Giải toán Nguyên hàm và tích phân

1 
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 
 I. Bảng các nguyên hàm thường gặp 


1
1
1
1
ax b
ax b dx c ,
a

      
  
   1cos ax b dx sin ax b
a
    c 
1dx
ln ax b c
ax b a
  
  c    
1
sin ax b dx cos ax b c
a

    
1ax b ax be dx e c
a
      
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
     
1ax b ax bm dx m c
a ln m
      
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
    
2 2
1dx x
arctg c
a aa x
 
  
 
2
1dx
cotg ax b c
asin ax b

  
 
2 2
1
2
dx a x
ln c
a a xa x

 
  
 
2
1dx
tg ax b c
acos ax b
  
 
 2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   

 2 2x xarcsin dx x arcsin a x c
a a
    
2 2
dx x
arcsin c
aa x
 

 2 2x xarccos dx x arccos a x c
a a
    
2 2
1dx x
arccos c
a ax x a
 

  2 22
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
a a
    
2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a xx x a
 
  

  2 22
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
a a
    
   bln ax b dx x ln ax b x c
a
       
   
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a

 
 
2 2 2
2 2
2 2
x a x a x
a x dx arcsin c
a

     
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a

 
 
 
2 2
ax
ax e a sinbx bcosbxe sinbxdx c
a b

 
 
 
2 2
ax
ax e a cosbx b sinbxe cosbx dx c
a b

 
 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
2 
II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại 
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản 
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 
1. Ví dụ 1: Chứng minh: 
2 2
dx 1 x a
ln c
2a x ax a

 
 ; 2 2
dx 1 a x
ln c
2a a xa x

 
 
Chứng minh: 
2 2
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a
   
        
           
 
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x
           
           
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  2 2
2 2
dx
ln x x a
x a
  

  c 
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:    
2 2
2 2
2 2
1 x a
ln x x a c
x x a
       
 
  
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
       
       
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
aa x
 
 (với 
x
tg u
a
 ) 
Đặt 
x
tg u
a
 ,  u ,2 2    
 
 2 2 2 2
d a tg udx 1 1
du u c
a aa x a 1 tg u
   
 
   
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 
2 2
dx
u c
a x
 

 (với 
x
sin u
a
 , a > 0) 
Đặt 
x
sin u
a
 ,u ,
2 2
    
  
 
 2 2 2 2
dx d a sin u
du u c
a x a 1 sin u
   
 
   
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 
2 2
dx 1 x
arctg c
a aa x
 
 và 2 2
dx x
arcsin c
aa x
 

 (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ 
nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách 
trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. 
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN 
III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
3 

1
n nx x ;  
m m
nn km mn nkx x ; x x 
 
1
n n
n n
1 1
x ; x
x x
 ; 


m
n
n m
1
x
x
 ; 


m
nk
n k m
1
x
x
2. Biến đổi vi phân: 
dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)    d(x ± p) 
adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)    d(ax ± p) 
    x p1 x 1 x 2dx d d da a aa
       
 
L 
III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 
1. 
3
dx
1
x
x 
 3
21 1 1dx 1 dx
1 1
x
x x
x x
           
     2 3 21 1 11 dx ln 1
1 3 2
d x
x x x x x x c
x

        
  
2.  14 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x        
         
3 5 31
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
                 
3. 
 
   
17 2 2 2
d 2d 1
2 5 2 2 5
xx
I
x x
 
 
 
1 10
arctg
510
x c
 
  
 
4. 
 
   x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5
x x
x
x x xx x
d
d c
          
5.    
5
3 2 3cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
      
   
      
3 4
2 3 sin cos1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c        
III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 
      
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
x x
   
  ; 2
7x 3
J dx
2x 5


 ; 
2
3
3x 7x 5
J dx
x 2
 

 
 
3 2 2 2
4 5 6 10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1 x 1
      
  
  
   
   
3 2 3 2
7 815 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
     
 
 
  
            dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 332111521031009 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
4 
   
 
 
2 432 4 55 9
12 13 1447
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
 
     

   
 
9 3
15 16 174 2 2105
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 12 3x
  
   
   
         18 19 202 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3
  
     
   
          21 22 232 2 2 2 2 2
x dx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
  
     
   
ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x
x
24 25 26 27 xx x
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1 ee 1 e 1

    
 
    
   2 2x x1 1 1 1x
28 29 30 31x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 ee dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e


 
   
      
ln 2 ln 4 1 e3x
32 33 34 35x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 ln x
J ; J ; J ; J dx
xe e 4e 1 e

  

   
     
 
3 1 1
65 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx        
 2x1 1 1 1 2x x
39 40 41 42x x x x
0 0 0 0
2 1 dxdx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4 

    
    
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 
1.  
 2 2
du 1 u
arctg c
a au a
 4.  
du
2 u c
u
2. 

