Giải tích 12 nâng cao – Số phức – Chương IV

§1. Số phức:
1) Khái niệm:
 * Một số phức là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b Î R, i là số thỏa mãn i2 = - 1.
	a được gọi là phần thực, b là phần ảo của số phức z = a + bi, i là đơn vị ảo.
 * Cho hai số phức: z = a + bi, z’ = a’ + b’i thì z = z’ Û a = a’ và b = b’.
2) Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta viết M(a + bi) hay M(z).
3) Phép cộng và trừ số phức:
 * Cho hai số phức: z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i thì z = z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2)i.
 * Tính chất của phép cộng: 
10) z1 + z2 = z2 + z1;	20) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); 30) z + 0 = 0 + z = z;
40) "z = a + bi Î C, số phức – z = - a - bi thì z + (- z) = 0. Số - z là số đối của số z.
 * z, z’ Î C thì z - z’ = z + (- z’).
 * Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi Û biểu diễn số phức z.
	Nếu biểu diễn các số phức z, z’ thì biểu diễn z + z’, z – z’.
4) Phép nhân số phức:
 * Cho hai số phức: z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i thì z1z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i.
 * Tính chất của phép nhân:
	10) zz’ = z’z;	20) (zz’)z’’ = z(z’z’’);	30) 1.z = z.1 = z;
	40) z(z’ + z’’) = zz’ + zz’’.
5) Số phức liên hợp và môđun của số phức:
 * Hai số phức z = a + bi và được gọi là số phức liên hợp với nhau.
 * Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm 
	Nhận xét: 
6) Phép chia cho số phức khác 0:
 * Số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số Thương 
Bài tập áp dụng:
1. Cho các số phức:
	z1 = 1 - 2i, z2 = 2 + 3i, z3 = - 5 + i, z4 = - 3 - 2i, z5 = 4, z6 = - 3i.
	a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức bởi các điểm 
	b) Viết các số phức liên hợp của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức bởi các điểm 
	c) Viết các số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức bởi các điểm 
2. Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
	a) - i + (1 – 5i) + (7 + 2i);	b) 	c) (3 + 2i)3;
	d) (1 + 2i)(3 – 5i)(2 + i);	e) (4 – 3i):(5 + 2i);	f) i(1 – i)3;
3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một hình lục giác đều tâm O(0; 0) trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số - 2i.
4. Cho số phức z = x + iy (x, y Î R). Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức:
	a) z2 – 2z + 4i;	b) 
5. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
6. 	a) Các điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức biểu diễn các số 1 + i, 2 – 3i, 3 – i, - 3i, 3 + 2i, 3 - 2i. CMR: DABC và DA’B’C’ có cùng trọng tâm.
	b) Biết rằng các số phức z1, z2, z3 biểu diễn ba đỉnh của một hình bình hành trong mặt phẳng phức. Tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại. 
7. xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các só phức z thỏa:
 là số thực tùy ý;
 là số ảo tùy ý;
8. Gọi M, M’ Î mp(C) biểu diến số z ≠ 0 và CMR: DOMM’ vuông cân.
9. Cho A, B Î mp(C) biểu diến số z1, z2 ≠ 0 thỏa CMR: DOAB đều.
10. 	a) Cho Î mp(C) biểu diến số z, z’. CMR: 
	b) Từ câu a) suy ra nếu là số ảo;
	c) CMR: 
11. Cho A, B, C, D Î mp(C) biểu diến các số: -1 + i, - 1 – i, 2i, 2 – 2i. Tìm các số z1, z2, z3, z4, biểu diễn các véc tơ Tính . Từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?
12.Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn với k là số thực dương. Cho trước.
§2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai:
1) Căn bậc hai của số phức:
 * Cho số w Î C. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w.
