Giáo án Bài 6: Đường tròn và các đường cônic (4 tiết)

 Bài giảng 6 (4 buổi )
Đường tròn và các đường cônic
******************
A- Đường tròn
I-Phương trình đường tròn 
 Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có pt: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (1).
 Mọi pt dạng: x2 + y2 +2Ax + 2By+C = 0, với đ/k A2 + B2 > C (2)
 là pt của một đường tròn.
II- Vị trí tương đối 
 1) Vị trí tương đối của hai đường tròn 
 Cho hai đường tròn: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (C) có tâm I(a;b) và
 (x-a')2 + (y-b')2 = R'2 (C') có tâm I'(a';b')
 Đặt d = OO' ta có vị trí tương đối của (C) và (C') như sau:
 + Hai đường tròn không cắt nhau.
 + Hai đường tròn cắt nhau.
 + Hai đường tròn tiếp xúc với nhau.
 2) Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng
 Cho đường tròn (C) như trên và đường thẳng (d):Ax+ By+ C = 0.
 khoảng cách từ tâm I(a;b) đến (d) là: h = .
 + h > R thì (d) không cắt (C).
 + h < R thì (d) cắt (C) theo một dây cung.
 + h = R thì (d) tiếp xúc với (C); (d): gọi là tiếp tuyến của (C)
III- Tiếp tuyến của đường tròn
 + Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;y0) là:
 (x-a)(x0-a) +(y-b)(y0-b) = R2
 + Điều kiện để đt (d) tiếp xúc với (C) là: = R
IV- Phương tích của một điểm đối với đường tròn
 + Cho đường tròn (C) và điểm M(x0;y0). Đường thẳng (d) qua M 
 cắt (C) tai 2 điểm E, F thì tích = MI2 - R2 luôn không đổi
 và gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (C)
 + Đặt f(x;y) = x2 + y2 +2Ax+ 2By + C thì phương tích của điểm 
 M đối với (C) ký hiệu là P(M)/(C) = f(x0;y0) 
 Chú ý: - Nếu M nằm ngoài đường tròn thì: P(M)/(C) > 0
 - Nếu M nằm trong đường tròn thì: P(M)/(C) < 0
 - Nếu M nằm trên đường tròn thì: P(M)/(C) = 0
 * Trục đẳng phương của hai đường tròn: cho hai đường tròn (C)
 và (C')có pt: x2+ y2+2Ax+2By+ C = 0, x2+y2+2A'x+2B'y+ C' = 0
 thì tập hợp những điểm có cùng phương tích đối với hai đường 
 tròn (C) và (C') là đường thẳng 2Ax + 2By + C = 2A'x+2B'y+C'.
V- Chùm đường tròn
 Cho hai đường tròn (C) và (C') có pt như trên cắt nhau tại 2 điểm
 phân biệt E, F ta có tập hợp chùm gồm tất cả những đường tròn 
 đi qua E, F có pt là:
 k(x2+ y2+2Ax+2By+ C) + l(x2+y2+2A'x+2B'y+ C') = 0, với:
VI- Phần bài tập
Bài1
 Cho tam giác ABC, biết A(-2;4), B(1/4;1), C(2;1). 
 a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài2
 Trong hệ trục toạ độ Cho điểm A(-2;4).
 a) Viết pt đường tròn (C) có đường kính là AO.
 b) Viết pt tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với các 
 trục toạ độ.
 c) Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B(4;7).
Bài3 
 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh 
 A(4;0), B(2;-2), C(3;-2-).
Bài4 
 Viết pt đường tròn tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình:
 (x-3)2 + (y -3)2 = 1 và tiếp xúc với trục Ox tại điểm A(1;0).
Bài5 
 Cho đường tròn (C) có pt: (x -a)2 + (y - b)2 = R2. Giả sử điểm
 M0(x0;y0) thuộc (C) . Chứng minh rằng Tiếp tuyến của (C) tại 
 điểm M0 là: (x - a)(x0 - a) + (y0 - b)(y - b) = R2 .
