Giáo án Đại số 10 - Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

Bài 1: Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến
a&b
I - Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến
	1. Mệnh đề:Một Mệnh đề lôgic(gọi tắt là mệnh đề)là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
	-Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. 
	- Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng - sai thì không phải là mệnh đề. 
	Ví dụ 1:
	1) Hãy đi nhanh lên ( không là mệnh đề)
	2) “5 + 7 + 4 = 15” (mệnh đề sai)
	3) Năm 2002 là năm nhuận (mệnh đề sai)
	4) Góc vuông có số đo 800 (là mệnh đề sai)
	5) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng)
	6) Hôm nay trời đẹp quá ! (không là mệnh đề)
	7) Bạn có khỏe không ? (không là mệnh đề)
	-Mệnh đề thường được kí bằng các chữ cái in hoa: Mệnh đề A, mệnh dề B,
	2. Mệnh đề chứa biến: Những câu mà tính đúng sai của nó phụ thuộc vào biến ta gọi là mệnh đề chứa biến.
 	Ví dụ 2:
 	1) “Số n chia hết cho 5” với n thuộc N.
 	2) “ a = b + 1” với a, b thuộc R 
II. Mệnh đề phủ định:
	1. Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của từ đó.
	-Mệnh đề phủ định của một mệnh đề P kí hiệu hiệu là 
 	+ P đúng thì sai
 	+ P sai thì đúng
	2. Ví dụ 3:
 	i. P: "là số hữu tỉ"
 	 	: "không phải là số hửu tỉ"
 	ii. Q: "3"
 	: "> 3"
III-Mệnh đề kéo theo:
	1. Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P Q
Đôi khi người ta còn nói “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q”. 
	-Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng Q sai
Ta thường gặp các tình huống sau
Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng, khi đó PQ là mệnh đề đúng. 
Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai, khi đó PQ là mệnh đề sai. 
	Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề
	P:“Tứ giác ABCD là 1 hình chữ nhật”
	Q:“Tứ giác ABCD là 1 hình bình hành”
	PÞQ:“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.
	QÞP “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
	2. Định lý toán học: Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: PÞQ
	-P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
	-Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
	-Hoặc 	điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)
	điều kiện cần để có P(x) là Q(x)
	Ví dụ 5: P “Tam giác ABC có hai góc bằng 600”
 	Q"Tam giác ABC là tam giác đều"
	Giải
	-"Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì tam giác đó lìà tam giác đều"
	--"Tam giác ABC có hai góc bằng 600 là điều kiện đủ để tam giác đó là tam giác đều"
	-"Tam giác ABC là tam giác đều là điều kiện cần để am giác ABC có hai góc bằng 600".
IV-Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương
	1. Mệnh đề đảo: Mệnh đề gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề 
	- Khi là mệnh đề đúng thì mệnh đề chưa hẳn là mệnh đề đúng.
	2. Hai mệnh đề tương đương: Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu: 
	-Đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề tương đương là “P khi và chỉ khi Q”
Mệnh đề đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
Mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo và đều đúng.
	Ví dụ 6: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích.
	Xét P: “ Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau”
	Q: “Tam giác có ba cạnh bằng nhau”
	Khi đó PÞ Q đúng; QÞP đúng. Vậy PÛQ
	Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD, các mệnh đề sau:
 	P: “ABCD là hình bình hành”
 	Q: “ABCD có các cặp cạnh đối song song” 
	P và Q là các mệnh đề tương đương nhau
	Ví dụ 8 : Xét các mệnh đề 
	A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;
	B: “36 chia hết 12”
	Khi đó: A đúng; B đúng
	AÛB: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng
V-Kí hiệu :
 	1. Kí hiệu : 
	- có ý nghĩa “với mọi phần tử x thuộc tập hợp X, x có tính chất P”
	-Ví dụ 9: (Mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng không)
 	2. Kí hiệu :
	- có ý nghĩa “tồn tại ít nhất một phần tử x thuộc tập hợp X, x có tính chất P” hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một)
	-Ví dụ 10:(tồn tại số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn chính nó)
	3.Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu :
 	- Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề là .
	- Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề là .