 * Ta có: 10) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0;
	20) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau khác 0. Đặc biệt, số thực a dương có hai căn bậc hai là số thực a âm có hai căn bậc hai là 
2) Phương trình bậc hai: Xét p.trình bậc hai: Az2 + Bz + C = 0 (1). Với 
 * Nếu D ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
 * Nếu D = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 
 Chú ý: Người ta đã chứng minh được mọi phương trình bậc n đều có đúng n nghiệm phức.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
2. Khi số thực a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a +i vạch nên đường nào?
3. Giải các phương trình sau trên C:
	a) (z + i)(z2 + 1)(z3 + i) = 0; 	b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0;
	c) (z – i)(z2 + 1)(z3 - i) = 0; 	b) (z2 - z)2 + 4(z2 - z) – 12 = 0.
4. 	a) Tìm các số thực a, b để có phân tích:
	2z3 – 9z2 + 14 – 5 = (2z – 1)(z2 + az + b) rồi giải phương trình sau trên C: 2z3 – 9z2 + 14 – 5 = 0.
	b) Tìm các số thực a, b để có phân tích:
	z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z - 4)(z2 + az + b) rồi giải phương trình sau trên C: z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0.
5. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực p, q để pt: z4 + pz2 + q = 0
a) Chỉ có N0 thực; b) Không có N0 thực; c) Có cả N0 thực và N0 không thực.
6. Giải các pt: 
7. Giải hệ pt ẩn phức z1, z2 sau: 
8. Cho phương trình: z3 – 2(1 + i)z2 + 3iz + 1 – i = 0.
	a) Có thể nhận thấy nhanh chóng z = 1 là một nghiệm của pt. Vì sao?
	b) Tìm các số phức a, b để có phân tích 
	z3 – 2(1 + i)z2 + 3iz + 1 – i = (z – 1)(z2 + az + b) rồi sau đó giải phương trình đã cho.
§3. Dạng lượng giác của só phức và ứng dụng:	 y
1) Dạng lượng giác của số phức:
	a) Acgumen của số phức z ≠ 0
	Cho số phức z ≠ 0, điểm M Î mp(C) biểu diễn b M(z)
số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác r
được gọilà acgumen của z.	 	 j	 x
	Chú ý: Nếu j là một acgumen của z thì mọi acgumen O b
của z có dạng j + k2p, k Î Z.
	Hai số phức z và lz với z ≠ 0, l R+* có acgumen sai khác nhau k2p, k Î Z. Các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.
	b) Dạng lượng giác của số phức:
	Dạng z = r(cosj + isinj) với r > 0. được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0. Còn dạng z = a + bi (a, b Î R) được gọi là dạng đại số của số phức z.
	Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác của số phức z, ta cần:
	10) Tìm r = | z| = OM = ;	20) Tìm một acgumen j 
Chú ý: 10) | z| = 1 Û z = cosj + isinj (jÎ R);	20) Khi z = 0 thì | z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi ta coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết được là 0 = 0(cosj + isinj); 	30) Cần đòi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác của số phức z.
2) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu z = r(cosj + isinj), z’ = r’(cosj’ + isinj’) (r ³ 0, r’ ³ 0) thì 
zz’ = rr’[cos(j + j’) + isin(j + j’)];	 
3) Công thức Moivre và ứng dụng:
Nếu z = r(cosj + isinj) thì zn = rn(cosnj + isinnj).
Đặc biệt khi r = 1 thì (cosj + isinj)n = (cosnj + isinnj).
Công thức Moivre có nhiều ứng dụng, chẳng hạn để lập các công thức nhân đôi, nhân ba, . . . trong lượng giác hay tìm căn bậc hai, căn bậc ba, . . . của số phức.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
	 (a cho trước, a Î R); biết một acgumen của z là .
2. Cho hai số phức khác 0: z = r(cosj + isinj) và z’ = r’(cosnj’ + isinnj’) (r, r’, j, j’ Î R). Tìm điều kiện cần và đủ về r, r’, j, j’ để z = z’.
3. Xác định tập hợp {M} Ì mp(C) biểu diễn các số phức z thỏa mỗi điều kiện sau:
	a) Một acgumen của z – (1 + 2i) bằng p/6;
	b) Một acgumen của z + i bằng một acgumen của z – 1.
4. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
biết .
5. 	a) Tìm bốn số phức là căn bậc bốn của 1 rồi biểu diễn chúng lên mp(C).
b) Tìm ba số phức là căn bậc ba của 1 rồi biểu diễn chúng lên mp(C).
6. Giải các phương trình sau:
	a) z2 + (4 – 6i)z – 9 – 15i = 0;	b) z2 = 5 – 12i;
	c) 1 – z + z2 – z3 = 0;	d) z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0.
7. Cho các số phức z1, z2 Î C. CMR:
	;
8. Cho số phức z = a + (a – 3)i với a Î R.
a) Tìm a để điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện:
10) Nằm trên đường thẳng y = - x;	10) Nằm trên hypebol y = 
	30) Có khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ nhất.
	b) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức đã cho.
9. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
10. Tìm số phức z sao cho ïzï= ïz - 2ï và một acgumen của z – 2 bằng một acgumen của z + 2 cộng với 
11. Xác định tập hợp các điểm trong mp(C) biểu diễn các số phức z sao cho có một acgumen bằng 
12. Cho số phức z có ïzï = 1. Biết một acgumen của z là j, tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
13. Cho hai số phức 
	Vơi số nguyên dương n nào mỗi số phức trên là số thực, là số ảo?
14. Cho A, B, C, D là 4 điểm trên mp(C) thứ tự biểu diễn các số phức: CMR: A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
15. Cho tam giác đều OAB trong mp(C). CMR: nếu A, B biểu diễn các số z1, z2 thì 
Bài tập ôn tập chương IV:
1. Tìm tập hợp các điểm trong mp(C) biểu diễn các số z’ = az + b trong đó z là số phức tùy ý thỏa mãn ïz – z0ï £ R (z0, a ≠ 0, b là những số phức cho trước, R là số thực dương cho trước).
2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) ïxï + ïyï = 1; b) 4 £ (x - 1)2 + (y + 2)2 £ 9; 
3. CMR: hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn điều kiện ïz1ï= ïx2ï Û ảo.
4. 	a) Cho số phức a = a + bi khác 0. CMR: tập hợp các diểm trong mp(C) biểu diễn các số phức z = x + yi sao cho (k Î R) là một đường thẳng.
	b) Tìm a, k ở câu a) để đ.thẳng nói trên đi qua các điểm biểu diễn số 2 và 3i. 
5. Xác định các điểm trong mp(C) biểu diễn số phức z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
6. Cho A, B, C, D là 4 điểm trên mp(C) thứ tự biểu diễn các số phức: CMR: A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
7. Tìm số phức thỏa mãn đồng thời 
8. Giải hệ phương trình ẩn phức x, w sau đây: 
9. Tìm các điểm của mp(C) biểu diễn các số phức z sao cho là số thực.
10. Tìm a, b Î R để có phân tích z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2 = (z2 + 1)(z2 + az + b) rồi giải phương trình: z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2 = 0.
11. Cho a, b, c Î R với cosacosbcosc ≠ 0. Tìm phần ảo của số phức 
(1 + itana)(1 + itanb)(1 + itanc). Từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì: tana + tanb + tanc = tanatanbtanc khi và chỉ khi a + b + c = kp, k Î Z.
12. Viết dạng lượng giác của các số phức:
13.	a) Cho các số thực a, b sao cho sin(a/2) ≠ 0. "n Î N, n ³ 1, xét các tổng.
	S = cosb + cos(a + b) + cos(2a + b) + . . . + cos(na + b),
	T = sinb + sin(a + b) + sin(2a + b) + . . . + sin(na + b).
	Tính S + iT, từ đó suy ra S và T.
	b) CMR: với mỗi số thực a ≠ kp, mỗi số nguyên n ³ 1, ta có:
sina + sin3a + . . . + sin(2n – 1)a = 
	cosa + cos3a + . . . + cos(2n – 1)a =