Bài6 
 Viết pt tiếp tuyến tuyến chung của cácđường tròn sau:
 x2 + y2 - 4x - 4y = -7 và x2 + y2 - 8x + 4y = -19.
Bài7 
 Cho họ đường tròn (Cm) có pt: a) x2 + y2 - 2(m+1)x + 4my = 5.
 a) Chứng minh (Cm) là một họ đường tròn thực. Tìm tập hợp
 tâm của họ khi m thay đổi.
 b) Chứng minh rằng trong họ (Cm) có hai đường tròn tiếp xúc
 với đường tròn đơn vị.Viết pt các đường tròn đó.
 c) Gọi 2 đường tròn ở câub) là (C1) và (C2) . hãy viết pt tiếp
 tuyến chung của (C1) và (C2) .
Bài8 
 Trong mặt phẳng cho họ đường cong có pt:
 F(x;y) = x2 + y2 - 2m(x - 2y- a) + 4m2 = 0. (1)
 Trong đó a là hằng số dương cho trước.
 a) Tìm điều kiện của m để họ (1) là pt của một họ đường tròn.
 Gọi (Cm) là họ đường tròn ứng với m tìm được ở trên. 
 Họ (Cm) có điểm cố định không?
 b) Chứng minh rằng đoạn thẳng nối 2 điểm A(2a;0) và 
 B(0;-2m) luôn luôn cắt (Cm).
 c) Tìm trục đẳng phương của họ (Cm).
Bài9 
 Trong mặt phẳng cho họ đường cong có pt:
 x2 + y2 - 2(1-m)x - 2m2y + m4 = 0. ( m khác 1) (Cm)
 a) Chứng minh (Cm) là họ đường tròn thực.
 b) Tìm tập hợp tâm của họ (Cm)
 c) Chứng minh rằng họ (Cm) luôn luôn tiếp xúc với một
 đường thẳng cố định tìm đường thẳng đó.
Bài10 
 Trong mặt phẳng cho đường tròn: x2 + y2 = R2 (C).
 Cho điểm M(x0;y0) nằm ngoài đường tròn. Gọi T1, T2 là các
 tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) với đường tròn 
 (C). a) Viết pt đường thẳng T1T2 .
 b) Giả sử M chạy trên một đường thẳng cố định (d)
 không cắt (C) . Chứng minh rằng T1T2 luôn đi qua một điểm 
 cố định. 
 B- Elíp
y
F1
F2
O
x
A
B
a
b
c
M
A'
B'
I- Lý thuyết
 1- Định nghĩa và phương trình chính tắc
 a) Định nghĩa:
 Elíp E = .
 F1, F2 : các tiêu điểm, F1F2 = 2c: Tiêu cự.
 b) Phương trình chính tắc:
 Phương trình chính tắc của Elíp trên là:
 (E) (1)
 Với b2 = a2 - c2 ( 0 < b < a).
Chú ý: + (1) có thể viết thành hai nửa của (E): 
 + ở dạng (1) nếu b > a > 0 thì khi đó có tiêu điểm nằm trên Oy.
 + Ngoài dạng (1) có khi elíp được viết dưới dạng:
 2- Các yếu tố khác của elíp 
* Tiêu điểm, tiêu cự: hai tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0); Tiêu cự: F1F2 = 2c * Tâm sai : e = suy ra 0 < e < 1. Nếu e càng lớn thì (E) càng dẹt.
* Bán kính: M(x;y) (E) các bán kính: 
* Đường chuẩn: Phương trình các đường chuẩn: x=a/e; x =-a/e.
 các đường chuẩn không cắt (E).
* Hình chữ nhật cơ sở: Tập hợp những điểm M(x;y) .
