x - a) = f(x + 1) = x + 6 x + 9x + 5
f(x + 1) < 21 x + 6 x + 9x + 5 < 21 x + 6 x + 9x – 16 < 0 
 (x – 1) (x + 7x + 16) < 0 x < 1
Vậy bất phương trình f(x – a) < 21 có tập nghiệm là (- ; 1).
Bài tập 2. Cho hàm số y = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại gốc tọa độ cắt lại (C) ở điểm M. Tìm tọa độ của điểm M.
Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y = kx.
Giải:
a) 
b) Vì y’(0) = nên tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại gốc tọa độ là: y = x
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với (C) là nghiệm của phương trình:
Vậy tọa độ của M là: M .
c) Xét phương trình: 
Phương trình này luôn có một nghiệm x = 0. Số nghiệm còn lại phụ thuộc vào giá trị của biệt số của phương trình (1): 
*) Nếu k = thì phương trình (1) có một nghiệm kép x = 1. Khi đó đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm (1 ; ) và cắt (C) tại gốc tọa độ.
*) Nếu k > thì d cắt (C) tại một điểm là gốc tọa độ.
*) Nếu k < (k ) thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Trường hợp k = thì d là đường thẳng y = x đã xét ở ý b). Lúc này d tiếp xúc với (C) tại gốc tọa độ và cắt (C) tại điểm M .
Bài tập 3. Cho hàm số y = mx - (m - 1)x + 3(m - 2) + 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình: 2 x - 3 x + 1 < 0.
Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Giải: Khi m = 2 ta có: y = 
a) 
b) Ta có: 2 x - 3 x + 1 < 0 < 0 
Vì vế trái của bpt chính là hàm số vừa xét ở ý a) nên tập nghiệm của bất phương trình chính là các giá trị của x ứng với phần đồ thị nằm ở phía dưới trục hoành. 
Do đó, bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .
c) Ta có: y’ = m x - 2(m - 1)x + 3(m - 2)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
 m x - 2(m - 1)x + 3(m - 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
.
Ngày giảng: Thứ 5, ngày 02 tháng 10 năm 2008
Có mặt :  học sinh
Bài tập 4. Cho hàm số y = x + 2 (m - 2) x + m - 5m + 5 có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
Tính giá trị của m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Giải: a) Khi m = 1 ta có hàm số: y = x - 2 x + 1.
Bảng biến thiên: 
x
- - 1 0 1 + 
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
+ 	1	+ 
	0	0
Đồ thị: 
b) Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
x + 2 (m - 2) x + m - 5m + 5 = 0 có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình 
t+ 2 (m - 2) t + m - 5m + 5 = 0 (với x = t , t 0) có hai nghiệm dương phân biệt
Vậy với 1 < m < thì đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài tập 5. Cho hàm số y = x - mx + n – 1
Tìm m và n để hàm số đạt cực trị bằng - khi x = - 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m và n vừa tìm được.
Giải: a) Ta có y = f(x) = x - mx + n – 1 f’(x) = x - 2mx.
Hàm số đạt cực trị bằng - khi x = - 1, nên ta có:
Vậy với m = n = hàm số đạt cực trị bằng - khi x = - 1.
b) Với m = n = ta có: y = x- x - 
*) Bảng biến thiên: 
x
- - 1 0 1 + 
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
+ - 	+ 
 - - 
*) Đồ thị:
Bài tập 6. Cho hàm số y = x - 2 (m – 1) x + m (1)
Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
Chứng tỏ đồ thị hàm số (1) luôn đi qua 2 điểm cố định.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
Xác định k để phương trình (x - 1) + k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải: a) Ta có: y’ = 4x - 4 (m - 1) x
Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: y’ = 0 4x - 4 (m - 1) x = 0 (2)4x (x - m + 1) = 0 
Rõ ràng x = 0 không phải là nghiệm của (*)
Vậy (2) có 3 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt m + 1 > 0 m > - 1
Do đó với m > - 1 thì hàm số có 3 cực trị.
b) *) Phương pháp giải toán:
- Từ hàm số đã cho biến đổi để đưa về phương trình bậc nhất đối với ẩn m.
