Giáo án bồi dưỡng ôn thi tốt nghiệp môn Toán 12 - Kì II

Chương III: NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
Tuần 1 (HKII):	 NGUYÊN HÀM 
I/ Tóm tắt lí thuyết :
1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K.
 Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu 
 ta có: 
2/ Tính chất:
 Tính chất 1: 
 Tính chất 2: 
 Tính chất 3:
Tính chất 4:
3/ Bảng nguyên hàm thường dùng.
4/ Các phương pháp nguyên hàm:
a/ Phương pháp đổi biến:
Định lý: Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
b/ Phương pháp từng phần:
Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải: 
 Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Giải
a/
b/
c/
d/ 
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: 
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F()= 0.
Giải
Ta có F(x)= x – cos3x + C. Do F() = 0 - cos + C = 0 C = -.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x -
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:
Phương pháp giải: 
Tính nguyên hàm (1) bằng phương pháp đổi biến.
 b1: Đặt t = (x) dt = 
 b2: Thay vào (1) ta được , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính 
 b3: Thay t=(x) vào nguyên hàm vừa tìm được suy ra kết quả
Ví dụ :
a) Xét nguyên hàm 
Đặt u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: 
b) Xét ; đặt t=lnx dt = 
c)Tính A =
Giải. Đặt u = x + 1 x = u – 1; du = dx A = 
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp Từng phần:
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu nguyên hàm baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån nguyên hàm ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn .
 B3: Tính suy ra keát quaû.
Ví dụ : 
a/ Tìm 
Đặt 
Ta có : = - x.cosx + = - xcosx + sinx + C
b/Tìm I=
Đặt 
Khi đó: 
=x2.ex - 2
Tính 
 Đặt Þ =x.ex - =x.ex – ex +C1
Þ I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C
c/ Tìm 
Đặt Þ = xlnx - = xlnx – x + C
B/ Bài tập tự giải:
Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1. f(x) = x2 – 3x + 2. f(x) = 
3. f(x) = 4. f(x) = 
5. f(x) = 6. f(x) = 
7. f(x) = 8. f(x) = 
9. f(x) = 10. f(x) = tan2x 
11. f(x) = cos2x 12. f(x) = (tanx – cotx)2 
13. f(x) = 14. f(x) = 
15. f(x) = sin3x 16. f(x) = 2sin3xcos2x 
17. f(x) = ex(ex – 1) 18. f(x) = ex(2 + 
19. f(x) = 2ax + 3x 20. f(x) = e3x+1 
Bài 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 
3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 4. f’(x) = x - và f(1) = 2 
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 6. f’(x) = ax + 
7. f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= 8. f’(x) = e1-2x , bieát f( 
 9. f’(x) = , bieát f(
Bài 3. Dùng phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm các hàm số sau: 
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 
 8. 9. 10. 
11. 12. 13. 
 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 
21. 22. 23. 
 24. 25. 26. 
 27. 28. . 30. 31. 32. 
Bài 4. Dùng phương pháp từng phần tìm nguyên hàm các hàm số sau.
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 9. 
10. 11. 2. 13. 14. 
15. 16. 18. 19. 
20. 21. 22. 23. 24. 
Tuần 2 (HKII)	 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
NỘI DUNG VÀ BÀI TẬP
I/TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VECTO:
1. Hệ tọa độ: Kg Oxyz, cho 3 trục x’Ox; y’Oy; z’Oz đôi một vuông góc nhau với: là các vecto đơn vị. Hệ 3 trục như vậy đgl hệ trục Oxyz.
+ Điểm O: gốc tọa độ;
+ trục tọa độ: Ox; Oy; Oz.
+ Mp tọa độ ( Oxy); ( Oyz); ( Oxz).
* chú ý:Vecto đơn vị nằm trên trục và có độ dài =1 và
2. Tọa độ điểm, vecto:
+ Tọa độ điểm 
x: đgl hoành độ
y: đgl tung độ
x: đgl cao độ
+ Tọa vecto 
VD1: 
a) Xác định toạ độ điểm, vecto sau biết:
b) Biểu diễn các điểm và vecto:
* Chú ý: 
+ vecto không: 
II/ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN:
1. Cho vetor ta có:
2. Chú ý: 
+ và cphương
+ ta có:
M là trung điểm của AB ;	G : trọng tâm D ABC 
VD2: Cho các vecto: 
a) Xác định toạ độ các vecto sau:
b) Tính độ dài các vecto:
c) Tìm toạ độ vecto biết 
gọi vecto 
ta có 
c) Tìm toạ độ vecto biết 
d) Tìm toạ độ vecto biết cùng phương với vecto 
vì cùng phương với vecto Û 
VD 3: Cho 4 điểm A( 5;1; 3 ), B( 1;6; 2 ), C( 5;0;4 ).
a) Tính các vecto 
b) Tính độ dài các cạnh của ΔABC.
c) Xác định toạ độ trọng tâm ΔABO.
d) Tìm toạ độ điểm D: ABCD là hình bình hành.
H.dẫn câu d: Gọi toạ độ điểm . Ta có: 
ABCD là hbh 
Suy ra toạ độ 
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTO: 
Chovecto: . Ta có: + 
+ góc giữa 2 vecto là : 
+ 
+ 
VD4: cho các vecto :
a) Tính các tích vô hướng sau:
. 
b) Tính góc giữa các vecto sau:
vì 
III/ ỨNG DỤNG:
1. Tích có hướng của 2 vecto: a. Cho 2 vecto 
thì đgl tích có hướng của 2 vecto và .
b. Tính chất:+ ; 
 + 
+ cùng phương =0; 
+ ^; ^
+ ; và đồng phẳng 
VD : Tính các định thức sau:
VD 5: cho 3 vecto 
. 
a) Tính các tích có hướng sau:
b) Tính tích vô hướng của các vecto:
2. Tính diện tích :
* DABC thì:
* hbh ABCD thì: 
3. Tính thể tích hình hộp; thể tích tứ diện:
a/ Thể tích h.hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 
b/ thể tích của tứ diện ABCD là: 
VD 6: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A( 5;1;3 ), B( 1;6;2 ), C( 5;0;4), D( 4;0;6 ).
a. Tính diện tích DABC; DABD.
b. Xđịnh E để ABCE là hbh; tính diện tích của nó.
c. C/tỏ: 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng. tính thể tích của tứ diện ABCD. 
a. Áp dụng c.thức: Ta có:
ÞSΔABC.
T.Tự cho DABD.
b. Gọi toạ độ điểm 
tứ giác ABCE là hbh 
Nên 
c.
+ A;B;C;D không đồng phẳng 
ta có: 
 nên 
Vậy A;B;C;D không đồng phẳng 
+ Tính thể tích tứ diện ABCD?
Gọi V là thể tích tứ diện ABCD 
Ta có: (đvtt)
BAØI TAÄP VEÀ TOAÏ ÑOÄ ÑIEÅM TOAÏ ÑOÄ VEÙCTÔ:
1:Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cña vect¬ : = 4- 2+ 3 b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ ,,kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biÓu diÓn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ ,,.
2: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . 
3: T×m täa ®é cña vect¬ , biÕt r»ng: a) vµ b) vµ c) vµ , 
4: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.	b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
5: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
a) Qua gèc täa ®é O 	 	b) Qua mÆt ph¼ng Oxy	 	c) Qua Trôc Oy.
6: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i.
7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M.
a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? 	b) T×m täa ®é ®iÓm M. 
 8 . Cho ba vect¬ T×m:
 .
 9. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : 
10. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
	b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
11. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
 a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch DABC.
 c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d/ T×m to¹ ®é träng, trùc t©m cña DABC.
 e) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña DABC h¹ tõ ®Ønh A. f) TÝnh c¸c gãc cña DABC.
 d/ T×m täa ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC .
12. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn. 
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD.
c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A.
d/ T×m to¹ ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD.
e/ X¸c ®Þnh to¹ ®é ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng mÆt ph¼ng (BCD)
Tuần 3 (HKII)	 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
Đ.lí: Trong kg Oxyz, mặt cầu (S) tâm bán kính R có pt là: (1)
Khai triển pt (1) ta có phương trình 
Hay (2)
Pt (2) là pt m/c 
Lúc đó, m/c (S) có:
BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) 	b)
c) 	d) 
Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4.	 b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x.	 d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).
Bµi 4: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
c/ ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp diÖn víi mÆt cÇu (S) t¹i A.
 Baøi 5 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho 
vaø ñöôøng thaúng (d) : 
a/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa caùc ñöôøng thaúng laø giao tuyeán cuûa maët phaúng vôùi caùc maët phaúng toïa ñoä. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD bieát A , B , C laø giao ñieåm töông öùng cuûa maët phaúng vôùi caùc truïc toïa ñoä Ox , Oy , Oz, coøn D laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxy.
b/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD).
Baøi 6: Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho boán ñieåm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) , C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ). 
a/ Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ba ñieåm A , B , C.
b/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm D vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P).
c/Vieát phöông trình maët caàu (S) taâm D vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).
Tuần 4 (HKII): 	TÍCH PHÂN
I/TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 
 = F(x)|=F(b) -F(a).
 1/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: . Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a). Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì : 
2/ Tính chất của tích phân
1)= 0 2)= – 3) + = 
4) + 5) = 
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
 Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát.
Phöông phaùp giaûi: 
 Thöôøng ñöa tích phaân ñaõ cho veà tích phaân cuûa toång vaø hieäu sau ñoù vaän duïng baûng nguyeân haøm thöôøng duøng keát quaû.
Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau:
 a/ b/ c/ 
Giaûi
a/ = 
b/
==8
c/ =+=+ =(x-=5 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Bài 1: Tính caùc tích phaân sau:
1.	2. 2. 	3. 4. 5. 
