Giải toán bằng phương pháp hàm số

CHƯƠNG I. HÀM SỐ
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ta có 
2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ta có 
3. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ¦¢(x) ³ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b).
4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ¦¢(x) £ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b).
b
a
x
5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu tại điểm 
6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Giả sử y = ¦(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại .
Khi đó: 
Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì 
Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì 
Hàm bậc nhất trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b
II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
b
x
a
v(x)
u(x)
1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị .
2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ³ v(x) là 
phần hoành độ tương ứng với phần 
đồ thị nằm ở phía trên
 so với phần đồ thị .
3. Nghiệm của bất phương trình u(x) £ v(x) là 
phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị 
 nằm ở phía dưới so với phần đồ thị .
4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ 
giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị .
a
b
x
y = m
5. BPT u(x) ³ m đúng "xÎI Û 
6. BPT u(x) £ m đúng "xÎI Û 
7. BPT u(x) ³ m có nghiệm xÎI Û 
8. BPT u(x) £ m có nghiệm xÎI Û 
III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số 
Bài 1. Cho hàm số
a. Tìm m để phương trình ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2]
b. Tìm m để bất phương trình ¦(x) £ 0 nghiệm đúng "xÎ[1; 4]
c. Tìm m để bất phương trình ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ
Giải: a. Biến đổi phương trình ¦(x) = 0 ta có: .
Để ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] thì 
b. Ta có "xÎ[1; 4] thì Û Û . 
Do giảm trên [1; 4] nên ycbt Û 
c. Ta có với xÎ thì Û . 
Đặt . Xét các khả năng sau đây:
+ Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm. 
+ Nếu thì BPT có nghiệm . 
Do giảm / nên ycbt 
+ Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có . 
Do đó nghịch biến nên ta có 
Kết luận: ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ 
Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1
Giải: BPT . 
Ta có suy ra tăng.
YCBT 
Bài 3. Tìm m để bất phương trình đúng 
Giải: Đặt thì đúng 
. Ta có nên nghịch biến trên suy ra ycbt Û 
Bài 4. Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải: Điều kiện . Biến đổi PT .
Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. 
Thủ thuật: Đặt 
Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng
 tăng. Suy ra có nghiệm 
Bài 5. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm.
Giải: Điều kiện . Nhân cả hai vế BPT với ta nhận được
bất phương trình . 
Đặt 
Ta có .
Do và tăng ; và tăng nên tăng 
Khi đó bất phương trình có nghiệm 
Bài 6. Tìm m để nghiệm đúng 
Cách 1. BPT đúng 
Lập bảng biến thiên suy ra Max 
Cách 2. Đặt . 
Ta có . Khi đó bất phương trình trở thành
. Ta có:
 Þ tăng nên
Bài 7. Tìm m để đúng
Giải: 
Đặt Þ 
Þ 
Xét 
ycbt 
Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) 
 Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
t
0
1
+
0
–
0
– 1
Giải: ĐK: , biến đổi phương trình 
. 
Đặt . 
Khi đó 
Ta có . Do đó yêu cầu 
x
2
+
0
Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.
Giải: Điều kiện: . 
Biến đổi phương trình ta có:
.
ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có:
. Do đó đồng biến mà liên tục và 
 nên có đúng một nghiệm Î. 
Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
Giải: Đặt 
Ta có: 
Đặt 
x
0
2
6
+
0
–
f(x)
Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt 
Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
Giải: Đặt ta có 
và 
Khi đó hệ trở thành 
Û là nghiệm của phương trình bậc hai
Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . 
Lập Bảng biến thiên của hàm số với 
t
– 2 
2
5/2
+
–
–
0
+
+
22
2
7/4
+
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 
Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): 
Tìm x để bất phương trình đúng với .
Giải: Đặt , 
BPT 
Do đồ thị là một đoạn thẳng với nên 
Bài 13. Cho Chứng minh rằng: 
Giải: BĐT 
trong đó . 
Như thế đồ thị là một đoạn thẳng với . Ta có 
nên suy ra . 
Vậy . Đẳng thức xảy ra .
Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): 
Cho . Chứng minh rằng: .
Giải: 
Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và
Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên . Đẳng thức xảy ra 
Bài 15. Chứng minh rằng: . 
Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có 
Đồ thị là một đoạn thẳng với nên 
Ta có 
Bài 16. CMR: 
Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:
Đồ thị là một đoạn thẳng nên 
Ta có 
Đồ thị là một đoạn thẳng nên 
Ta có 
Þ . Vậy hay ta có (đpcm)