Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

Bài 1: GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng 
Khóa: LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG 
DỤNG 
Bài 1: Cho ABC∆ có A > B > C. Tìm giá trị nhỏ nhất 
sin sin( ) 1
sin sin
x A x Bf x
x C x C
− −
= + −
− −
Lời giải: Do A > B > C và A, B, C là 3 góc của tam giác ABC nên sinA > sinB > sinC 
nên ñk xác ñịnh là: 
sin
sin
x A
x C
≥
 <
Ta có: 
2 2
sin sin sin sin( ) 0
sin sin2( sin ) 2( sin )
sin sin
A C B Cf x
x A x B
x C x C
x C x C
− −
′ = + >
− −
− −
− −
⇒ f(x) ñồng biến trên [ )( ,sin ) sin ,C A−∞ +∞∪ , mặt khác có: 
sin sinlim ( ) lim 1 1
sin sin
sin sin(sin ) 1 1
sin sin
x x
x A x Bf x
x C x C
A Bf A
A C
→−∞ →−∞
 
− −
= + − =  
− − 
−
= − <
−
Vậy sin sinmin ( ) 1
sin sin
A Bf x
A C
−
= −
−
Bài 2: Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm max, min của P x y z xy yz zx= + + + + + 
Lời giải: ðặt ( )22 2 2 23( ) 3 3t x y z t x y z x y z t= + + ⇒ = + + ≤ + + = ⇒ ≤ 
Ta có: ( )
2 2 2 2 2( ) 1
2 2
x y z x y z t
xy yz zx
+ + − + +
−
+ + = = 
2 2 21 2 1 ( 1) 2
2 2 2
t t t tP t − + − + −⇒ = + = = 
• Tìm min P: 
Do 21) 0,t t+ ≥ ∀ 1P⇒ ≥ − 
Tại t = -1, chẳng hạn x = y = 0, z = -1 thì P = -1 
Vậy min P = -1 
• Tìm max P: 
Do 3 1 1 3 1t t t≤ ⇒ + ≤ + ≤ + 
2( 3 1) 2 1 3
2
P + −⇒ ≤ = + 
Với 13
3
t x y z≤ ⇔ = = = thì 1 3P = + 
Vậy ax 1 3m P = + 
Bài 3: Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
www.VNMATH.com
Bài 1: GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng 
Khóa: LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
 ( )32 2 22 2 4 2 2 2 4x x x x x x m− + − − + = − + 
Lời giải: TXD: x R∈ 
ðặt 2 2 2 1t x x= − + ≥ , pt ñã cho trở thành: 
3 24 2 4t t t m− = + − 
3 2( ) 2 4 4f t t t t m⇔ = − − = − (*) 
Nx: với mỗi t > 1 thì ta sẽ có 2 nghiệm x thỏa mãn, do ñó ñể pt ban ñầu có 4 nghiệm phân 
biệt thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 
Ta có: 2
2
( ) 3 4 4 0 2
3
t
f t t t
t
=
′ = − − = ⇔
 = −

Từ ñó ta vẽ bảng biến thiên của hàm số f(t). 
Mặt khác số nghiệm của pt (*) là số giao ñiểm của ñường cong y = f(t) với ñường thẳng y 
= m - 4 dẫn ñến pt (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi: 
 - 8 < m - 4 < - 5 
 Hay - 4 < m < - 1 
Bài 4: Tìm m ñể phương trình: sinx. cos2x. sin3x = m có nghiệm ;
4 2
x
pi pi 
∈   
: 
Lời giải: Do ; 2 ;
4 2 2
x x
pi pi pi
pi
   
∈ ⇒ ∈      
 nên ñặt [ ]os2 1;0t c x= ∈ − 
Có 
2 21 1 2cos 2 1 2 2 1
sinx.sin3x= ( os2 os4 ) os2
2 2 2 4
x t t
c x c x c x
 − − + +
− = − = 
 