* Trục lớn, trục bé, đường tròn chính, đường tròn phụ:
 AA': Trục lớn, BB': Trục bé; 
 Đường tròn chính: Đường tròn đk AA'; 
 Đường tròn phụ: Đường tròn đk BB';
 3- Phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến của elíp 
 * Cho elíp (E) có pt (1). Giả sử điểm M0(x0;y0) (E) khi đó:
 Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0 là: (T)
 Phương trình pháp tuyến của (E) tại M0 là: (P)
 * Điều kiện để đường thẳng: Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (E):
a2A2 + b2B2 = C2
II- Phần bài tập
Bài1 
 a) Xác định elíp (E) có dạng biết (E) đi qua các điểm:
 A(2;0) và B(-1;.
 b) Với (E) tìm được ở trên hãy tính khoảng cách từ điểm M0()
 đến các tiêu điểm. Viết phương trình tiết tuyến của (E) tại M0.
 c) Viết phương trình các đường chuẩn của (E).
Bài2 Cho elíp (E): .
 a) Xác định (E) biết (E) tiếp xúc với các đường thẳng:
 (d1): x - 2y + 3 = 0 và (d2): 7x - 4y +9y = 0.
 c) Viết pt tiếp tuyến của (E) tạo với trục hoành một góc 450.
Bài3 
 Cho elíp (E) có phương trình tham số: .
 a) Viết phương trình chính tắc của elíp (E).
 b) Cho M thay đổi trên (E). H là chân đường vuông góc của M 
 trên trục Ox, I là trung điểm MH . Tìm tập hợp I.
 c)Lập pttt của (E) đi qua điểm A(2;).
 HD: Tính 4.(4x)2 và 9.(5y)2 sau đó đưa về: 
Bài4 Cho elíp (E): .
 a) Viết pt của (E) biết (E) đi qua các điểm: A(2;) và B(1;.
 b) Viết pt tiếp tuyến của (E) đi qua điểm I(1;1) và cắt E tại hai điểm
 M1 và M2 sao cho I là trung điểm của M1M2.
Bài5 
 Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp:
 (E1) và (E2).
Bài6 
 a) Cho elíp có pt: (E). Lập phương trình các cạnh hình
 vuông ngoại tiếp (E).
 b) Giải bài toán tổng quát.
Bài7 
 Cho elíp (E): . Các tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0).Gọi A(a;0),
 A'(-a;0), (T1) và (T2) là các tiếp tuyến của (E) tại A và A'. Giả sử M 
 là điểm thay đổi trên (E), Tiếp tuyến (T) của (E) tại M cắt (T1), (T2)
 lần lượt tại M1, M2.
x
y
F1
F2
O
A
M
A'
M1
M2
(T)
(T1)
(T2)
H1
H2
I
K
 a) Chứng minh rằng các góc vuông.
 b) Chứng minh: AM1.A'M2 = b2
 c) Gọi H1, H2 là chân các đường vuông
 góc của F1, F2 trên (T).
 Chứng minh: F1H1.F2H2 = b2.
 d) Gọi K là chân đường vuông góc hạ
 từ M xuống trục Ox, I là giao điểm 
 của (T) và Ox. Chứng minh OI.OK = a2.
 e) Tìm tập hợp giao điểm J của AM2 và A'M1.
Bài8 Cho elíp (E): .
 Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng toạ độ sao cho từ M
 có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông 
 góc với nhau.
C-HYPEBOL
I- Lý thuyết
 1- Định nghĩa và phương trình chính tắc
a) Định nghĩa:
y
F1
F2
O
x
A1
A2
M
K
d1
d2
l1
l2
 hypebol: H = .
 F1, F2 : các tiêu điểm, F1F2 = 2c: tiêu cự
 Điều kiện: c > a > 0
b) Phương trình chính tắc:
 Phương trình chính tắc của hypebol: (H) (1)
 Với b2 = c2 - a2 hay a2 + b2 = c2 với b > 0.