 
 2 2
du 1 u a
ln c
2a u au a
 5.    

 2 2
du u
arcsin c a 0
aa u
3. 

 
 2 2
du 1 a u
ln c
2a a ua u
 6.    

 22
du
ln u u p c
u p
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 
1. 
        
   
2 2
2
2
b b 4ac
ax bx c a x
2a 4a
 2.       22 2ax bx c mx n p 
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
5 
I. Dạng 1:  2
dx
A =
ax + bx + c
1. Phương pháp: 
 

  
   
 2 2 2
dx dx 1 mx n
arctg c
mp pax bx c mx n p
 
 
  
    
 2 2 2
mx n pdx dx 1
ln c
2mp mx n pax bx c mx n p
2. Các bài tập mẫu minh họa 
•
 
 
   
1 2 2 22
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
24 8 1 4 3 2 2 32 2 3 2 2 3
x x x x
A c
x x xx x
  
    
      
   
1 2
dx
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
A
3x

4x 2  ; 2 32 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
 
      
2 1 1
4 5 62 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
  
        
II. Dạng 2: 
 
 2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
1. Phương pháp: 
       
 
    2 2
m mb2ax b nmx n 2a 2aB dx dx
ax bx c ax bx c
  
 
         
2
2
d ax bx cm mb
n A
2a 2aax bx c
  
     
 
2m mbln ax bx c n A
2a 2a
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) 
• Nếu mẫu có nghiệm kép 0x x tức là 
2 2
0( )ax bx c a x x    
thì ta giả sử: 
 

  
  
2 2
0 0
mx n
x
x xax bx c x x
 
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . 
Với ,  vừa tìm ta có: 
 

  2
mx n
B dx
ax bx c
  ln   
0 0
x x c
x x

 
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x : 
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x     thì ta giả sử 

  
  2 1 2
mx n
x
x x x xax bx c
 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
6 
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , . 
Với ,  vừa tìm ta có: 
 
dx


  2
mx n
B
ax bx c
  ln ln   1 2x x x x c  
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
1 2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1
   
2 2 2
1 1118 6 1 18 6 d 11 d9 3 d
9 39 6 1 9 6 1 9 6 1
x x x x
x
x x x x x x
  
  
        
   
   
2
2 2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 19 6 1 3 1
d x x d x
x c
xx x x
  
     
  
  
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
     
1 2 32 2 2
7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx
B ; B ; B
4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4
  
  
        ; 
III. Dạng 3:  2
dx
C =
ax + bx + c
1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2
2
du
u u k c
u k
   

 
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau: 
 
   2
2 2
dx dx 1
lnC mx n mx n k c
max bx c mx n k
       
   
  
 
 
2 22
dx dx 1
arcsin 0
mx n
C p
m pax bx c p mx n

   
   
  
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
 
 
2
3
2 2
d 1 d 5 5 45ln
4 162 4454 10 5 5
4 16
x x
C x x c
x x x
       
   
  
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
1 2 32 2 2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x
  
     
   
IV. Dạng 4: 
 
 2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
1. Phương pháp: 
 
2 2
2 dx dx
2 2
ax bm mb
D
a aax bx c ax bx c

 
   
   
 2
22 2
d ax bx cm mb
C
a aax bx c
 
 
 
 
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
7 
• D1 =
   1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
 
 
     
   
 
 
  
1 1 12
2 2
2 2 00 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2 4 5 2 1
x x x
x x x x x
x x x
 
         
   
  
    3 1010 5 2 ln 3 10 2 ln 2 5 10 5 2 ln
2 5

        

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
     
1 2 32 2 2
5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
  
  
     
   
V. Dạng 5: 
  2
dx
E =
px + q ax + bx + c
1. Phương pháp: Đặt 
2
1 dt 1 1
dx ;px q p x q
t p tt
        
 
. Khi đó: 
 
