Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm học 2011-2012 theo nhiều cách

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 
LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 THEO NHIỀU CÁCH
Tập hợp cách làm các bài trong đề thi từ Hướng dẫn chấm, từ các cách làm của học sinh và một số cách tôi sưu tầm được để các bạn tham khảo. Rất mong được chia sẻ các cách giải khác.
Câu 1:
a) Giải và biện luận phương trình theo m: 
b) Giải phương trình: 
Cách 1 ( theo Hướng dẫn chấm)
Đặt: 
Từ đó ta có 
Cách 2:
Đặt: . Ta có phương trình: 
Từ đó ta có 
 Cách 3
Đặt: . Ta có phương trình: 
Từ đó ta có 
Câu 2:
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
Cách 1 ( theo Hướng dẫn chấm) 
+ Ta thấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ nên ta chỉ cần xét hàm số trên 
+ 
; 
Do đó: 
Cách 2 ( Phương pháp Hàm số)
Đặt . Bài toán đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số trên .
+ .
+ Ta có .
+ Do đó: ; 
Cách 3: (Phương pháp Bất đẳng thức)
1. Tìm GTLN: 
Vì . Dấu “=” xảy ra 
2. Tìm GTNN: 
+ Cách 1: Sử dụng Bất đẳng thức Côsi
Ta có: 
Suy ra: 
. Dấu “=” xảy ra 
+ Cách 2: Sử dụng Bất đẳng thức hàm lõm:
Xét hàm số: trên . Ta có , suy ra y là hàm số lõm trên . Do đó (*). Dấu “=” xảy ra khi . 
Áp dụng (*) ta có: . Đẳng thức xảy ra khi .
b) Cho và ba số thực sao cho: . Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .
Cách 1 ( theo Hướng dẫn chấm)
Xét hàm số: ( với m>1) trên . Ta có xác định, liên tục trên và có đạo hàm trên (0;1); . Do đó theo định lí Lagrang, hay 
( Vì ). Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .
Cách 2:
Đặt: ; Ta có , . Suy ra: (*). Xét các trường hợp sau:
+ Nếu : từ giả thiết suy ra: . 
Phương trình trở thành 
+ Nếu : từ (*) suy ra: , suy ra phương trình có nghiệm thuộc .
Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng.
Cách 3:
+ 
+ 
Suy ra: 
Từ giả thiết suy ra: 
. Từ đó suy ra 2 trong ba số phải trái dấu.
Nếu , suy ra phương trình có nghiệm 
Nếu , suy ra phương trình có nghiệm 
Nếu , suy ra phương trình có nghiệm .
Cách 4:
Theo cách 3, ta có: . Suy ra: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và . Lưu ý: 
Ta dùng PP phản chứng: 
Giả sử phương trình trên không có nghiệm thuộc (0;1). Khi đó chỉ có trường hợp sau: 
Từ hệ thức thay vào (2) ta được . Điều này vô lí vì .
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm thuộc (0;1).
Câu 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát: , trong đó m là tham số. Tìm m để cho
 a) (d) đi qua điểm (2;-3)
ĐS: 
b) (d) tiếp xúc với đường tròn (O), bán kính R = 1.
Cách 1:
Viết lại (d): 
(d) tiếp xúc với đường tròn (O;1) 
Cách 2: - Phương pháp đại số (Học sinh làm có thể do quên điều kiện tiếp xúc)
Đường tròn tâm (O;1) có phương trình: .
 tiếp xúc với (O;1) khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất. 
+ Xét trường hợp m=0 thỏa mãn; 
+ Trường hợp , từ phương trình thứ nhất rút y theo x và thế vào phương trình thứ hai. Sau đó tìm điều kiện để phương trình bậc hai nhận được ẩn x có nghiệm kép. 
c) (d) cách tâm (O) một khoảng lớn nhất:
Cách 1: theo Hướng dẫn chấm
Ta có . Vì nên 	lớn nhất lớn nhất. 
Ta có . Dấu “=” xảy ra 
Vậy: .
Cách 2: Phương pháp hàm số 
Đặt . Xét các trường hợp:
a) , khi đó ; .
; ; 
Bảng biến thiên: 
x
f’(x)
+
f(m)
0
Từ bảng biến thiên suy ra: 
b) , khi đó ; .
; ; 
Bảng biến thiên: 
 x
f’(m)
	+	 0	-
f(m)
	0
Từ bảng biến thiên suy ra: 
Từ các trường hợp trên ta có . Do đó: 
Cách 3: Phương pháp hàm số (2)
Vì nên lớn nhất lớn nhất. 
Xét hàm số; ; 
x
f’(m)
 + 0	 - 0 +
f(m)
 0
Từ bảng biến thiên ta có ..........
Cách 4: Phương pháp tìm tập giá trị hàm số
Vì nên lớn nhất lớn nhất 
Đặt . Giả sử là một giá trị của f(m) có nghiệm .
Từ đó .....
Cách 5: Phương pháp hình học:
+ Tìm được điểm cố định của họ đường là I(-1;2).
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên suy ra 
Câu 4: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a. BC=b, AA’=c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. 
a) Xác định thiết diện do mặt phẳng (AMN) cắt khối hộp chữ nhật.
Cách 1: phương pháp giao tuyến gốc
Thiết diện là ngũ giác AKMNT
Cách 2: Sử dụng quan hệ song song
+ MN//BD cắt mp(ABCD) theo giao tuyến qua A và song song với BD
+ ..
Thiết diện là ngũ giác AKMNL
b) Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp chữ nhật ra thành hai khối đa diện (H) và (H’), trong đó (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’ . Tính thể tích của khối đa diện (H’) theo a, b, c.
(Sử dụng hình vẽ của cách 1 – dựng thiết diện)
Cách 1: Tính trực tiếp áp dụng công thức tính thể tích
+ ; 
+ ;
+ 
Suy ra: 
Cách 2: Sử dụng tỉ số thể tích
+ ;
+ 
Câu 5:
a) Hãy chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau
+ Chia: Có nhiều cách chia, có thể chia theo cách sau:
Lấy A là đỉnh của các khối tứ diện này ta được các khối
A.CDD’, A.CC’D’, A. A’C’D’, A.BCC’, A.BC’B’, A.A’B’C’
+ Chứng minh các khối tứ diện này bằng nhau:
- Cách 1: Sử dụng các phép dời hình trong không gian ( ĐX trục, ĐX tâm, TT) để chỉ ra các khối tứ diện đó là ảnh của nhau qua các phép dời hình.
- Cách 2: Áp dụng định lí SGK HH 12-NC. Nội dung định lí: Hai hình tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau. 
b) Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thỏa mãn: . Chứng minh rằng 
Cách 1: Theo Hướng dẫn chấm
*PP: Xác định dạng của f(x):
+ Đặt . Tìm a,b sao cho . 
Suy ra nên 
Vì f(x) là đa thức bậc ba có hệ số của là nên g(x) là đa thức bậc ba. g(x) chia hết cho x-1999 và x-2000 nên ( x0 là nghiệm còn lại của g(x))
Suy ra: 
Ta có 
là hợp số.
Cách 2: 
Giả sử . Từ giả thiết ta có:
Ta có:
Thay (1) vào (2) ta được: