Ðề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An môn Toán Bảng B

 MATH.VN 
 1
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆ AN 
MÔN TOÁN BẢNG B 
Câu 1: 
 a)Tìm giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm 
 (m-3)x + (2− m) x + (3 − m) = 0 
 b) Chứng minh rằng : 
 )(
sin
3
x
x
 〉 cosx với x ∈ (0;
2
π
) 
Câu 2: 
a) Tìm GTNN và GTLN của 
 A = 21 xx −+ với x ∈ (0;
2
π
) 
b, giải hệ phương trình 








∈
−+=−
=−
)
4
;0(,
1cossin2cos2sin
sin
sinyxe
π
yx
yxyx
y
x
Câu 3:Giải phương trình nghiệm nguyên 
1)]80016093(
8
cos[ 2 =+++ xxx
π
Câu 4: 
a)Trong hệ trục 0xy cho tam giác ABC có diện tích là 
3
2 . ðiểm A(3; −2) ; B(2; −3) và 
trọng tâm G thuộc ñường thẳng 3x − y − 8 = 0. Tính bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC 
b) Cho ñường tròn (C) có phương trình : x2 − 2x + y2 − 4y + 4 = 0. ðiểm M thuộc ñường thẳng (d) 
x − y + 3 = 0. từ M kẻ 2 tiếp tuyến tới C tại hai tiếp ñiểm là A và B .Chứng mình rằng ñường thẳng AB 
ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh khi M di chuyển trên (d ) 
NGHỆ AN 
CHỌN TUYỂN QUỐC GIA VÒNG 1 
Bài 1:giải hệ:
2
3
(2 2 ) 1 4
4 0
y x
z y y y
x z x
 = −

− + = +
 + − =
Bài 2:cho số nguyên a,chứng minh rằng phương trình: 4 3 27 ( 2) 11 0x x a x x a− + + − + = không thể có 
nhiều hơn 1nghiệm nguyên. 
Bài 3:cho dãy số thực xn xác ñịn bởi:
0
1
1
2 2 1 , .
n n n
x
x x x n N+
=

= + − + ∀ ∈
 MATH.VN 
 2
Ta xác ñịnh dãy yn bởi công thức
1
2 , *
n
i
n i
i
y x n N
=
= ∀ ∈∑ ,tìm công thức tổng quát của dãy yn. 
Bài 4:cho các số nguyên dương a,b,c khác 0 thỏa mãn: 
a b c
z
b c a
a b c
z
c a b
 + + ∈