Chú ý: + (1) có thể viết thành hai nửa của (E): 
	 + Có thể viết pt hypebol dạng (không chính tắc)
 Khi đó tiêu điểm của (H) nằm trên trục Oy
 2- Các yếu tố khác của hypebol 
* Tiêu điểm, tiêu cự: hai tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0); Tiêu cự: F1F2 = 2c * Tâm sai : e = suy ra e > 1. 
* Bán kính: M(x;y) (H) các bán kính: là: 
* Đường chuẩn: Phương trình các đường chuẩn: x=a/e; x =-a/e.
 các đường chuẩn không cắt (H). Nằm giữa A1, A2, 
* Các đường tiệm cận: pt các đường tiệm cận là y = x và y = -x
3- Phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến của hypebol
 * Cho hypebol (H) có pt (1). Giả sử điểm M0(x0;y0) (H) khi đó:
 Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M0 là: (T)
 Phương trình pháp tuyến của (H) tại M0 là: (P)
 * Điều kiện để đường thẳng: Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (H):
a2A2 - b2B2 = C2
II- Phần bài tập
Bài1 Cho hypebol (H) có pt: . Biết (H) đi qua điểm A(-2;2)
 và tiếp xúc với đường thẳng: 4x - y - 2 = 0 (d).
	a) Xác định (H). Tính tâm sai, viết pt các đường chuẩn.
	b) Đường thẳng x = 2 cắt (H) tại các điểm M1, M2. Tính M1M2.
	c) Viết pttt của (H) đi qua điểm A(1;1).
 HD: a) (H) là ;
	 c) Chú ý đường thẳng x = 1 là 1tiếp tuyến qua A.
Bài2 Cho hypebol (H)
	a) Viết pt đường thẳng (d) đi qua điểm A(3;) cắt (H) tại hai điểm
 B; C sao cho A là trung điểm của BC.
	b) Giả sử (d) cắt các đường tiệm cận của (H) tại hai điểm E; F.
 Chứng minh BE = CF .
Bài4 Cho hypebol (H).Giả sử M(x0;y0) thuộc (H). Tiếp 
 tuyến (d) của (H) tại M cắt các đường tiêm cận lần lượt tại I, J.
	a) Chứng minh rằng M là trung điểm của IJ.
	b) Chứng minh OI.OJ = c2.
	c) Chứng minh diện tích tam giác OIJ Không đổi khi M thay đổi.
 d) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận
	 bằng .
	e) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của (H)
	 đến (d) bằng b2.
 Bài5 
 Cho elip (E) và hypebol (H) ta nói rằng chúng
 vuông góc với nhau nếu chúng cắt nhau và các tiếp tuyến của mỗi đường 
	 tại điểm chung đó vuông góc với nhau. 
a) Chứng minh rằng (E) và (H) vuông góc với nhau khi và chỉ khi chúng
 có cùng tiêu điểm.
b) Với điều kiện câu a) Chứng minh: a2 = b2 + m2 + n2.
D-PARABOL
O
x
y
F
M
(P)
(D)
H
-p/2
p/2
I
I- Tóm tắt lý thuyết
1-Định nghĩa 
 Parabol (P) = , 
 F là điểm cho trước gọi là tiêu điểm.
 MH Là khoảng cách từ M đến một đường 
 thẳng(D) cho trước gọi là đường chuẩn.
 FI = p gọi là tham số tiêu.
2-Phương trình chính tắc
 Đưa hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có phương
 trình chính tắc của Parabol là: y2 = 2px (P).
Chú ý: Các dạng không chính tắc: y2 = -2px; x2 = 2py; x2 =-2py ( p > 0).
3- Phương trình tiếp tuyến của parabol
 + Phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M(x0;y0) là
y0y = p(x+x0)
 + Phương trình pháp tuyến của (P) tại M là:
 y0(x-x0) +p(y-y0) = 0.
 + Điều kiện để đường thẳng: Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P):
pB2 = 2AC