2
2 2 2
2
dt ptdx dt
E
px q ax bx c t t1 a 1 b 1
q q c
t t p tp

   
               
   
   
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
 
3
1 2
2
dx
E =
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt 
2
2 1
11 1 31 ; 2
dx
x t
t x tx x
t t dt
t
  
        
 
Khi đó: 
     
1 23 2
1 2 2
2 1
dt tdx
E
1x-1 x 2x 2 t 1 t 12 2
t tt

 
    
  
 
1 1
2
2 1 21 2
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2 1 5t 1 ... tg x tg x tg x tg x
1 1 x c
2k 1 2k 3 2k 5 1
  
  

         
           
  
 
•          2 1 2 32 2tg 1 tg tg 1 tgk kx x x x      
2k+1
2C = tgx dx
           k 1 k2k 5 2 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 tg x dx          
             
           
k 1 k2k 1 2k 3 2k 5
2k 2k 2 2k 4 2
k 1 k
tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 tg xdx
tg x tg x tg x tg x
1 1 ln cos x c
2k 2k 2 2k 4 2
  
 

         
           
 
 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
23 
•          2 2 2 42 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x      
2k
3C = cotgx dx 
           k 1 k2k 6 02 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 dx          
           
         
k 1 k2k 2 2k 4 0
2k 1 2k 3 2k 5
k 1 k
cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 dx
cotg x cotg x cotg x cotg x
1 1 x c
2k 1 2k 3 2k 5 1
 
  

         
 
             
   
 
•          2 1 2 32 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x      
2k+1
4C = cotgx dx 
           k 1 k2k 5 12 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 cotg x dx          
           
         
k 1 k2k 1 2k 3
2k 2k 2 2
k 1 k
cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 cotg x dx
cotg x cotg x cotg x
1 1 ln sin x c
2k 2k 2 2
 


         
 
            
 
 
•          5 4 3 2tg 5 tg cotg 10 tg cotgx x x x x    
5
5C = tgx + cotgx dx
       
       
       
2 3 4 5
5 5 3 3
5 3 5 3
10 tg x cotg x 5 tg x cotg x cotg x dx
tg x cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx
tg x 5 tg x 10 tg x dx cotg x 5 cotg x 10 cotg x dx
   
       
           

 
     
     
       
   
3 2 2
3 2 2
3 3
4 4
2 2
tgx 1 tg x 4tgx 1 tg x 6tgx dx
cotgx 1 cotg x 4cotgx 1 cotg x 6cotgx dx
tgx 4tgx d tgx 6 tgx dx cotgx 4cotgx d cotgx 6 cotgx dx
tgx cotgx
2tg x 6ln cosx 2cotg x 6ln sin x c
4 4
      
      
           
      


   
IV. Dạng 4: 
 
 
 
  
m m
 4 . 1 4 . 2n n
tg x cotg x
D = dx ; D = dx
cos x sin x
1. Phương pháp: Xét đại diện 
 
 
4 1
m
. n
tg x
D dx
cos x
  
1.1. Nếu n chẵn (n  2k) thì biến đổi: 
 
 
       
1
12
2 2
1
1
k
km mdx
tg x tg x tg x d tg x
cos x cos x

    
   
m
4.1 2k
tgx
D = dx
cosx
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
24 
         
       
1 p k 1m 0 1 2 p 2 k 1 2
k 1 k 1 k 1 k 1
m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1
0 1 p k 1
k 1 k 1 k 1 k 1
tg x C C tg x ... C tg x ... C tg x d tg x
tg x tg x tg x tg x
C C ... C ... C c
m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1

   
     

   
       
      
     

1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m  2k 1, n  2h 1) thì biến đổi: 
 
 
   
2 2
2 2
2
1 1
h h
kk tg x sin x
tg x dx tg x dx
cos x cosx cos x cos x
       
     
2k+1
4 .1 2h+1
tgx
D = dx
cosx
 
k 2h
k2 2h
2
1 1 1
1 d u 1 u du
cos x cos xcos x
                   (ở đây 
1
u
cos x
 ) 
         k k 1 k pp k2h 0 2 1 2 p 2 k
k k k ku C u C u ... 1 C u ... 1 C du
           
