Ðề thi tuyển sinh cao đẳng khối a, b, d năm 2010 môn thi : Toán học

ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Môn thi : TOÁN 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
	1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= x3 + 3x2 – 1.
	2.	Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
Câu II (2,0 điểm)
	1.	Giải phương trình .
	2..	Giải hệ phương trình : (x, y Î R).
Câu III (1,0 điểm) .	Tính tích phân : .
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm). Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y£1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0.
1.	Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
2.	Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P).
Câu VII.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4+i)= -(1+3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0.
1.	Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
2.	Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
Câu VII.b (1 điểm). Giải phương trình z2–(1+i)z+6+3i = 0 trên tập hợp các số phức.
BÀI GIẢI
Câu I: 1. Tập xác định là R. y’ = 3x2 + 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = -2;
	 và 
x
-¥ 	-2 0	 +¥
y’
 +	 0 -	 0 +
y
3 +¥
-¥ CĐ -1
	CT
	Hàm số đồng biến trên (-∞; -2) ; (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (-2; 0)
	Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y(-2) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x=0; y(0) = -1
	y" = 6x + 6; y” = 0 Û x = -1. Điểm uốn I (-1; 1)
y
x
0
-2
3
-1
	Đồ thị : 
2.	Gọi A là điểm trên (C) có hoành độ x = -1 Þ tung độ A bằng 1
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là y’(-1) = -3
	Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A là: 
	d : y – 1 = -3(x + 1) Û y = -3x – 2.
Câu II: 1. 	 
Û 
Û Û 
Û 4sin22x – 8sin2x + 3 = 0 Û (loại) hay 
Û hay 
Û hay (k Î Z)
2.	
	(1) Û Û hay (loại)
	Û 2x + y = 1 Û y = 1 – 2x (3)
	Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = 2
	Û x2 + 2x – 3 = 0 Û x = 1 hay x = -3
	Khi x = 1 thì y = -1; khi x = -3 thì y = 7
	Vậy nghiệm của hệ phương trình là hay 
Câu III.
S
A
B
C
D
H
 = = = 2 – 3ln2.
Câu IV:	
Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 
Nên là tam giác vuông cân
Vậy 
Câu V : Cách 1: 1 ³ 3x + y = x + x + x + y ³ Þ 
	A = 
	Khi x = y = ta có A = 8. Vậy min A = 8.
Cách 2: Áp dụng : "a, b > 0 : 
	A = 
	Khi x = y = ta có A = 8. Vậy min A = 8.
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a:	A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1); (P) : x + y + z + 4 = 0 
	Þ VTPT của (P) là = (1; 1; 1)
1.	Gọi (D) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) thì :
	(D) : 
	H là hình chiếu của A lên (P) thì H = (D) Ç (P) nên tọa độ H thỏa :
	Û .	Vậy H (-1; -4; 1)
2.	Ta có AB = và = (-2; 2; -2)
	Bán kính mặt cầu (S) là R = 
	(AB) : . Vì tâm I Î (AB) Þ I (t – 1; – t; t + 1)
	(S) tiếp xúc (P) nên d (I; (P)) = R Û Û t = -3 hay t = -5 
	Þ I (-4; 3; -2) hay I (-6; 5; -4)
	Vậy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài :
	(S1) : (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = 
	(S2) : (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = 
Câu VII.a: (2 – 3i)z + (4+i)=-(1+3i)2 (1)
	Gọi z = x + yi (x, y Î R)
	(1) Û (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = 8 – 6i Û (6x + 4y) – (2x + 2y)i = 8 – 6i 
	Û 6x + 4y = 8 và 2x + 2y = 6 Û x = -2 và y = 5
	Vậy phần thực của z là -2 và phần ảo của z là 5.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b :
1.	d : và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0
	d qua A (0; 1; 0) có 1 VTCP = (-2; 1; 1)
	(P) có 1 VTPT : = (2; -1; 2)
	(a) chứa d và vuông góc với (P) nên :
	(a) qua A (0; 1; 0) và có 1 VTPT : 
	Ptmp (a) : (x – 0) + 2(y – 1) = 0 Û x + 2y – 2 = 0
2.	M Î d Þ M (-2t; 1 + t; t)
	M cách đều O và (P) Û OM = d (M, (P))
	Û 
	Û Û t = 0 Þ M (0; 1; 0)
Câu VII.b: 	z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0	(1)
	D = -24 – 10i = (1 – 5i)2 
	(1) Û z = 1 – 2i hay z = 3i.