- Tìm điêù kiện để phương trình đó nghiệm đúng với mọi m (pt có vô số nghiệm)
- Kết luận : Các cặp số (x ; y) vừa tìm được chính là tọa độ của các điểm cố định cần tìm.
Ta có: y = x - 2 (m – 1) x + m (- x + 1) m + (x + x - y) = 0
Phương trình trên nghiệm đúng với mọi m 
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định là (- 1 ; 2) và (1 ; 2).
c) Khi m = 2 ta có: y = x - 2 x + 2
d) Ta có: (x - 1) + k = 0 x - 2 x + 1 + k = 0 x - 2 x + 3 = 1 - k
Để phương trình (x - 1) + k = 0 có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình 
x - 2 x + 3 = 1 – k có 4 nghiệm phân biệt 1 < 1 – k < 2 - 1 < k < 0.
Vậy với - 1 < k < 0 thì phương trình (x - 1) + k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Ngày giảng: Thứ 3, ngày 28 tháng 10 năm 2008
Có mặt :  học sinh
Bài tập 7. Cho hàm số y = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = - 2.
Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Giải:
1. Với m = - 2 ta có: y = 
2. Gọi là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số.
Ta có (1) 
Vậy đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1 ; 2). 
Bài tập 8. Cho hàm số y = (1) với m là tham số
Tìm m để đồ thị (C) của (1) đi qua điểm M (- 1 ; 2). Khảo sát (1) với m tìm được.
Dựa vào đồ thị vừa vẽ ở ý a) biện luận theo b số nghiệm của phương trình .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại x = - 1.
Giải: 
M (- 1 ; 2) thuộc (C) 
 Với m = 2 ta có: y = 
Dựa vào đồ thị trên ta có: 
(2) vô nghiệm khi b = 1
(2) có nghiệm duy nhất khi b 1.
3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - 2x.
Bài tập 9. Cho hàm số y = 
Tìm a, b để đồ thị của hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2 và hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 bằng 4.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a, b vừa tìm được.
Giải:
Ta có y = a là tiệm cận ngang.
Vậy a =2.
Vì y = 
Ta lại có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 bằng 4 nên y’(0) = 4
 2 – b = 4 b = - 2.
Ta có y = 
Bài tập 10. Cho hàm số 
Xđ m để 2 đường tiệm cận của đồ thị cắt nhau tại điểm nằm trên đường thẳng d có phương trình y = 2x – 5.
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.
Với m = - 1 hoặc m = 2 thì đồ thị của hàm số sẽ như thế nào ?
Giải:
1. Ta có là tiệm cận đứng.
 là tiệm cận ngang.
Gọi I (m ; m - 2) là giao điểm của hai đường tiệm cận
Vì I thuộc d nên ta có m – 2 = 2m – 5 m = 3.
2. Yêu cầu hs tự làm.
3. Với m = - 1 hoặc m = 2 thì đồ thị của hàm số sẽ song song hoặc trùng với trục Ox.
 Bài tập 11. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
 b) Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
Giải:
b) Ta có: y = 
 là ước của 5
Vậy có 4 điểm trên (C) có toạ độ nguyên là: 
Bài tập 12. Cho 
Ngày giảng: Thứ 6, ngày 30 tháng 10 năm 2008
Có mặt :  học sinh
Bài tập 13. Cho hàm số y = 
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
Chứng minh rằng (H) luôn đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi.
Xác định m để các tiếp tuyến của (H) tại 2 điểm cố định là song song với nhau.
Giải:
1. Với m = 1 ta có: y = 
2. Ta có: y = (x + m) y = mx + 4 (y - x) m + xy – 4 = 0
Vậy (H) luôn đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi (đpcm).
3. Ta có: y’ = 	
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (2 ; 2) là: y’(2) = 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (- 2 ; - 2) là: y’(- 2) = 
Để hai tiếp tuyến này song song với nhau ta phải có: y’(2) = y’(- 2)
 = 
Bài tập 14. Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường phân giác thứ 2 của mặt phẳng toạ độ.
Giải: 1. 
2. Ta có: y’ = . Theo bài ra ta có: y’(x) = - 1