 + + ∈

Chứng minh:
4 4 4
2 2 2
3 2
4 3 2 0
a b c
a b c
b c a
+ + − − − ≥ 
Bài 5:Trong mặt phẳng tọa ñộ oxy cho 9 ñiểm có tọa ñộ là các số nguyên,trong ñó không có 3 ñiểm 
nào thẳng hang.Chứng minh rằng tồn tại ít nhát 1 tam giác có 3 ñỉnh là 3 trong 9 ñiểm trên có diẹn tích 
là 1 số chẵn. 
Bài 6:Cho 2 ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại ñiểm K,(O’) nằm trong (O).ðiẻm A Nằm trên 
(O) sao cho 3 ñiểm A,O,O’ không thẳng hang.Các tiếp tuyến AD và AE của (O’) cắt (O) lần lựot tại B 
và C(D,E là các tiếp ñiểm).ðường thẳng AO’ cắt (O) tại F.Chứng minh rằng các ñường thẳng 
BC,DE,FK ñồng quy. 
Bài 7:cho 2, .n n N≥ ∈ Kí hiệu {1,2,..., }A n= ,tập con B của A ñược gọi là 1 tập tốt nếu B khác rỗng và 
trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên,Gọi Tn là số các tập tốt của A.Chứng minh rằng 
Tn – n là 1 số chẵn. 
NGHỆ AN 
CHỌN TUYỂN QUỐC GIA VÒNG 2 
Bài 1:giải phương trình: 3 2 316 24 12 3x x x x− + − = 
Bài 2:Tìm tất cả các số nguyên a,b,c thỏa mãn ñiều kiện 1<a<b<c và abc chia hết cho (a-1)(b-1)(c-1). 
Bài 3:cho a,b,c,x,y,z là các số thực thay ñổi thỏa mãn: ( ) ( ) 6x y c a b z+ − + = 
Tìm GTNN của: 
2 2 2 2 2 2 ax+by+czF a b c x y z= + + + + + + 
Bài 4:Tìm tát các các hàm :f R R→ sao cho: 
( os(2009y))=f(x)+2009cos(f(y)), x,yf x c R+ ∀ ∈ 
Bài 5: cho tam giác ABC thay ñổi,gọi H là trực tâm ,O là tâm ñường tròn ngoại tiếp và R là bán kính 
ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Xác ñịnh GTNN của số K sao cho
OH
K
R
< 
Bài 6:Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.M và N là các ñiểm lần lượt thay ñổi trên các cạnh AB và CD sao 
cho
MA NC
MB ND
= .ðiểm P thay ñổi trên ñoạn thẳng MN sao cho
PM AB
PN CD
= .Chứng minh rằng tỉ số diện 
tích của 2 tam giác PAD và PBC không phụ thuộc vào vị trí của M và N. 
Bài 7:Gọi S là tập hợp các số nguyên dương ñồng thời thỏa mãn 2 ñiều kiện sau: 
1.Tồn tại 2 phàn tử x,y thuọc S sao cho (x,y)=1. 
2.Với bất kì a,b thuộc S thì tổng của a và b cũng thuộc S. 
Gọi T là tập hợp tát cả các số nguyên duơng khong thuộc S.Chứng minh rằng số phần tử của T là hửu 
hạn và không nhỏ hơn ( ),S T trong ñó ( )S T là tổng các phàn tử của tập T(nếu T φ= thì ( )S T =0). 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 2004-2005 
Bài 1: a) Tìm giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 21 1x x x x m+ + − − + = 
 b) Giải phương trình: 2003 2005 4006 2x x x+ = + 
 MATH.VN 
 3
Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 os8x
( )
6 2 os4x
c
f x
c
+
=
+
 b) Tìm m ñể tồn tại cặp số (x,y) không ñồng thời bằng o và thỏa mãn phương trình: 
2 2(4 3) (3 4) ( 1) 0m x m y m x y− + − + − + = 
Bài 3:Tìm tất cảc các ña thức p(x) thỏa mãn:
1
( ) (1) [P(x+1)+P(x-1)], x
2
P x P+ = ∀ 
Bài 4: a) cho a,b,c,d là 4 số thực thỏa mãn ñiều kiện: 2 2 1, 3a b c d+ = + = ,chứng minh rằng; 
9 6 2
4
ac bd cd
+
+ + ≤ 
 b) Trong mặt phẳng Oxy cho họ ñường tròn (Cm): 
 2 2 2( 1) ( 6) 10x y m x m m+ − − − + + + , 0m ≠ 
 Chứng minh rằng: các ñường tròn (Cm) luôn luôn tiếp xúc với nhau tai một ñiẻm cố ñịnh khi m 
thay ñổi. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 1997-1998 
Bài 1: cho phương trình: 2 12 1 36 0x x x+ + + − = 
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm số trên (0,10) 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình trên. 
Bài 2: a) Xác ñịnh số ño của góc A trong tam giác ABC,biết rằng tổng các nghich ñảo số ño của 2 cạnh 
AB,AC bằng nghịch ñảo số ño ñường phân giác của góc xen giữa 2 cạnh ấy. 
 b) Giải phương trình: inxSin2xSin3x+CosxCos2xCos3x=1S 
Bài 3:Với giá trị nào của m thì số nghiệm của phương trình: 
2 2 4 215 2(6 1) 3 2 0x m x m m− + − + = không nhiều hơn số nghiệm của phương 
trình: 2 3 6 8(3 1) .12 2 6 (3 9) 2 0,25x m mm x x− + + = − − 
Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2( 1)x k x k
y
x
− − +
= ,khi 20 1x k k< ≤ − + ,k là tham số dương. 
 b) Trong hệ trục tọa ñộ cho ñiểm M(2,4).Xét các tam giác có một cạnh vuông góc với Oy và hai 
ñỉnh nằm trên parabol 23y x= ; [-1,1]x∈ nhận M là trung ñiểm của một trong 2 cạnh cọn lại.Xác ñịnh 
tam giác có diện tích lớn nhất.Tính diện tích ấy. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 1999-2000 
Bài 1: a) Giải hệ phươmng trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
 + + = +
 + = −
 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a phương trình: 
4 3 22001 (2000 ) 1999 0x x a x x a− + + − + = không thể có 2 nghiệm nguyên. 
Bài 2: a) Cho 1xy yz zx+ + = − ,chứng minh rằng: 2 2 2
17 1
2 2
2
x y z
−
+ + ≥ 
 b) Cho x và y là hai số dương thay ñổi có tổng bằng 1,m là một số dương cho trước.Tìm giá trị 
bé nhất của tổng:
2 2
1 m
S
x y xy
= +
+
 MATH.VN 
 4
Bài 3:cho dãy số{ }nU xác ñịnh như sau:
1
1
1
2
, 1
1 2
n
n
n
U
U
U n
U
+
=

