Giáo án 12 môn Giải tích - Chương I: Ứng dụng của đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
1. Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với D/ = b2 - 3ac
D/ £ 0 
D/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
·KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
 y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 
·KL: hàm số tăng? Giảm?
·Hàm số không có cực trị 
· Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: · = ;a > 0
	 · = 
+ Bảng biến thiên: 
x
- +
x
- x1 x2 +
y/
 +
y/
 + 0 - 0 +
y
 + 
 -
y
 CĐ +
- CT
a < 0
x
- +
x
- x1 x2 +
y/
 -
y/
 - 0 + 0 -
y
+ 
 -
y
+ CĐ 
 CT - 
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
Điểm uốn I(-;f(-))
+ vẽ đồ thị : · xác đinh Cực trị ?
	 · ; điểm đặc biệt
 a>0 ; có 2 CT a0,không CT a<0,không CT
2. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) 
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0 Û x = 0 
·KL: tăng? Giảm
 y/ = 0 Û 2x (2ax2 + b) = 0 Û x= 0; x1,2=±
·KL: tăng? Giảm?
·Giá trị cực trị : y(0) = c 
có một cực trị
· Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±) =-
Có 3 cực trị
a > 0
+ Giới hạn : = 
+ Bảng biến thiên : 
x
- 0 +
x
- x1 0 x2 +
y/
 - 0 +
y/
 - 0 + 0 - 0 +
y
CT
+ +
y
+ CĐ +
 CT CT
a < 0
x
- 0 +
x
- x1 0 x2 +
y/
 + 0 -
y/
 + 0 - 0 + 0 -
y
CĐ
- -
y
 CĐ CĐ
- CT -
 a> 0
 b>0
a< 0
b <0
a0
 a> 0
 b <0
 + vẽ đồ thị : · cực đại , cực tiểu ; · y = 0 -> x= ? giải pt trùng phương 
3.Hàm phân thức : y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
ad-bc < 0
ad-bc > 0
y/ < 0 " x ÎD
y/ > 0 " x ÎD
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
 TXĐ : D = R\
+ Đạo hàm : y/ = 
+ Tiệm cận: · x =là tiệm cận đứng vì = ¥;	 · y = là tiệm cận ngang vì = 
+Bảng biến thiên :
x
- -d/c +
x
- -d/c +
y/
 - || -
y/
 + || +
y
a/c ||+ 
 - a/c
 y
 +|| a/c
a/c -
+ vẽ đồ thị : - vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt 
x= -d/ c
y= a/c
x= -d/ c
y= a/c
 	 - Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . 
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :
 Từ x0 tính f(x0) ; · Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) 
 + Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm, (d) là tiếp tuyến của ( C) tại điểm M, Pt đường thẳng (d) là :
 y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
 + Điều kiện để đường thẳng (d) đi qua A là :y1 = f/(x0)(x1- x0) + f(x0), giải phương trình ẩn x0 =>f(x0), f’(x0) .Kết luận .
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
 tiếp tuyến ^ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = - 
 + giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
 + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? -> f(x0) = ?
 + Phương trình tiếp tuyến y = k (x - x0) + f(x0) 
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = -1 
 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
	+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) .
	+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
	+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)
	+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M 
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :	
 + MXĐ D= ?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm 
 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m): 
	a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ³ 0 " x Î (a;b) 
	b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) £ 0 " x Î (a;b).
Bài toán5: Cực trị hàm số 
· Dấu hiệu I :
 + MXĐ D=?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý: 
Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b).
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
đổi dấu qua x0
x0 là cực trị của hàm số ó
· Dấu hiệu II:
 + MXĐ
 + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 .. .
 + Tính y//(x1); y//(x2).:
 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu 
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là :
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = ,u(x) ; và(x) là các đa thức có MXĐ: D.và y/ = = dấu của y/ là dấu của g(x) 
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/và-và/u = 0 => .
