Giải pháp hữu ích: Hệ phương trình đối xứng và một số bài toán có liên quan

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
1. Lí do chọn giải pháp hữu ích
 Hầu hết học sinh phổ thông (chương trình nâng cao) đều nắm được cách giải “quen thuộc” của hệ phương trình đối xứng (đối xứng loại một và đối xứng loại hai) đó là :
- Đối với hệ phương trình đối xứng loại một thì đặt và rồi đưa hệ phương trình về hệ phương trình theo hai ẩn S và P, giải hệ này, sau đó tìm hai ẩn x và y.
- Đối với hệ phương trình đối xứng loại hai thì trừ từng vế hai phương trình trong hệ dẫn đến phương trình tích (*). Khi đó việc giải hệ phương trình đã cho đưa về giải hệ gồm phương trình (*) với một trong hai phương trình đã cho ban đầu.
 Thực tế có những bài toán đúng là hệ phương trình đối xứng rồi nhưng nếu áp dụng cách giải “quen thuộc” thì học sinh không thể giải được nó. Ngoài ra có nhiều phương trình nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến những phương trình rất phức tạp, như bậc quá cao hoặc thậm chí không giải được. Để giúp các em học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán dạng này và có cái nhìn tổng quát về cách giải hệ phương trình đối xứng, bài viết này sẽ đưa một số hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về cách giải “quen thuộc” và đưa một số phương trình về hệ phương trình đối xứng thông qua việc chọn các ẩn phụ thích hợp.
2. Thực tiễn
 Trong các kì thi tuyển sinh Cao đẳng và Đại học thì bài toán về hệ phương trình đối xứng thường có mặt, gần đây trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của một số trường phía bắc thì hệ phương trình đối xứng cũng được đề cập đến trong đề thi.
3. Nội dung nghiên cứu
3.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng giải được theo cách giải “quen thuộc”
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”. 
Dùng ẩn phụ và đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ và đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ và đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Dùng ẩn phụ và đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và nếu giải theo cách giải “quen thuộc” thì dẫn đến hệ phương trình rất phức tạp.
Dùng ẩn phụ và đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của hệ phương trình là 
Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải được theo cách giải “quen thuộc” và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc”, khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện 
Cộng vế theo vế ta có (*)
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có và nên . Do đó (*) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 
 Bài toán này không thể giải quyết được theo phương pháp đánh giá như trên.
Giải. Điều kiện 
Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được :
trong đó với Dễ thấy là hàm đồng biến trên khoảng Vì thế 
Thay vào phương trình ta được hoặc 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là và 
3.2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 8. Giải phương trình 
Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi tương đương.
Dùng ẩn phụ và đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
Ví dụ 9. Giải phương trình 
Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi trực tiếp.
Dùng ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
Ví dụ 10. Giải phương trình 
Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình bậc bốn phức tạp.
Dùng ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
Ví dụ 11. Giải phương trình 
Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình rất phức tạp.
Dùng ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”.
Nghiệm của phương trình là 
Dạng tổng quát của bài toán này là trong đó và Ta sử dụng ẩn phụ 
Ví dụ 12. Giải phương trình 
Bài toán này rất khó giải nếu không dùng ẩn phụ.
Dùng ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
Nghiệm của phương trình là và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
Ví dụ 13. Giải phương trình 
Dùng ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
Nghiệm của phương trình là và 
Dạng tổng quát của bài toán này là 
4. Kết luận
Thông qua 13 ví dụ trên học sinh sẽ có cách nhìn tổng quát về cách giải hệ phương trình đối xứng cũng như các bài toán về phương trình mà việc giải nó gắn liền với việc giải hệ phương trình đối xứng. Hy vọng qua bài viết này các em học sinh không còn gặp khó khăn nữa khi phải đối mặt với các bài toán về hệ phương trình đối xứng và một số bài toán có liên quan đến nó.