6. 7. 8. 	9. 10. 11. 
	13. 14. 
	15. 16. 	 17. 
18. 19. 20. 	
21. 22. 	 22. 
24. 25. 26. 	27. 28. 	 29. 
30. 31. 32. 33. 
34 35 36
Bài 2 : Tính caùc tích phaân sau:
 1. 	2. 
	3.	4. 	
5. 	6. 
7. 	8. 	
9. 	10. 
	11. 	12. 2) 
13. 	14. 
15. 	16. 	 
17. 	18. 
Tuần 5 (HKII) : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN :
I/ Tóm tắt lí thuyết :
 1. Phương pháp đổi biến số.
 Cơ sở của phương pháp đổi biến là công thức (1)
Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f(u(x)) được xác định trên K; a và b là 2 số thuộc K
Phương pháp từng phần.
 Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:
 Hay 
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
 Daïng 1: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán.
Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët t = (x) dt = 
 b2: Ñoåi caän: x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
Ví duï : Tính tích phaân sau :
 a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Ñoåi caän: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vaäy J = 
Daïng 2 Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
 Coâng thöùc töøng phaàn : 
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån tích phaân ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn.
 B3: Tích phaân suy ra keát quaû.
Chuù yù:
a/Khi tính tính tích phaân töøng phaàn ñaët u, v sao cho deã tính hôn neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët khaùc.
b/Khi gaëp tích phaân daïng : 
 - Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø moät trong caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx. Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phaân töøng phaàn 2,3,4 laàn theo caùch ñaët treân.
- Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø haøm soá ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/ I= b/J=
Giaûi
a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = cosx= -1
b/ Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
B/Bài tập tự giải:
 Tính caùc tích phaân sau bằng phương pháp đổi biến.
Bài 1 : 
a) b) c) d)
e) g) h) k) 
l/ m/
Bài 2 : 
a) ;	 b) (đặt ) 
c) (đặt );	 d) 
e) (đặt ). g) h) k) l) ;
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn :
Bài 1 : 
a) 	 b) ;	 c) ;	d);
 e) 	g) h) i) .
 j) k/ l/ m/ n/ p/ 
Tuần 6 (HKII) : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN :
Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a/Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ = .
b/ 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 2/J= 
b/Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: 
 Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
Ñaët =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. vaäy ta coù: 
=
 Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
CI:
=(ln 
CII: Đặt 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy = 
Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= 
Giaûi:
Ta có= 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
 1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	11. 	12. 
	13.	 14. 
	15. 	16. 
	17. 	18. 
	19.	 20. 
 21/I= 22/I= 23/ I= 
 Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ:
Daïng1: Ñaët t=
Daïng 2: Ñaët t=
Ví duï: Tính tích phaân I = 
Giaûi
Ñaët t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
Ñoåi caän:
x=0 t=1; x=1 t=0. Vaäy I= 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 2/ 
Tuần 7 (HKII) : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN :
Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
Ví duï :
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ b/ c/ d/
Giaûi
a/ = 
b/
c/I==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 vaäy: I=
d/J==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 J=
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
1. 2. 3. 4. 
5. 	 6. 7. 8. 9. 	 10. 
11.	 12. 13. 14. 
15. 16. 17. 18. 
19. 20. 21. 	22. 
23. 	24. 25. 26. 
27. 	 28. 29/ 30/ 31/ 32/ 33/
Tuần 8 (HKII) : ỨNG DỤNG TÍCH PHAÂN :
III/ Dieän tích hình phaúng:
1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø :
 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : 
Phương pháp giải toán:
 B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
 B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
 TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
 TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
 TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
 * Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví du1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2] và trục hoành .
Giải :
Ta có : sinx = 0 có 1 nghiệm x= vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S = = = 4 
Ví dụ 2: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
Ph tr hđgd : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 . Do đó :
S =
= = =
Ví dụ 3:
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (P): y2 = 4 x , và đường thẳng(d): 2x+y-4 = 0.
Giải: Ta có (P): y2 = 4 x x = và (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = 
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 
 Bài tập tự giải: 
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bài 2 : Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d­íi 0x b»ng nhau
Bµi 3: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
 Bµi 4: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 5: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1): 	2) (H2) : 	3) (H3): 
4) (H4): 	5) (H5): 	
6) 7) 	 8) 	
9) 10) 11) 
12) 13) 14) 15) 
16 17 ): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
18) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®­êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
Tuần 9 (HKII) : ỨNG DỤNG TÍCH PHAÂN :
2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tròn xoay
 Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là: 
Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo ra. 
Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2
Thể tích khối cầu là : V= = = = (đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là : 
== (đvtt)
Bài tập đề nghị:
Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
	a) Trục Ox
	b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 1
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
11) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
12) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
13) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14) quay quanh trôc a) 0x; 
15) quay quanh trôc 0x;
16) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
17) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y