+ = ∀ ≥ −
Chứng minh rằng dãy số { }nU không tuần hoàn. 
Bài 4: Cho tứ diện SABC ,trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các ñiểm D,E,F.Biết rằng các mặt 
phẳng (ABF),(BCD),(ACE) cắt nhau tai M và ñường thẳng SM cắt mặt phẳng (DÈ) tại N,cắt mặt 
phẳng (ABC) tại P.Chứng minh: 3
NP MP
NS MS
= 
Bài 5: Cho hình hộp 1 1 1 1ABCDABC D có tất cả các cạnh ñều bằng nhau và bằng 1AC .Các góc phẳng ở 
ñỉnh của góc tam diện ñỉnh A tạo bởi 3 mặt của hình hộp ñều bằng nhau. 
a) Tính số ño các góc phẳng ở ñỉnh của góc tam diện ñỉnh A nói trên. 
b) Một mặt phẳng cắt các cạnh AB,AD,AA1 tương ứng tại M.N.P và cắt AC1 tại Q.Chứng 
minh:
1 1 1 1
AQ AM AN AP
= + + 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 2000-2001 
Bài 1: a) Cho a,b,c,m là những số thực ( 0, 0)a m≠ > thỏa mãn ñiều kiện: 0
2 1
a b c
m m m
+ + =
+ +
Chứng minh rằng: 2 4 0b ac− ≥ 
b) Hãy xác ñịnh tất cả các hàm liên tục :f R R→ thỏa mãn ñẳng thức : 2 2( ) ( )f x f x x x+ = + 
Bài 2: a) Cho n,m là những số tự nhiên không nhỏ hơn 2,hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương 
trình: ...n n nx x x y+ + + = 
b) Hãy xác ñịnh m ñể phương trình: 4 4sin (1 s inx)x + + = m có nghiệm. 
Bài 3:Trong mặt phẳng cho 2001 ñiểm và trong 3 ñiểm bất kỳ ñả cho bao giờ cũng tìm ñược 2 ñiểm có 
khoảng cách giũa chúng nhỏ hơn 4.Chứng minh rằng tồn tại một hònh tròn có bán kính bằng 4 chứa 
không ít hơn 1001 ñiểm. 
Bài 4: a) Cho họ ñường cong (Cm) có phương trình: 
2 2( ) 2(2 1) 2 1 0m x y m x y m+ − + + + + = ,m là tham số. 
Chứng tỏ rằng (Cm) là ñường tròn với mọi m khác không.Tìm tập hợp tâm các ñường tròn ñó. 
b) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñiẻm (3,1).Tìm phương trình ñường thẳng ñi qua M và cắt hai nửa 
trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho tổng (OA + OB) có giá trị bé nhất. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 2001-2002 
Bài 1: Cho hàm số
2 (sin ) sin 1
1
x x
y
x
α α+ + −
=
+
a) Tìmα ñể hàm số có cực ñại – cực tiểu và ycñ + yct = -6. 
b) Tìmα ñể ycñ.yct > 0 
Bài 2: a) chứng minh rằng : 1 1x x∀ − ≤ ≤ ta có: 4 4 42 1 1 2x x≤ − + + ≤ 
c) Tìm các giá trị của k ñể phương trình sau có nghiệm: 4 4 2 2sin os os 4x c x k c x+ = 
 MATH.VN 
 5
Bài 3: a) Cho dãy { }na xác ñịnh như sau: 0
2 2
1
2 3
2
(4 10 5) , 0n n n n
a
a a a a n+
 −
=

