Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số

Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
1 
I- SỬ DỤNG TẬP GIÁ TRỊ: 
• Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( ); 0F x y = . Tìm giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức ( );P G x y= . 
• Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T∈ khi và chỉ khi hệ 
phương trình sau có nghiệm: 
( )
( )
; 0
;
F x y
G x y m
 =

=
 (1) 
• Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệm 
của một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất 
và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức ( );P G x y= . 
• Một số ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) 
Giải: Đặt 2 2A x xy y= + + và 2 23B x xy y= − − . 
Gọi T là tập giá trị của B, khi đó m T∈ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
2 2
2 2
3
3
x xy y
x xy y m
 + + ≤

− − =
 (1) 
• Nếu y = 0 thì 2 3A x= ≤ , lúc đó 24 3 3 0 3 4 3 3m x− − < ≤ = ≤ < − (đpcm). 
• Nếu 0y ≠ thì đặt x ty= , khi đó 
2 2
2 2 3
0
2 4
y y
A x xy y x
 
= + + = + + > 
 
 nên: 
2 2 2
2 2 2
3 3
1
m x xy y t t
A x xy y t t
− − − −
= =
+ + + +
. 
Đặt ( ) ( )2 2
2
3
1 1 3 0 (2)
1
t t
a a t a t a
t t
− −
= ⇔ − + + + + =
+ +
. 
Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm ( ) ( )( )21 4 1 3 0a a a⇔ ∆ = + − − + ≥ 
4 3 3 4 3 3
3 3
a
− − −
⇔ ≤ ≤ . 
Do đó: 4 3 3 4 3 3
3 3
m
A
− − −≤ ≤ , mặt khác 0 3A< ≤ nên 4 3 3 4 3 3m− − ≤ ≤ − . 
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 3x xy y+ + ≤ . Chứng minh rằng: 
2 2
4 3 3 3 4 3 3x xy y− − ≤ − − ≤ − 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
2 
Vậy tập giá trị của P là 4 3 3 ; 4 3 3T  = − − −  nên suy ra đpcm. 
Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005) 
Giải: ĐKXĐ: 1x ≥ − và 2y ≥ − . 
Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m T∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
3 1 3 2
 (1)
x x y y
x y m

− + = + −

+ =
Đặt 1u x= + và 2v y= + thì 0, 0u v≥ ≥ và hệ (1) trở thành: 
( )
22 2
3 3
13 3
2 9
m
u v
u v m
mu v m uv m

+ = + = 
⇔ ⇔   + = +  = − −    
 u, v là hai nghiệm của phương trình: 
2
2 2 21 3 0 18 6 9 27 0
3 2 9
m m
t t m t mt m m
 
− + − − = ⇔ − + − − =  
 
 (2). 
Do đó hệ (1) có nghiệm (x , y) sao cho 1x ≥ − và 2y ≥ − khi và chỉ khi phương trình (2) có hai 
nghiệm không âm và điều kiện là: 
( )2
2
9 18 54 0
9 3 21
0 9 3 15
3 2
9 27
0
18
m m
m
S m
m m
P

∆ = − − − ≥

+
= ≥ ⇔ ≤ ≤ +


− −
= ≥

. 
Do đó 9 3 21 ;9 3 15
2
T
 +
= + 
 
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 9 3 21
2
+
 và giá trị lớn nhất của K là 9 3 15+ . 

 
Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 3 1 3 2x x y y− + = + − . Tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y= + . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
3 
II- SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC: 
• Phương pháp chung: Mấu chốt của phương pháp bất đẳng thức là phải dự đoán được 
biểu thức sẽ đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất tại những giá trị nào của biến số để từ 
đó có những cách phân tích, đánh giá thích hợp. 
• Một số bất đẳng thức cần nhớ: 
 BĐT Cô-si: 
2
x y
xy
+ ≥ (với 0; 0x y≥ ≥ ) 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y= . 
 BĐT Bunhiacopxki: ( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b+ ≤ + + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
a a
b b
= . 
 BĐT về trị tuyệt đối: x y x y x y− ≤ − ≤ + 
 BĐT 
2 2
nn nx y x y+ + ≥  
 