Do ñó pt ñã cho trở thành: 
3 2( ) 2 2 4f t t t t m= − + + = 
2 2 10( ) 6 4 1 0
6
f t t t t − ±′ = − + + = ⇔ =
−
Từ ñó vẽ bbt của hàm số trên [-1; 0]. Suy ra pt ñã cho có ñúng 2 nghiệm thuộc ;
4 2
pi pi 
  
khi pt f(t) = 4m có ñúng 2 nghiệm thuộc [-1; 0], ñiề này xảy ra khi: 
{ }2 10( ) 4 min ( 1); (0)
6
13 5 10 9
108 4
f m f f
m
− +
< < −
−
−
⇔ < < −
Bài 5: Tìm m ñể hệ BPT sau có nghiệm: 
2
2
3 2 1 0
3 1 0
x x
x mx
 + − <

+ + <
Lời giải: Ta có: 
www.VNMATH.com
Bài 1: GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng 
Khóa: LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
2
2
2
2
2
113 2 1 0
3
3 1 0 1 3
11 0 0
3(1) (2)1 13 3
xx x
x mx
x mx
x x
x
xm
mx
x

 − < <+ − < 
⇔ 
+ + <  + < −

− < < < <  
⇔ ∨ +
+> −  < − 
Hệ ban ñầu có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất 1 trong 2 hệ (1) và (2) có nghiệm. 
ðặt 
2
2
1 1 1 1( ) ( ) 1 0, ( 1;0) 0;
3
xf x x f x x
x x x
+  
′= = + ⇒ = − < ∀ ∈ − ∪  
 
Nên f(x) nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) và (0; 1/3), do ñó: 
1. Hệ (1) có nghiệm khi f(-1) > -3m hay 2/3 < m 
2. Hệ (2) có nghiệm khi f(1/3) < -3m hay m < -10/9 
Vậy các giá trị m cần tìm là 
10
9
2
3
m
m
−
<

 >

Bài 6: a, Tìm m ñể 2 8 2m x x+ = + có 2 nghiệm phân biệt 
 b, Cho a + b + c = 12. CMR: 2 2 28 8 8 6 6S a b c= + + + + + ≥ 
Lời giải: 
a, Ta có: 2
2
28 2 : ( )
8
x
m x x m f x
x
+
+ = + ⇔ = =
+
ðạo hàm 
2
2
2 2 3
( 2)8
8 28( ) 0 4( 8) ( 8)
x x
x
xxf x x
x x
+
+ −
−+
′ = = = ⇔ =
+ +
Từ ñó ta vẽ ñược bbt của hàm f(x), từ ñó suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 
6(4)
2
m f< = 
b, Ta chứng minh theo 3 cách sau 
Cách 1: Sử dùng câu a, ta luôn có 2
2
2 6 28 ( 2)
2 68
x
x x
x
+ ≤ ⇒ + ≥ +
+
, thay x lần lượt 
bởi a, b, c ta dễ dàng suy ra: 2 ( 6) 6 6
6
S a b c≥ + + + = 
Cách 2: Dùng bunhiacopxki 
www.VNMATH.com
Bài 1: GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng 
Khóa: LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 21( 8) 1 ( 2) 8
2 3
2 21( 8) 1 ( 2) 8
2 3
2 21( 8) 1 ( 2) 8
2 3
a
a a a
b
b b b
c
c c c
+ 
+ + ≥ + ⇒ + ≥ 
 
+ 
+ + ≥ + ⇒ + ≥ 
 
+ 
+ + ≥ + ⇒ + ≥ 
 
Suy ra 2 2 2 28 8 8 ( 2 2 2 )
3
a b c a b c+ + + + + ≥ + + + + + 
2 ( 6) 6 6
3
a b c≥ + + + = (ñpcm) 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 4 
Cách 3: PP tọa ñộ 
Chọn ( ;2 2), ( ;2 2);w ( ;2 2)u a v b c= = =
  
Do w wu v u v+ + ≥ + +
     
 nên: 
2 2 2 2 28 8 8 ( ) (6 2) 144 72 6 6S a b c a b c= + + + + + ≥ + + + = + = 
Với a = b = c = 4 thì 6 6S = 
 Hết.. 
 Nguồn: Hocmai.vn 
www.VNMATH.com