	Ví dụ 11: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
 	1, P: 
	2, Q: 
---------------------------------------------hết ---------------------------------------------
Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học
a&b
I. Định lý và chứng minh định lý:
	-Trong toán học, định lý là những mệnh đề đúng 
	-Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng: 
	-Trong đó P(x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
	-Chứng minh định lí dạng (1) là dùng các suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là mệnh đề đúng, nghĩa là chứng minh rằng với mọi x thuộc X, nếu P(x) đúng thì Q(x) đúng.
	-Định lí (1) có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp.
	-Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:
	+Giả thiết rằng x thuộc X và mệnh đề P(x) đúng.
	+Dùng các suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng mệnh đề Q(x) là đúng.
	-Đôi khi việc chứng minh trực tiếp một định lý gặp khó khăn, khi đó ta dùng cách chứng minh gián tiếp. 
	-Một cách chứng minh gián tiếp thương dùng là chứng minh bằng phản chứng.
	-Cách chứng minh bằng phản chứng được tiến hành như sau:
Giả sử tồn tại x thuộc X sao cho P(x) đúng và Q(x) sai
Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để đi đến một mâu thuẫn.
II. Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
	Cho định lí 
	-	P(x) gọi là giả thiết của định lí và Q(x) là kết luận của định lí
Hoặc P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Hoặc Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
III. Định lí đảo – Điều kiện cần và Đủ.
	-Mệnh đề gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề (1). Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai.
Nếu mệnh đề (2) đúng thì (2) gọi là định lí đảo của định lí (1). Lúc đó định lí (1) sẽ được gọi là định lí thuận.
Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lí :
 và ta nói P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
	-Ngoài ra ta còn nói “ P(x) nếu và chỉ nếu Q(x)” hoặc “P(x) khi và chỉ khi Q(x)” hoặc “Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)”.
	---------------------------------------------hết ---------------------------------------------
Bài 3: Tập hợp - các phép toán trên tập hợp
a&b
I. Khái niệm tập hợp:
	1-Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của Toán học. Thông thường, Tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hoặc một vài tính chất nào đó.
Nếu a là phần tử của tập hợp X, kí hiệu 
Nếu a không phải là phần tử của tập hợp X, kí hiệu .
	-Ví dụ 1:
 	+Tập hợp các học sinh của một lớp học
 	+Tập hợp các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10
	-Nếu a là một phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu là: aA (và aA nếu a không phải là phần tử của A)
	2. Cách xác định tập hợp:
	-Ta có thể xác định tập hợp bằng một trong các cách sau:
 	+Liệt kê các phần tử của nó
 	+Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó
	-Ví dụ 2:
 	1,Tập hợp các ước số tự nhiên của 20
 	{1;2;4;5;10}
 	2,Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 5
 	{x| x = 5k,-1< k < 20, kN}
A
	-Người ta thường minh hoạ tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.
	3.Tập hợp rỗng:
	-Tập hợp rỗng kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào
	-Ví dụ: {x R/ x2 < 0}
	- A
II-Tập hợp con:
B
A
	-Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B ta nói A là tập hợp con của B. Kí hiệu AB
	- ABx (xAxB)
	-Minh hoạ bằng biểu đồ Ven:
	-Ta có các tính chất sau:
 	i,AA với mọi tập A
 	ii,Nếu AB và BC thì AC
 	iii,A với mọi tập A
III-Tập hợp bằng nhau:
	-Khi AB và BA ta nói tập hợp A bằng tập hợp B. Kí hiệu A = B
	-A = B x (xAxB)
	-Ví dụ: 	A={2;3}
 	B={xR| x2-5x+6=0}
 	Ta có A=B
IV-Giao của hai tập hợp:
	-Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C=AB
	-AB ={x| xA và xB}
	- xAB{xA và xB}
 AB
V-Hợp của hai tập hợp:
	-Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu C = AB
	-AB={x| xA hoặc xB}
	- xAB{xA hoặc xB}
 AB
	-Ví dụ: Cho hai tập hợp
 	A={3;4;6;8;9}
 	B={1;2;3;4;5;6;7}
 	 i,AB={3;4;6}
 	ii,AB={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
VI-Hiệu và phần bù của hai tập hợp:
	-Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu C=A\B
 	+ A\B= {x| xA và x B }
 	+ xA\B{ xA và x B }
	-Minh hoạ hiệu của hai tập hợp 
A
 B
A
 A\B
	Khi B A thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu CAB
VII-Các tập hợp số đã học: 
	1.Tập hợp các số tự nhiên:
	- N = {0, 1, 2, 3, 4, 5............}
	- N* = {1, 2, 3, 4, 5.............}
	2.Tập hợp các số nguyên:
	- Z = {....-3,-2,-1, 0,1,2,3,.......}
	3.Tập hợp các số hữu tỉ
	-Tập số hữu tỉ kí hiệu là Q
	-Số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng phân số, hoặc dưới dạng số thập phân hữu hạn, hoặc số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
	4.Tập hợp số thực:
	-Tập hợp số thực gồm số thập phân hữu hạn và vô hạn không tuần hoàn, kí hiệu là R
	-Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số
VIII-Các tập hợp con thường dùng của R:
	1.Khoảng:
	(a;b) = {x| a < x < b}
	(a;+∞) = {x| a < x}
	(-∞;a) = {x| x < b}
	Ví dụ1:
	1, (1; 2 ) = {x| 1< x < 2}
	2,( -5 ; +∞) = {x| -5 < x}
	2.Đoạn:
	[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b}
	Ví dụ2:
	[-2; 3 ] = { x| -2 ≤ x ≤ 3} 
	3.Nữa khoảng:
 	[ a; b) = {x R | a ≤ x < b}
 	( a; b] = {x R | a < x ≤ b}
 	[ a; +∞ ) = {x R | a ≤ x}
	(-∞ ; b ) = {x R | x < b}
---------------------------------------------hết ---------------------------------------------
Bài 4: Số gần đúng – sai số
a&b
I-Số gần đúng:
	1. Trong nhieàu tröôøng hôïp ta khoâng theå bieát ñöôïc giaù trò ñuùng cuûa ñaïi löôïng maø ta chæ bieát soá gaàn ñuùng cuûa noù. Trong ño ñaïc, tính toaùn ta thöôøng chæ nhaän ñöợc caùc soá gaàn ñuùng.
	Ví dụ: Tính diện tích của hình tròn bán kính r = 2 cm.
 	Giải
	-Diện tích của hình tròn là S = .22 = 4
	-Nếu lấy một giá trị gần đúng là 3,1 thì diện tích của hình tròn là:
 S1= 3,1. 4 = 12,4 (cm2)
	-Nếu lấy một giá trị gần đúng là 3,14 thì diện tích của hình tròn là:
 S2 = 3,14 . 4 = 12,56 (cm2)
	Các giá trị S1 ,S2 là các giá trị gần đúng vì là một số gần đúng 
 	2. Nhận xét: Trong thực tế, đo đạc, tính toán ta thường nhận được các số gần đúng
II-Sai số tuyệt đối:
 	1.Sai số tuyệt đối:
	-Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a’ là giá trị gần đúng của nó. Giá trị phản ánh mức độ sai lệch giữa a và a’, ta gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a’ và kí hiệu , Vậy 
Ta có thể đánh giá được không vượt quá một số dương d nào đó.
- Nếu thì 
	 Quy ước viết là :
	-Vậy d càng nhỏ thì độ sai lệch của số gần đúng a’ so với số đúng a càng ít, do đó d gọi là độ chính xác của của số gần đúng. 	
Ví dụ: Tính đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 3cm và xác định độ chính xác của kết quả vừa tìm được. 
	Giải
	-Độ dài đường chéo hình vuông là 3cm
	-Nếu lấy = 1,4 thì độ dài đường chéo là 4,2 cm
 	Khi đó 4,2 < 3 < 3. 1,42 = 4,26
 	Suy ra: < =0,06
	Vậy 3= 4,2 0,06
	2. Sai Số tương đối:
	-Sai số tương đối của số gần đúng a’ là tỉ số giữa sai số tuyêt đối và |a’|, kí hiệu là . Ta có: 
Nếu thì , do đó 
Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm. 
III-Quy tròn số gần đúng:
 	1.Ôn tập quy tắc làm tròn số
 	Ví dụ 1: Quy tròn đến hàng nghìn của các số sau x = 3567463; y = 54689543
 	Ta có: 	x3567000
 	y 54690000
 	Ví dụ 2: Quy tròn đến hàng phần trăm các số sau x= 23,45268; y =589,4692
 	Ta có 	x23,45
 	y 58,47
 	2. Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước
 Quy tròn các số sau:
 	a) 374529200: 374529375000
 	b) 4,13560,001: 4,1356 4,14