 = − + ∀ ≥
Tìm số hạng tổng quát na 
b) Cho a,b,c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác.Xét các số x,y,z thỏa mãn
2
x y z
π
+ + = 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
s inx sin sin
( , , )
y z
P x y z
a b c
= + + 
Bài 4: a) Một mặt phẳng Oxy cho ñiểm A (-4,0),B(4,0).ðiểm M di ñộng trong mặt phẳng sao cho tam 
giác MAB có tích của tang hai góc ,MAB MBA∠ bằng 
1
4
.Chứng minh rằng M luôn chạy trên 1 elip 
(E) cố ñịnh. 
b) Cho tam giác ABC.m là một ñiểm di ñộng trên cạnh CB.hạ MN,MQ tương ứng vuông góc và song 
song với AB( , )N AB Q AC∈ ∈ .Gọi P là hình chiếu của Q trên AB và I là tâm hình chữ nhật 
MNPQ.Tìm quỹ tích của I khi M chạy trên CB. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 2002-2003 
Bài 1: a) Cho x t≤ ,chứng minh rằng 3 33 3 4x x t t− ≤ − + ,ñẳng thức xảy ra khi nào? 
b) Chứng minh rằng phương trình 3 3 32 4 0x y z+ − = không có nghiệm nguyên , , 0x y z ≠ . 
Bài 2: a) Tìm các ñiểm trong[0, ]π ,tại ñó hàm số
sin 2 sin 3
( ) s inx+
2 3
x x
f x = + ñạt giá trị cực ñại-cực 
tiểu. 
b) Chứng minh rằng hệ phương trình:
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x y y y k
y z z z k
z x x x k
 = + + +

= + + +
 = + + +
có một nghiệm duy nhất. 
Bài 3: Tren mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy cho họ ñường tròn ( C ): 2 2 2 0x y xα+ − = và 
họ ñường thẳng ( ) : ax+ay-a =0D α ( a là tham số,α là hằng số dương). 
a) Chứng minh rằng ñường thẳng (D) luôn ñi qua tâm của ñường tròn ( C ) và luôn ñi qua ñiểm cố 
ñịnh. 
b) Tìm quỹ tích giao ñiểm của (D) và ( C ). 
Bài 4:xác ñịnh giá trị của m ñể 2 hệ sau tương ñương:
2 2
3 3
os(x-y)=1
2
,1
c
x y
m xy
x y m
x y x y
π  − = 
+ = + = − −
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI 
 NGHỆ AN 12 THPT 2003-2004 
Bài 1: a) Tìm hàm số 3 2( ) ax , 0f x bx cx d a= + + + ≠ ,biết
( 1) ( 3) ( ),
(3) 6
xf x x f x x R
f
− = − ∀ ∈

=
 b) Xác ñịnh a,b ñể hàm số:
2
( ) , 0
( )
ax 1, 0
bxx a e x
f x
bx x
− + <
= 
+ + ≥
có ñạo hàm tại x = 0. 
Bài 2: a) Cho dãy số nu có 
4 3 2 *8 0,5 4 ,nu n n n n n N= − + − + ∈ ,tìm số hạng lớn nhất của dãy số ñả cho. 
b)Cho các số thực a,b,c và số nguyên dương n thỏa mãn:5 ( 2) 6( ) 0c n a b+ + + = 
Chứng minh phương trình: n nasin os s inx+c=0x bc x c+ + luôn có nghiệm trong khoảng (0, ).
2
π
 MATH.VN 
 6
Bài 3: a) Nhận dạng tam giác ABC biết rằng: 
3 3 3 4 4 4
1 1 1 ... : Tìm sốα sao cho dãy số{ }nu ñược xác ñịnh bởi
1
2 *
1
2
1
( ),
2n n
u
u u n N
α
α+
 =

