Giải tích 12 – Chủ đề I: Khảo sát hàm số

Chủ đề I: KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. PHẦN CƠ BẢN :
I/ Khảo sát hàm bậc ba:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm bậc ba:
Phần1: Tập xác định: D = R.
Phần2: Sự biến thiên :
2.1) Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được. ( y’ = ? ; y’ = 0 xi = . (y = .) )
2.2) Tìm 
2.3) Lập bảng biến thiên
x
Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi mũi tên biểu thị chiều biến thiên của hàm số
Kết luận các khỏang đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số
2.4) Tính đối xứng : 
Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn. (Hòanh độ điểm uốn là nghiệm của pt y’’ = 0. Nếu y’ = 0 có một nghiệm kép thì nghiệm đó là hòanh độ điểm uốn; Nếu y’ = 0 có hai nghiệm thì trung bình cộng của hai nghiệm đó là hòanh độ điểm uốn .)
Phần 3:
3.1) Cho điểm trên đồ thị . (cho giá trị x tìm y hoặc ngược lại, người ta thường tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ - cho x = 0 tìm y; cho y = 0 tìm x)
3.2) Vẽ đồ thị. ( Phác họa theo chiều mũi tên trong bảng biến thiên sẽ được dạng đồ thị.)
2/ Phân lọai đồ thị hàm bậc 3: Có hai lọai : Lọai có hai cực trị ; Loại không có cực trị
Lọai có hai cực trị
Loại không có cực trị
Nhận biết :
3/ Bài tập:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
1.1/ y = x3 – 3x2 
1.2/ y = – x3 + 3x – 2 
1.3/ y = x3 + 3x2 + 4x -8
1.4/ y = x3 + 3x2 – 4
1.5/ y = x3 - 6x2 + 9x + 1
1.6/ y = - x3 + 3x2.
1.7/ y = x3 - 3x2 + 3x
1.8/ y = - x3 + 6x2 - 12x + 4
1.9/ y = x3 - 3x2 + 4x
1.10/ y = - x3 - x + 1
1.11/ y = x3 - 3x2 + 2
1.12/ y = 
Bài 2:
a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b/ Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình là y = -x3 + mx2 - m. Khảo sát và vẽ đồ thị (C3) của hàm số khi cho m = 3.
Bài 3:
Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx +d. 
Bằng cách chia f(x) cho f¢(x), ta được: f(x) = f¢(x)(Ax + B) + ax + b
Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0. Chứng minh rằng : f(x0) = ax0 + b
Áp dụng : Tìm cực trị của hàm số : y = x3 - 3x2 - 3x + 2.
Bài 4:
Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm) , m là tham số.
Định m để hàm số đạt điểm cực tiểu tại x = 2 .
Khảo sát hàm số (C-3) với m = -3
Bài 5:
Cho hàm số y = x3 - ax2 +(2a-3)x + 1 (Ca) , a tham số
1. Định a để hàm số đồng biến trên toàn miền xác định.
	2. Khảo sát hàm số (C) với a = 3
II/ Khảo sát hàm bậc bốn trùng phương:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm bậc bốn trùng phương:
Phần1: Tập xác định: D = R.
Phần2: Sự biến thiên :
2.1) Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được. ( y’ = ? ; y’ = 0 xi = . (y = .) )
2.2) Tìm 
2.3) Lập bảng biến thiên
x
Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi mũi tên biểu thị chiều biến thiên của hàm số
Kết luận các khỏang đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số
2.4) Tính đối xứng : 
Hàm bậc bốn trùng phương là hàm số chẵn, có trục đối xứng là trục Oy. (Chú ý sử dụng tính chất f( - x) = f(x) để tính giá trị của hàm số và xác định điểm trên đồ thị)
Phần 3:
3.1) Cho điểm trên đồ thị . (cho giá trị x tìm y hoặc ngược lại, người ta thường tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ - cho x = 0 tìm y; cho y = 0 tìm x)
3.2) Vẽ đồ thị. ( Phác họa theo chiều mũi tên trong bảng biến thiên sẽ được dạng đồ thị.)
2/ Phân lọai đồ thị hàm trùng phương: Có hai lọai : Lọai có ba cực trị ; Loại có một cực trị
Lọai có ba cực trị
Loại có một cực trị
Nhận biết :
Bài tập:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
1.1/ y = x4 – 6x2 + 5
1.2/ y = - x4 - x2 + 2
1.3/ y = x4 + 2x2
1.4/ y = 
1.5/ y = 
1.6/ y = -x4 + 2x2 + 
1.7/ y = - x4 + x2
1.8/ y = 2x2 - x4.
1.9/ y = - x4 + 4.
1.10/ số y = x4 - 2x2 + 1
1.11/ y = x4 + x2 - 2
1.12/ 
Bài 2:
a/ Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4.
b/ Cho hàm số y = x4 -2(m+2)x2 + 2m + 3 Có đồ thị (Cm) , m là tham số. Khảo sát hàm số (C) với m = 3.
c/ Cho hàm số y = x4 + ax2 + b. Khảo sát hàm số với a = -2 ; b = 1.
Bài 3:
a/ Khảo sát hàm số y = - x4 + x2 , (C) là đồ thị 
b/ Gọi A và B là giao điểm của (C) và trục hoành. Chứng minh các tiếp tuyến của (C) tại A và tại B vuông góc nhau.