   
2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1
p k0 1 p k
k k k k
u u u u
C C ... 1 C ... 1 C c
2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1
       
        
       
1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m  2k, n  2h  1) thì sử dụng biến đổi: 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
     
2k 2k 2k
4.1 2h 1 k h 12 k h 1 2
2k 2k 2 2 2k 2 2k 2
4.1 k h 1 k h 1 k h 1 k h2 2 2 2
tg x sin x cos x sin x
D dx dx d sin x ; u s inx
cos x cos x 1 sin x
u du u 1 1 u u du u du
D du
1 u 1 u 1 u 1 u
   
  
      
   

      
   
  
   
Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính 
được D4.1. 
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
 
 
 
   
     
2
27 7 2
2 2
1 1
tg3 tg3 1 tg 3 tg3
3cos3 cos3
dx
x x x d x
x x
    
 
  
7
1 6
tg3x
D = dx
cos3x
             
8 10 12
7 2 4 tg3x tg3x tg3x1 1
tg3x 1 2 tg3x tg3x d tg3x 2 c
3 3 8 10 12
 
            
•
 
 
 
   
3
10
2 2
1
5
5 5
dx
cotg x
sin x sin x
   
 
 
10
2 8
cotg5x
D = dx
sin5x
   
       
310 2
11 13 15 17
1
cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x
5
cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x1
3 3 c
5 11 13 15 17
    
 
      
 

•
 
 
 
94
6 41
4
4 4
tg x
tg x dx
cos x cos x
   
  
7
3 95
tg4x
D = dx
cos4x
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
25 
 
 
 
       
3 94
394 2
2
101 99 97 95
94 6 4 2
101 99 97 95
1 1 1 1 1
1 d u u 1 du
4 cos 4x cos 4x 4cos 4x
1 1 u u u u
u u 3u 3u 1 du 3 3 c
4 4 101 99 97 95
1 1 1 3 1
c
4 101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x
                 
 
         
 
      
 
 
 
•
 
 
 
40
8 31
3
3 3
cotg x
cotg x dx
sin x sin x
   
  
9
4 41
cotg3x
D = dx
sin3x
 
4 40
440 2
2
1 1 1 1 1
1 d u u 1 du
3 sin 3x sin 3x 3sin x
                     
 
49 47 45 43 41440 8 6 4 21 1 u u u u uu u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c
3 3 49 47 45 43 41
 
             
 
         49 47 45 43 41
1 1 4 2 4 1
c
3 49 sin 3x 47 sin 3x 15 sin 3x 43 sin 3x 41 sin 3x
        
 
•    
   
 
22
2 2 21
sin x cos xdx sin x
d sin x
sin xcos x cos x
 
    
   
2
5
tgx dx
D =
cosx
   
   
   
2 2
1 sin x 1 sin x 1 1
d sin x d sin x
1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x
                
   
 
2 2 2
1 1 2 1 1 1 sinx
d sin x ln c
1 sin x 1 sin x 1 sin x1 sin x1 sinx 1 sinx
             
 
•
   
   
 
 
 
4 4
4 2 321
sin x cos xdx sin x
d sin x
cos x cos x sin x
  

  
4
6
tgx
D = dx
cosx
 
 
     
4 4 2
2 13 3 3 22 2 2 2
u du 1 1 u du 1 u
du du I I
1 u 1 u 1 u 1 u
  
     
   
    
 
 
2
1 22
1
1
u du
I
u




 
 
2
2 2 2
1 11 du d u
1 uu u c c
1 1 u11 uuu uuu
   
       
   
 
  
 
2 321
du
I
u



   
   
3 3
1 1 u 1 u 1 1 1
du du
8 1 u 1 u 8 1 u 1 u
                 
     3 3 2
1 1 1 3 1 1
du
8 1 u 1 u1 u 1 u 1 u
            
 
     
   
 
   
 
 
 
   
2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2
2
12 2 2 22 2 2
1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u
6 3 du
8 82 1 u 2 1 u 1 2 1 u 1 u
u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 u
I ln c
8 8 8 16 1 u1 u4 1 u 1 u 4 1 u
                     
 
      
  
 
 
u
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
26 
 
 
 
 
 
 
 