 = + ∀ ∈

hội tụ. 
Khi ñó tính lim n
n
u
→∞
Bài 2:Cho hai hàm số ( ), ( )f x g x xác ñịnh và liên tục trên ñoạn[ ],a b ,khả vi trên khoảng ( ),a b 
và ( ) ( ) 0f a f b= = .Chứng minh rằng phương trình: '( ) ( ) '( ) 0g x f x f x+ = có nghiệm trên[ ],a b . 
Bài 3:Cho hàm số ( )f x liên tục trên[ ]0,1 thỏa mãn ñiều kiện (0) (1)f f= .Chứng minh rằng tồn 
tại [ ]0,1c∈ sao cho 1( ) ( ).
4
f c f c= + 
Bài 4: với mỗi *n N∈ ñặt
1
0
n x
nI x e dx= ∫ 
Chứng minh rằng{ }nI là một dãy giảm.Hãy tìm mối liên hệ giữa 1nI + và nI .Tính lim n
n
nI
→+∞
Bài 5:Tìm tát cả các hàm liên tục :f R R→ thỏa mãn các ñièu 
kiện:
(1) 1
, : ( ) ( ) ( ) 2
f
x y R f x y f x f y xy
= −

∀ ∈ + = + +
MÔN:ðẠI SỐ 
Bài 1:Cho A là một ma trận cấp 2 xác ñịnh bởi:
3 1
1 1
A
 
=  − 
,tính 2008A 
Bài 2:Cho A là một ma trận vuông cấp n thỏa mãn 3 nA I= ,trong ñó nI là ma trận ñơn vị cấp n. 
Chứng minh rằng: 2( ) ( )n nRank A I Rank A A I n− + + + = 
Bài 3: Cho A,B là hai ma trận vuông cấp n sao cho AB = BA,giả thiết thêm rằng
2008
2009
( ) 0
( ) 0
n
n
A I
B I
 − =

− =
a) Tìm tất cả các giá trị riêng của A và B. 
b) Chứng minh rằng AB,A + B là các ma trận khả nghịch. 
Bài 4: Cho V và W là hai không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường số thực R.Gỉa sử U là một 
không gian con của W, :f V W→ là một ánh xạ tuyến tính.ðặt 1( )S f U−= .Chứng minh rằng: 
dim dim dim dimS W V U+ ≥ + 
Bài 5:Cho A là một ma trận ñối xứng xác ñịnh dương cõ 2008.Gỉa sử y = (1,2,,2008) 2008R∈ . 
tính
1
lim
m T
m Tm
yA y
yA y
+
→∞
,trong ñó Ty chỉ ma trận vec tơ cột của Y. 
Bài 6: Cho nM là một không gian các ma trận vuông cấp n và cho [x]kP là không gian véc tơ các ña 
thức theo 2n biến số,bậc k.Một ánh xạ : [x]n kf M P→ ñược coi là bất biến nếu
1( ) ( )f B AB f A− = với 
mọi ma trận khả nghịch nB M∈ .Gỉa sử rằng X là một ma trận cho trước,kí hiệu: 
1
1 1( ) det( . ) ( ) ... ( ) ( )
n n
n n nP X I X a X a X a Xλ λ λ λ
−
−= − = + + + + .Chứng minh rằng: 
a) ( )kf X là ña thức thuần nhất bậc k tức là ( ) . ( ), .
k
k kf tX t f X t R= ∀ ∈ 
b) ( )kf X là ánh xạ bất biến. 
Bài 7: Cho ( )P x và ( )Q x là các ña thức với hệ số phức có bậc khác 0.Gỉa sử với cω∈ thỏa 
mãn ( ) 0P ω = thì ñều suy ra ( ) 0Q ω = và ngược lại.ðồng thời nếu cω∈ thỏa mãn ( ) 1P ω = thì suy 
ra ( ) 1Q ω = và ngược lại.Chứng minh rằng ( ) ( ).P x Q x≡ 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 1999 
 MATH.VN 
 10
Bài 1:Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( )f x xác ñịnh trên toàn R,ñược cho như 
sau:
1 , 0
( ) 1
0, 0
x
x
x x
f x e
x
 + ≠
=  +
 =
Bài 2:Tìm các số thực a,b,c thỏa mãn 2 3 16 0a b c− + − = sao cho biểu 
thức 2 2 22 2 2 4 4 4 15f a b c a b c= + + − − − + ñạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 3:Chứng minh rằng phương trình: . osx+b.sin2x+c.cos3x=xa c có nghiệm trên[ ], , , , .a b c Rπ π− ∀ ∈ 
Bài 4:Tìm hàm số ( )f x xác ñịnh và liên tục trên[ ]0,1 ,biết rằng [ ]0 ( ) 1, 0,1f x x≤ ≤ ∀ ∈ và 
[ ]1 2 1 2 1 2( ) ( ) , , 0,1f x f x x x x x− ≥ − ∀ ∈ 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2000 
Bài 1: cho dãy số{ }nx xác ñịnh như sau:
1
0
ln(1 ), 1
n
n n
x
x x n−
>