 (với n nguyên dương và 0; 0x y≥ ≥ ) 
• Một số ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) 
Giải: 
• 
3
41 1 4.
3 3 3 3
x x x x
x
 
+ = + + + ≥  
 
. 
• 
3
41 1 4.
3 3 3 3
y y y y y
x x x x x
 
+ = + + + ≥  
 
. 
• 
3 2 6
4 4
9 3 3 3 3 9 3
1 1 4. 1 16.
y y y y y y y
     
+ = + + + ≥ ⇒ + ≥          
     
. 
Cho hai số thực x, y dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
( )
2
9
1 1 1
y
P x
x y
  
= + + +     
. 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
4 
Suy ra ( )
2 63 3
4
9 3
1 1 1 4.4.16. . . 256
3 3
y x y
P x
x xy y
        
= + + + ≥ =                   
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 256 khi 3x = và 9y = . 
Ví dụ 2: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2006) 
Giải: 
3
2 2 2
3 1 2 1 1 1 4 1 9
2 2 . 2.3 . .
4 4 2 8 8 4 2 8 8 2
x x x y y y x y y
A y
x x xy y y
 + 
= + + + = + + + + + ≥ + + =  
   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
2
1
4
4 2
1
8
x
x
x y x y
y
y

=

+ = ⇔ = =

 =

. Vậy min
9
2
A = khi x = y = 2. 
Ví dụ 3: (Đề thi đại học chính thức khối A năm 2006) 
Giải: 
 Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức) 
Ta có: ( ) 2 2
2 2
1 1 1 1 1
x y xy x y xy
x y xyx y
+ = + − ⇔ + = + − . 
Đặt 
1 1
, a b
x y
= = , ta được 2 2 (1)a b a b ab+ = + − . 
( )( ) ( )23 3 2 2A a b a b a b ab a b= + = + + − = + 
( )2(1) 3a b a b ab⇔ + = + − . 
Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4x y+ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
+ +
= + . 
Cho hai số thực 0x ≠ và 0y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3
1 1
A
x y
= + . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
5 
vì 
2
2
a b
ab
+ ≤  
 
 nên ( ) ( ) ( )
22
2 2
3 3
2 4
a ba b
a b a b ab a b
++ 
+ = + − ≥ + − = 
 
. 
( ) ( )2 4 0 0 4a b a b a b⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ . 
Do đó ( )2 16A a b= + ≤ . 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi 1
2
x y= = . 
 Cách 2: (Sử dụng tập giá trị) 
Ta có 
( )( ) ( )
( )
22 2 4 2 2
3 3 3 3 2 2 2
2 2
1 1 2x y x xy y x y x xy y
A
x y x y x xy yx xy y
+ − +  + + +
= + = = =   
− + 
− +
. 
Xét biểu thức
2 2
2 2
2x xy y
B
x xy y
+ +
=
− +
. Đặt x ty= thì 
2
2
2 1
1
t t
B
t t
+ +
=
− +
. 
• Nếu t = 0 thì x = 0 (trái giả thiết 0x ≠ ) nên 0t ≠ . 
• Do ( ) ( ) ( )22 2 3x y xy x y xy x y xy x y xy+ = + − ⇔ + = + − nên 0 3 0x y xy+ = ⇒ − = 
(trái giả thiết 0xy ≠ ). Vậy 0x y+ ≠ nên 1t ≠ − . 
Gọi T là tập giá trị của B thì: 
 m T∈ ⇔ Phương trình 
2
2
2 1
1
t t
m
t t
+ +
=
− +
 có nghiệm 0t ≠ , 1t ≠ − . 
 ⇔ Phương trình ( ) ( )21 2 1 0m t m t m− − + + − = (*) có nghiệm 0t ≠ , 1t ≠ − . 
• Nếu m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm t = 0 (loại). 
• Nếu 1m ≠ thì phương trình (*) có nghiệm 0t ≠ , 1t ≠ −
0
1 0
3 0
m
m
∆ ≥