6 2 1 1 122
2
2 2 22 2
33
2 42
u 3 3 1 u
D I I I ln I
8 16 1 u4 1 u
u 5 u 3 1 u 2u 5u 1 u 3 1 u
ln c ln c
8 16 1 u 16 1 u1 u4 1 u 8 1 u
5u 3u 3 1 u 5 sin x 3sin x 3 1 sin x
ln c ln c
16 1 u 16 1 sin x8 cos x8 1 u

      

   
       
  
   
     
 
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 11 4 6
1 2 3 48 21 3 5
tg 6x cotg 3x tg x cotg 2x
D dx ; D dx; D dx ; D dx
cos 6x sin 3x cos x cos 2x
       
V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 
1. Phương pháp: 
        
        
        
        
5 1
5 2
5 3
5 4
1
2
1
2
1
2
1
2
.
.
.
.
E cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx
E sin mx sin nx dx cos m n x cos m n x dx
E sin mx cos nx dx sin m n x sin m n x dx
E cos mx sin nx dx sin m n x sin m n x dx
    
    
    
    
 
 
 
 
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
•  
1
2 14 4
2
cos x cos x cos x  1E = cos2x .cos5x .cos9x dx 
    1 1 sin16x sin12x sin6x sin2xcos16x cos12x cos6x cos2x dx c
4 4 16 12 6 2
          
  
•  
 3 3
8
4
cos x cos x
sin x dx

 
3
2E = cosx sin8x dx
     1 1 3 13cos x sin8x cos3x sin8x dx sin 9x sin 7x sin11x sin 5x dx
4 4 2 2
1 3 3 1 1
cos9x cos 7x cos11x cos5x c
8 9 7 11 5
        
       
 
 
•          2
1
1 2 13 7
8
cos x sin x sin x dx   
4
3E = sinx sin3x cos10x dx 
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
27 
  
 
  
21 1 2cos 2x cos 2x sin13x sin 7x dx
8
1 1 cos 4x
1 2cos 2x sin13x sin 7x dx
8 2
1
3 4cos 2x cos 4x sin13x sin 7x dx
16
   
     
 
   



      
   
 
1
3 sin13x sin 7x 4cos 2x sin13x sin 7x cos4x sin13x sin 7x dx
16
1
3 sin13x sin 7x 2 sin15x sin11x sin9x sin5x
16
1
sin17x sin9x sin11x sin3x dx
2
     

      

    

 
 1 sin17x 4sin15x 6sin13x 3sin11x 3sin9x 6sin7x 4sin5x sin3x dx
32
1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x
c
32 17 15 13 11 3 7 5 3
       
  
         
 

•          3 2cosx cosx sin 5 x dx 
5
4E = cosx sin5x dx 
cos3x 3cos x 1 cos 2x
sin5x dx
4 2
 
   
    
   
      
1
cos 3x 3cos x sin 5x cos 3x 3cos x cos 2x sin 5x dx
8
1 sin 7x sin 3x
cos 3x 3cos x sin 5x cos3x 3cos x dx
8 2
1
2sin 5x cos 3x 3cos x cos 3x 3cos x sin 7x sin 3x dx
16
   
      
    



     
   
1
2 sin 8x sin 2x 6 sin 6x sin 4x sin10x sin 4x
32
3 sin 8x sin 6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx

      


     


 1 sin10x 5sin 8x 10sin 6x 10sin 4x 5sin 2x dx
32
1 cos10x 5cos8x 5cos 6x 5cos 4x 5cos 2x
c
32 10 8 3 2 2
    
        
 

•
           
 
3 4 3 4
2 2
2
sin x sin x sin x sin x
dx dx
sin x cos x cos x x
cos x sin x cosx .sin 2 x
 

  5
sin3x sin4x
E = dx
tgx + cotg2x
Cộng đồng học tập trực tuyến - CungHocTap.Com
28 
      1sin 2x sin 3x sin 4x dx cos 2x cos 6x sin 3x dx
2
    
    1 1 cos5x cosx cos9x cos3xsin5x sin x sin9x sin3x dx c
4 4 5 1 9 3
           
  
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
       
 
 
5
4 3 5 2
1 2 3 2
sin 8x dx
E sin 3x cos 2x dx ; E sin x cos 5x dx ; E
tg 3x tg 5x
  

   
Tài liệu được chia sẻ bởi thành viên cộng đồng học tập trực tuyến 
CungHocTap.Com