= + ∀ ≥
,chứng mình rằng dãy số{ }nx hội tụ 
ñến một giới hạn l và tính l. 
Bài 2:Chứng minh rằng nếu ( )f x là hàm số xác ñịnh trên R, thỏa mãn ñiều 
kiện
3
1 2 1 2 1 2( ) ( ) , , .f x f x x x x x R− ≤ − ∀ ∈ thì ( )f x là hàm hằng. 
Bài 3: ( )f x là một hàm số xác ñịnh và liên tục tại mọi 0x ≠ ,lấy giá trị không âm,thỏa mãn ñiều 
kiện:
0
( ) ( ) , 0
x
f x k f t dt x≤ ∀ ≥∫ ,trong ñó k là một hằng số dương.Chứng minh rằng: ( ) 0, 0.f x x= ∀ ≥ 
Gợi ý:xét sự biến thiên của hàm số
0
( ) ( )
x
kx
F x e f t dt
−= ∫ trên ( )0,+∞ 
Bài 4: Hàm số ( )f x thỏa mãn ñiều kiện ''( ) 0, .f x x R≥ ∀ ∈ .Chứng minh 
rằng: ( )[tx+(1-t)y] tf(x)+(1-t)f(y), x,y R, t 0,1f ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ 
Bài 5: Cho các số thực 1 2, ,..., nk k k khác nhau từng ñôi một.Chứng minh rằng: 
1 2
1 2 ... 0, .
nk xk x k x
na e a e a e x R+ + + = ∀ ∈ khi và chỉ khi 1 2 .... na a a= = = 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2001 
Bài 1:Cho hàm số
2
( ) .
( 1)
x
e
f x
x
=
+
Xét dãy số{ }nu xác ñịnh bởi
0
1
1
( ),n n
u
u f u n Z ++
=

= ∀ ∈
a) Chứng minh rằng phương trình ( )f x x= có một nghiệm duy nhất
1
,1
2
α  ∈ 
 
. 
b) Chứng minh rằng 
1
,1 ,
2n
u n Z
+ ∈ ∀ ∈  
c) Chứng minh rằng '( )f x tăng trên
1
,1
2
 
  
.Suy ra tồn tại một số ( )0,1k∈ sao 
cho n nu k uα α− = − với mọi n nguyên dương. 
d) Chứng minh rằng lim n
n
u α
→∞
= 
Bài 2: Với hai số x,y thuộc R ta ñặt ( , )
1
x y
d x y
x y
−
=
+ −
,chứng minh rằng với ba số x,y,z thuộc R ta luôn 
có: ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y≤ + 
Bài 3: Cho hàm số ( )f x có ''( )f x và a < b,chứng minh rằng: 
 MATH.VN 
 11
a) [ ] ( )1 2 1 2 1 2[ x (1 ) ]> f(x ) (1 ) ( ), , , , 0,1f x f x x x a bλ λ λ λ λ+ − + − ∀ ∈ ∀ ∈ 
b) ( ) ( ) ( )
2
b
a
a b
f x dx b a f
+
≤ −∫ 
Bài 4: Cho a < b và hàm số ( )f x có '( )f x liên tục trên R thòa mãn ( ) ( ) 0f a f b= = và 
'( ) .
b
a
f x dx m=∫ Chứng minh rằng: [ ]( ) , ,2
m
f x x a b≤ ∀ ∈ 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2002 
Bài 1:Cho bất phương trình: 2
1
x
mx x
x
≥ +
+
a) Gải bất phương trình khi m = 2. 
b) Tìm m R∈ lớn nhất sao cho bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi .x R∈ 
Bài 2: cho dãy số{ }nx xác ñịnh như sau:
1
2
1
1
3
1, 1
2
n
n
x
x
x n+
 = −