⇔ − ≠
 ≠
. 
( ) ( )2 22 4 1 0
0 4
1
1
0
m m
m
m
m
m
 + − − ≥
 < ≤
⇔ ≠ ⇔ 
≠ ≠

. 
Vì 2A B= và tập giá trị của B là ( ] { }0;4 \ 1T = nên tập giá trị của A là ( ] { }1 0;16 \ 1T = . 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 

 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
6 
III- SỬ DỤNG HÌNH HỌC: 
• Phương pháp chung: Phương pháp hình học thường được sử dụng khi giả thiết bài toán 
và biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất có dạng là phương trình của 
một đường thẳng, đường tròn, đường elip hoặc là khoảng cách giữa hai điểm v.v... 
• Một số ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2004) 
Giải: 
• Đường thẳng ( )1 : 2 4 0d x my m− − + = đi qua điểm cố định A(2 ; 4). 
• Đường thẳng ( )2 : 3 1 0d mx y m+ − − = đi qua điểm cố định B(3 ; 1). 
• Đường thẳng ( )1d và ( )2d vuông góc với nhau. 
Do đó, gọi M(x , y) với (x, y) là nghiệm của hệ phương trình thì M chạy trên đường tròn 
đường kính AB có phương trình 
2 2
1
5 5 5
( ) :
2 2 2
C x y
   
− + − =   
   
. 
Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 1 1 1 1Q x y x x y x y Q= + − = − + − ⇔ − + = + . 
Gọi đường tròn ( ) ( )2 22 : 1 1C x y Q− + = + . 
Lúc đó ( )2 21x y− + chính là khoảng cách từ điểm N(1 ; 0) đến điểm M (hình vẽ). 
x 
y 
M 
P 
B 
A 
N 
Do đó NM lớn nhất khi và chỉ khi hai đường tròn 1( )C 
và ( )2C tiếp xúc trong (hình vẽ). 
2
34 10 34 10
1 1.
2 2 2
NP PM NM
Q Q
⇔ + =
 +
⇔ + = + ⇔ = −  
 
Vậy 
2
max
34 10
1 10 85
2
Q
 +
= − = +  
 
. 
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 2 4
3 1
x my m
mx y m
− = −

+ = +
 (m là tham số). 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2Q x y x= + − khi m thay đổi. 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
7 
Ví dụ 2: 
Giải: 
Gọi T là tập giá trị của P và m T∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
2 2
36 16 9
2 5
x y
x y m
 + =

− + + =
 (1) 
Ta có ( ) ( )2 22 2 236 16 9 6 4 3x y x y+ = ⇔ + = . 
Đặt 6 , 4X x Y y= = thì hệ phương trình (1) trở thành: 
2 2
9
4 3 12 60 0
X Y
X Y m
 + =

− + − =
 (2) 
Hệ (1) có nghiệm ⇔ Hệ (2) có nghiệm ⇔ Đường tròn ( ) 2 2: 9C X Y+ = và đường thẳng 
( ) : 4 3 12 60d X Y m− + − có điểm chung ⇔
2 2
12 60 15 25
3
4 44 3
m
m
−
≤ ⇔ ≤ ≤
+
. 
Vậy 15 25;
4 4
T
 
=  
 
 nên giá trị nhỏ nhất của P là 15
4
 và giá trị lớn nhất của P là 25
4
. 

 
Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 2 236 16 9x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị 
lớn nhất của biểu thức 2 5P x y= − + + . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
8 
IV- SỬ DỤNG VECTƠ: 
• Phương pháp chung: Phương pháp vectơ thường sử dụng khi biểu thức cần tìm giá trị 
lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất xuất hiện các biểu thức có dạng 2 2A B+ . 
• Một số bất đẳng thức cần nhớ: 
 
1  ... +- 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 1
2
x y= = . 
 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) 
• Đặt 1 0x u− = > và 1 0y v− = > . Lúc đó 1x y+ = trở thành 2 2 1u v+ = và 
( )2 21 1 1 1u vT u v
u v uv
− −  
= + = + − 
 