 Do đó giá trị cực trị y(x0) = 
Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
 + Miền đang xét [a;b]
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 .. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
 + Tính y(x1) ; y(x2) . 	So sánh ® K.Luận
 y(a) ; y(b) 
 + ? ?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
 + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ 
 + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ 
 + BBT:
	 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT 
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ yCĐ
 * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
 + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 
 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;	 (C2) : y = g(x) 
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) 
· pt(1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung 
· pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung 
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm
Bài toán8: Cách xác định tiệm cận :*Tiệm cận đứng : => x = x0 là tiệm cận đứng 
 Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
*Tiệm cận ngang : => y = y0 là tiệm cận ngang
 Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang .
II- BÀI TẬP 
Dạng 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 	6.;7. 	; 7.	;8. ; 12. ; 
 13. ; 14. 
Bài 2. Tìm m để hàm số 
1. đồng biến trên khoảng ; 
2. nghịch biến trên khoảng 
3. luôn đồng biến: a) trên R
 	 b) trên khoảng 
4. đồng biến trên khoảng 
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số 
 1. đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
 2. đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Dạng 2: Cực đại và cực tiểu.
Bài 1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số
1. 	;2. ; 3. 	;4. 
Bài 2. Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của hàm số
1. 	;2. ; 3. 	
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó.
Bài 4. Xác định m để hàm số
1. đạt cực đại tại .
2. đạt cực tiểu tại .
3. : a) Hàm số có cực trị.
 	 b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau.
4. : a) Hàm số có cực trị.
 	 b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị cùng dấu nhau.
5. có cực tiểu.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số
1. luôn có cực đại và cực tiểu
2. luôn có cực đại và cực tiểu
Dạng 3: Tìm các đường tiệm cận
 Bài 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau
1. 	;2. ; 	3. 	;	4. 
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau
1. ;	2. ; 3. 	;	4. 
5. 	;	6. ;7. 	;	8. 
Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN và chứng minh bất đẳng thức.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. với mọi x thuộc R; 2. với mọi ; 
3. Cho . Chứng minh rằng .
Bài 2. Tìm GTLN – GTNN.
1. trên đoạn 	2. trên đoạn 
3. trên đoạn 	4. trên đoạn 
5. trên đoạn 	6. trên đoạn 
7. 	trên R	8. trên R
9. trên đoạn 	10. trên đoạn 
11. trên R	12. trên R
13. trên R	14. trên R
15. trên đoạn 	16. trên đoạn 
17. trên đoạn 	18. trên R
19. trên đoạn 	20. trên R
21. trên đoạn 	22. trên đoạn 	
23. trên R	24. trên R
25. trên 
Dạng 4. Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan.
Loại 1. Hàm số bậc ba.
Bài 1. Cho hàm số (1)
Khảo sát hàm số.
Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm của phương trình theo m : .
Bài 2. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
Bài 3. Cho hàm số .
Khảo sát hàm số khi .
Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm toạ độ của điểm cực tiểu.
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi 
Tìm m để cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 5. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C)
Một đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d với đồ thị (C) của hàm số.
Khi đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm A khác gốc tọa độ O, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA và tiếp tuyến.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 
Bài 6. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi .
Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 
Loại 2. Hàm số trùng phương.
Bài 1. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn.
Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm .
Bài 2. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi .
Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Xác định m sao cho cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này.
Bài 3. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 
Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Tìm m để cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 5. Cho hàm số với a, b là tham số
Khảo sát hàm số (C) khi 
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 
Tìm a, b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 4 tại .
Bài 6. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Viết phương tình tiếp tuyến của đường cong (C) lần lượt tại các điểm và \
Tìm m để đi qua điểm N(1; 0)
Bài 7. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số (C) khi 
Chứng minh rằng luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m
Tìm m để tiếp tuyến tại A, B của vuông góc với nhau
Loại 3. Hàm số phân thức 
Bài 1. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(2; 5)
Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.
Bài 2. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và d
Bài 3. Cho hàm số (C)
Tìm giá trị của a, b để (C) cắt trục tung tại điểm A(0; -1) và tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng -3. Khảo sát hàm số với giá trị a, b vừa tìm được.