 = − ≥

,chứng minh rằng dãy{ }nx có giới hạn 
khin →∞ và tìm giới hạn ñó. 
Bài 3: Cho các số thực , 0, 2002ia i = thỏa mãn:
0
20021
0
0
...
2 2003
a
aa
a
=


+ + +
Chứng minh rằng phương trình: 20020 1 2002... 0a a x a x+ + + = có nghiệm trên[ ]0,1 
Bài 4:cho hàm số ( )y f x= có ñạo hàm cấp hai ''( ) 0f x ≥ trên toàn bộ R và a R∈ cố ñịnh.Tìm giá trị 
lớn nhất của hàm số ( ) ( ) ( ) '( )g x f x a x f x= + − trên R. 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2003 
Bài 1:Tìm ña thức ( )P x có bậc bé nhất,ñạt cực ñại tại x = 1 với (1) 6P = và ñạt cực tiểu tại x = 3 và 
P(3) = 2. 
Bài 2: Có tồn tại hay không một ña thức P(x) thỏa mãn hai ñiều kiện:
( ) ''( ), ( )
, .
'( ) ''( ).( )
P x P x i
x R
P x P x ii
≥
∀ ∈
≥
Bài 3: a) Cho hàm số f(x) xác ñịnh và f’(x) > 0 với .x R∀ ∈ Biết rằng tồn tại 0x R∈ sao 
cho 0 0( ( ( ( ))))f f f f x x= .Chứng minh rằng 0 0( )f x x= . 
c) Giải hệ phương trình:
3
3
3
3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y y
y z z
z t t
t x x
 = + −

= + −

= + −
 = + −
Bài 4:Cho dãy số{ }nx thỏa mãn:
1
2
1 2
2
... n n
x
x x x n x
=

+ + + =
,tính 2lim( )n
n
n x
→∞
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2004 
Bài 1:Tìm các số a,b,c sao cho:
3 2 3 2 3 2
4 4 4 2
(2 ) ( 5 1) (3 )
lim 1
(5 ) (4 1) 2 5x
a x x b x x c x x
a x x bx c x x x±∞
− + + − − +
=
− − + + + +
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi tham số m,phương trình: 3 29 ( 1)x x m x− − − luôn có 3 nghiệm. 
 MATH.VN 
 12
Bài 3: f(x) là một hàm số xác ñịnh trên [0,1],lấy giá trị trên [0,1] thỏa mãn ñiều 
kiện: [ ]1 2 1 2 1 2( ) ( ) , , 0,1f x f x x x x x− ≤ − ∀ ∈ .Chứng minh rằng tồn tại duy nhất [ ]0 0,1x ∈ sao 
cho 0 0( )f x x= 
Bài 4: a) Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì: ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx≤∫ ∫ 
b) Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a,b] và thỏa mãn ñiều kiện f(a) = 
f(b) = 0 thì:
2( )
( )
4
b
a
M b a
f x dx
−
≤∫ ,trong ñó a x bax '( )M m f x≤ ≤= .Dấu ñẳng thức xảy ra khi nào? 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2005 
Bài 1: Cho dãy số{ }nu xác ñịnh như sau:
0
1
1
1
1
, 1n n
n
u
u u n
u
−
−
=