. 
• ( ) ( )
2
22 2 1
1 2 1
2
u v
u v u v uv uv
+ −
+ = ⇔ + − = ⇔ = . 
• 
( )22 2
1 2
2
u v
u v u v
+
= + ≥ ⇒ + ≤ . 
• ( )2 2 2 2 1 2 1 1u v u v uv uv u v+ = + + = + > ⇒ + > . 
Đặt t u v= + thì ( )3
2
3
1
t t
T f t
t
− +
= =
−
 với (1; 2t ∈  . 
( ) ( ) ( ( ) ( )
4
2
2
3
' 0, 1; 2 2 2
1
t
f t t f t f
t
− − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ =
−
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 1
2
x y= = . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
18 
 Cách 3: (Sử dụng lượng giác kết hợp đạo hàm) 
Vì 
1
0; 0
x y
x y
+ =

> >
 nên tồn tại 0;
2
t
pi 
∈ 
 
 sao cho 
2
2
sin
cos
x t
y t
 =

=
. 
Khi đó ( )( )2 2 3 3 sin cos 1 sin coscos sin cos sin
sin cos sin cos sin cos
t t t tt t t t
T
t t t t t t
+ −+
= + = = . 
Đặt sin cos 2 sin
4
a t t t
pi 
= + = + 
 
, vì 0;
2
t
pi 
∈ 
 
 nên 1 2a< ≤ . 
Ta có 
2
1
sin cos
2
a
t t
−
= , do đó ( )3
2
3
1
a a
T f a
a
− +
= =
−
. 
( ) ( ) ( ( ) ( )
4
2
2
3
' 0, 1; 2 2 2
1
a
f a a f a f
a
− − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ =
−
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi 1
2
x y= = . 
Ví dụ 5: (Đề thi thử đại học năm 2011 - trường THPT chuyên Quốc Học - Huế) 
Giải: 
 Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 
Xét hàm số ( ) ( ) ( )2 2lnf b b a b a= − + − với b∈ . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ln' 2 2 ln 0
2
+
= − + − = ⇔ =
a af b b a b a b . 
BBT: 
f ( 
a + ln a 
2 
) 
- + 0 
a + ln a 
2 + ∞ - ∞ 
f ( x ) 
f '( x ) 
x 
 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
( ) ( )
2
lnln
2 2
a aa a
f b f
−+ ≥ = 
 
Xét hàm số ( ) lnf a a a= − với a > 0 . 
( ) 1' 1 0 1f a a
a
= − = ⇔ = . 
Cho a, b là các số thực thay đổi ( )0a > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
( ) ( )2 2lnT a b a b= − + − 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
19 
BBT: 
1
- +0
+ ∞ 10 
f ( a) 
f '( a) 
a
Do đó ( ) 1, 0f a a≥ ∀ > , nên ( )
2 2ln 1 1
2 2 2
a a−
≥ = . Vậy min
1
2
T = khi 11;
2
a b= = . 
 Cách 2: (Sử dụng hình học) 
Xét điểm ( );M b b thuộc đường thẳng (d): y = x và điểm ( );lnN a a thuộc đồ thị (C) của hàm 
số lny x= . Lúc đó ( ) ( )2 22 lnMN a b a b= − + − . 
x 
y 
h x ( ) = x-1 
g x ( ) = ln x ( )
f x ( ) = x 
N 
M
 Dựa vào đồ thị, ta thấy MN nhỏ nhất khi N là tiếp điểm 
của tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d) 
(hình vẽ). 
 Do đó ( ) 1' 1 1N N
N
f x x
x
= = ⇔ = , suy ra 0Ny = . 
 Và M là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng (d) 
nên 1 1;
2 2
M
 
 
 
. Lúc này 2 min
1
2
MN T= = . 
 Cách 3: (Sử dụng vectơ kết hợp đạo hàm) 
Xét các vectơ ( ); lnu a b b a= − − và ( )1;1v = . 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2. . .1 ln .1 ln . 1 1u v u v a b b a a b b a≤ ⇔ − + − ≤ − + − +    . 
Suy ra ( ) ( ) ( )
2
2 2 ln
ln
2
a a
T a b a b
−
= − + − ≥ . 
Xét hàm số ( ) lnf x x x= − , ( ) 1' 1 0 1f x x
x
= − = ⇔ = . 
BBT: 
1
- +0
+ ∞ 10 
f ( x ) 
f '( x ) 
x 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
20 
Do đó ( ) 1, 0f x x≥ ∀ > , nên 21 1
2 2
T ≥ = . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1
2
 khi 11;
2
a b= = . 
Ví dụ 6: 
Giải: 
• 
33 3 3 3 32 2 2x y y x y x+ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − . 
• Vì x, y dương nên 3 3 32 0 2x y x+ ≤ ⇒ < < . 
Do đó ( )22 2 2 33 2A x y x x= + ≤ + − . 
Xét hàm số ( ) ( )22 33 2f x x x= + − với 30 2x< < . 
( ) ( )3 32
3 33 33 3
2 2 02
' 2 0 1
22 2
x x x xx
f x x x
x xx x
− − =
= − = = ⇔ ⇔ =
− =− − 
 (vì 30 2x< < ). 
BBT: 
2
1 0x 
f '( x ) 
f ( x ) 
0 + - 
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 2≤ ≤A f x . 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = y = 1. 
Ví dụ 7: 
Giải: 
Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 3 3 2x y+ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 2 2A x y= + . 
Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 2 2
2 2
1 1
A x y
x y
= + + + . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
21 
 Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 
Ta có 1 1x y y x+ = ⇒ = − . Xét hàm số ( ) ( ) ( )
22
22
1 1
1
1
f x x x
x x
= + + − +
−
 với 0 < x < 1. 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
33
3 33 3
12 2
' 2 2 1 0 2 1 0
1 1
x x
f x x x x
x x x x
− −
= − − − + = ⇔ − + =
− −
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 2
3 33 3
2 1 1 1 1
2 1 0 2 1 1 0
21 1
x x x x x
x x x
x x x x
 
− − +
− +
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = 
− −  
BBT: 
17
2 
1
1 
2 0 x 
f '( x ) 
f ( x ) 
0 +- 
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất 
của A là 17
2
 khi 1
2
x y= = . 
 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) 
Ta có ( )2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 21 2 1 2A x y x y xy xy xyx y x y x y
   
= + + + = + + ≥ + = +   
   
. 
• 
1
1 2 0
4
x y xy xy= + ≥ ⇒ < ≤ . 
• Xét hàm số ( ) 22f t t
t
= + với 10
4
t< ≤ . 
Ta có ( )
2
2 1
' 2 0, 0
4
f t t
t
= − < ∀ < ≤ , suy ra ( ) 1 17
4 2
f t f
 ≥ = 
 
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17
2
 khi 1
2
x y= = . 
 Cách 3: (Sử dụng lượng giác) 
Từ giả thiết của bài toán, ta đặt 2sinx t= ; 2cosy t= với 0
2
t
pi
< < . 
Ta có 2 2 4 4
2 2 4 4
1 1 1 1
sin cos
sin cos
A x y t t
x y t t
= + + + = + + + 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
22 
2
4
1 16 1 16 17
1 sin 2 1 1 1
2 2 1 2sin 2
t
t
     
= − + ≥ − + =     
     
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17
2
. 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2 1
4
t t
pi
= ⇒ = (vì 0
2
t
pi
< < ) 1
2
x y⇒ = = . 
Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2002) 
Giải: 
 Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 
Ta có 5 5 4 1
4 4 5 4
x y y x S
x x
+ = ⇒ = − ⇒ = +
−
. 
Xét hàm số ( ) 4 1
5 4
f x
x x
= +
−
 với 50
4
x< < . 
Ta có ( ) ( ) ( )
22
22
1
4 4
' 0 5 4 5
 (lo¹i)5 4
3
x
f x x x
x xx
=