Đường thẳng d có hệ số góc m đi qua điểm B(-2; 2). Với giá trị nào của m thì d cắt (C)
Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt, hãy tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm.
Bài 4. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3)
Bài 5. Cho hàm số (1)
Khảo sát hàm số (1) khi 
Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng 
CHƯƠNG II
HÀM SỐ LŨY THỪA 
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài toán 1: Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
 a-n = ; a0 = 1 0 ; ( m; n nguyên dương , n > 1)
· Các quy tắc: 	 ax.ay = ax+y 	,(a.b)x =ax.bx ,	, , 
· Hàm số mũ : y = với a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = R 	MGT : (0; +¥ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 Û > 
+ 0 x2 Û < 
* Hàm số logarit: a = logaN Û aa = N logax = b Û x= ab
· Đặc biệt : = x ; log = x ; loga1 = 0 ; loga = 1 
· Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ¹ 1 ta có:
	log(B.C) = logB + logC; log = logB - logC;	log = logB
· Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ¹ 1 ta có :
loga.logb = b Û ;	0 < a, b ¹ 1 : logb = 
Chú ý : log10x = lg x ; logx = ln x 
· Hàm số Logarit: y = logx với a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = (0 ; +¥ )	MGT : R 
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 Û logx1 > logx2 
+ 0 x2 > 0 Û logx1 <logx2 
Bài toán 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
s(ex) / = ex 	-> ( eu)/ = u/.eu ; ( ax) / = ax.lna 	-> ( au)/ = u/.au.lna
(lnx) / = x Î(0;+¥)	-> (ln½u½)/ = ; (logax) / = 	-> (logau )/ = 
Bài toán3: giải phương trình mũ và logarit :
· Dạng cơ bản:
= Û f(x) = g(x) 
= 1 Û ( u -1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
= b ( với b > 0 ) Û f(x) = logb
hoặc
logf(x) = logg(x) Û; dạng: Û f(x) = 
 = b Û 
· Đặt ẩn phụ : 
a. +b. + g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
 a.+b.+ g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0
a.+b.+ g = 0 và a.b = 1; Đặt: t = ;=
a.+b.+ g. = 0 ; Đặt t = 
· Logarit hoá hai vế :
Bài toán4: Giải bất phương trình mũ và logarit
· Dạng cơ bản :
1) > Û 
2) > b Û Nếu b £ 0 có nghiệm "x
	 Nếu b > 0 f(x) > logb nếu a > 1
	 f(x) < logb nếu 0 < a < 1 
 3) < b Û Nếu b £ 0 thì pt vô nghiệm
	 Nếu b > 0 ; f(x) 1
	 f(x) > logb nếu 0 < a < 1 
·logf(x) > logg(x) Û Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ¹ 1
 (a-1)[ f(x) - g(x) ] > 0 
·logf(x) > b 	Û * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > 
	 * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < 
·logf(x) 1 : bpt là 0 < f(x) < 	 
 * Nếu 0 
·> 1 Û u(x) > 0 và [ u(x) -1 ].và(x) > 0 
· 0 và [ u(x) -1 ].và(x) < 0 
Lưu ý: *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng hơn.
1) > ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
2) logf(x) > logg(x) ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
 *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
 *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
II- BÀI TẬP 
Bài I: 1) Giải các phương trình sau:
a)	 ; b) 
c) ; d) .
2) Giải các phương trình sau:
a) ; b) 
 c) ; d) 
e) ; g) 
 h) ; i) 
k) (D- 03) ; l) 
Bài II: 1)Giải các bất phương trình sau:
a) 	; b) 
2)Giải các bất phương trình sau:
a) 	 ;	 b) 
Bài III: 1) Giải các phương trình sau:
 a) 	; b) 
 c) 	; d) .
2) Giải các phương trình sau:
a) 	 ; b) 
 c) ; d) 
3) Giải các phương trình sau:
a) 	 ; b) 
c) 	 ; d) 
 e) 
Bài IV: 1) Giải các bất phương trình sau:
a) ; b) 
c) 	; d) 
2) Giải các bất phương trình sau:
a) ; b) 
c) ; d)