= − + = ⇔ = − ⇔
 =
−

BBT: 
5 
4 
5 
1 0 x 
f '( x ) 
f ( x ) 
0 + - 
Dựa vào BBT, ta có ( ) 55, 0;
4
f x x
 ≥ ∀ ∈ 
 
 nên 
min
5S = khi 1x = và 1
4
y = . 
 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức) 
Ta có ( )
4 1 1 1 1 1 1 25 25
5
4 4 4 4 4x y x x x x y x y x y
 
+ = + + + + ≥ = =  + + 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
4
4
5
1
4
x y
x
yx y
=
=
⇔ 
=+ = 
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 5 khi x = 4 và y = 1. 
Cho hai số thực x, y dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5
4
x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 4 1
4
S
x y
= + . 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
23 
Ví dụ 9: 
Giải: 
 Cách 1: (Sử dụng đạo hàm) 
1
1 1
2 1
x x
x y y x A
x x
−
+ = ⇒ = − ⇒ = +
− +
. 
Xét hàm số ( ) 1
2 1
x x
f x
x x
−
= +
− +
 với 0 1x≤ ≤ . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 1
' 0 1 2
22 1
f x x x x
x x
= − = ⇔ + = − ⇔ =
− +
( ) ( )0 1 1f f= = ; 1 2
2 3
f
 
= 
 
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2
3
 khi 1
2
x y= = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi 0; 1x y= = 
hoặc 1; 0x y= = . 
 Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức kết hợp đạo hàm) 
Ta có ( )
22 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2
x y xyx y x x y y xy
A
y x x y xy xy xy
+ − ++ + + −
= + = = =
+ + + + + + +
. 
Mặt khác 11 2 0
4
x y xy xy= + ≥ ⇒ ≤ ≤ . 
Xét hàm số ( ) 2 2
2
t
f t
t
−
=
+
 với 10
4
t≤ ≤ . 
Ta có ( ) ( )2
6
' 0
2
f t
t
= − <
+
 với mọi 10;
4
t
 
∈  
 
 nên hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn 10;
4
 
 
 
. 
Cho hai số thực x, y không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ 
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1
x y
A
y x
= +
+ +
. 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
24 
Do đó ( )
1
0;
4
1 2
min
4 3
f t f
 
 
 
 
= = 
 
 và ( ) ( )
1
0;
4
max 0 1f t f
 
 
 
= = . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2
3
 khi 1
2
x y= = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi 0; 1x y= = 
hoặc 1; 0x y= = . 
 Cách 3: (Sử dụng lượng giác) 
Vì 
1
0 ;0
x y
x y
+ =
 ≤ ≤
 nên đặt 2sinx t= và 2cosy t= với 0;
2
t
pi 
∈  
 
. 
Lúc đó 
2 2 2
2 2 2 2
sin cos 8 2sin 2 24
2
1 cos 1 sin 8 sin 2 8 sin 2
t t t
A
t t t t
−
= + = = − +
+ + + +
. 
Suy ra 
2
24 2
2
38 1
A ≥ − + =
+
 khi sin2 1
4
t t
pi
= ⇔ = vì 0;
2
t
pi 
∈  
 
 ; 
và 
2
24
2 1
8 0
A ≤ − + =
+
 khi 
0
sin2 0
2
t
t
t
=

= ⇔ pi =

 vì 0;
2
t
pi 
∈  
 
. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2
3
 khi 1
2
x y= = và giá trị lớn nhất của A là 1 khi 0; 1x y= = 
hoặc 1; 0x y= = . 

 
-----------HẾT----------- 
www.VNMATH.com
Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số 
__________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________ 
nghia_metal@yahoo.com 
25 
MỤC LỤC 
 Trang 
• Sử dụng tập giá trị ..............................................................02 
• Sử dụng bất đẳng thức .......................................................04 
• Sử dụng hình học ................................................................07 
• Sử dụng vectơ ......................................................................09 
• Sử dụng lượng giác .............................................................11 
• Sử dụng đạo hàm.. ..............................................................13 
www.VNMATH.com