 = + ≥

a) Chứng minh rằng dãy số ấy không dẫn tới giới hạn hữu hạn khin →∞ 
b) Chứng minh rằng: lim n
n
u
→∞
= +∞ 
Bài 2:Cho hàm sô f(x) liên tục,ñơn ñiệu trên ñoạn [0,b] và [ ]0,a b∈ ,chứng minh rằng: 
0 0
( ) ( )
a b
b f x dx a f x dx≥∫ ∫ 
Bài 3: f(x) là một hàm số liên tục trên ñoạn 0,
2
π 
  
 thỏa mãn:
0
( ) 0
2 ( ) 1
f x
f x dx
π
>


<

∫
,chứng tỏ rằng phương 
trình ( ) s inxf x = có một nghiệm trong khoảng 0,
2
π 
 
 
Bài 4:Cho hàm số
1
sin( ),
( )
0, 0
x x
f x x
x
α ≠=
= 
 =
,α là hằng số dương.Với giá trị nào củaα ,hàm số f(x) có 
ñạo hàm tại mọi x. 
Bài 5:Tìm tất cả các hàm số f(x) có ñạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn hệ 
thức ( ) ( ) ( ) 2 , , .f x y f x f y xy x y R+ = + + ∀ ∈ 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2006 
Bài 1:Phương trình: 3 2ax 4 0x − + = ,(a là tham số) có bao nhiêu nghiệm? 
Bài 2:Cho dãy số{ }nu xác ñịnh như sau:
0
1
1
0
, .
n n n
u R
u u t u dt n N+
∈


= + − ∀ ∈

∫
a) Chứng minh rằng: ðó là một dãy số tăng và nếu 0 1u ≥ thì: 1
1
2
2n n
u u+ = − ,từ ñó chứng minh 
rằng lim n
n
u
→∞
= +∞ 
b) Chứng minh rằng nếu 00 1u≤ < hay nếu 0 0u < thì lim n
n
u
→∞
= +∞ 
Bài 3: Với mọi n nguyên dương,ñặt
1
2
0
ln(1 )nnI x x dx= +∫ 
 MATH.VN 
 13
a) Tính lim n
n
I
→∞
b) Gỉa sử ( )0,1c∈ ,ñặt
1
2 2
0
ln(1 ) , ln(1 )
c
n n
n n
c
A x x dx B x x dx= + = +∫ ∫ ,chứng minh: lim 0nn
n
A
B→∞
= 
Bài 4: a) Tìm những hàm số f(x) xác ñịnh trên R liên tục tại x = 0 sao cho f(2x)= f(x) , .x R∀ ∈ 
c) Tìm nhứng hàm số g(x) xác ñịnh trên R,có ñạo hàm tại x = 0 sao cho g(2x) = 2g(x) , .x R∀ ∈ 
Bài 5:Cho x và y là hai ñường thẳng chéo nhau.A và B là hai ñiểm cố ñịnh trên x.CD là ñoạn thẳng có 
chiều dài l cho trước trượt trên y.Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần của tứ diên ABCD là 
nhỏ nhất. 
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
ðỀ THI TUYỂN CHỌN HỆ KỸ SƯ TÀI NĂNG VÀ CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2007 
Bài 1:Cho phương trình: 3( 1 ) (1 )x x x x m− + − − = (1) (m là tham số) 
a) Gỉai phương trình (1) khi m = 1. 
b) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 2:Với n là số nguyên dương ñặt:
4 4
2 1 2n 2 1 2n
0 0
(s inx) , ( osx)n nn nU x dx V x c dx
π π
− −= =∫ ∫ 
Chứng minh rằng: 
a) lim lim 0n n
n n
U V
→+∞ →+∞
= = 
b) 
2
2 , 1.
32n n
U V n
π
+ ≤ ∀ ≥ 
Bài 3: Giả sử :f R R+ +→ là một hàm số liên tục thỏa mãn 55( ( )) ( 1) 1f f x x= + + .Chứng minh rằng: 
a) Nếu 1 2( ) ( )f x f x= thì 1 2x x= 
b) Hàm số f(x) ñơn ñiệu tăng và
( 1)
lim 1
( )x
f x
f x→+∞
+
= 
Bài 4: Cho mặt phẳng (P) và hai ñiểm C,D ở về hai phía ñối với (P) sao cho CD không vuông góc với 
(P).Hãy xác ñịnh vị trí hai ñiểm A,B thuộc (P) sao cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng ñộ dài 
CA AB BD+ + ñạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 5: Cho , 1,ik i n= là các số thực dương khác nhau từng ñôi một.Chứng minh 
rằng: i
1
os(k ) 0, 0
n
i i
i
c x x Rλ λ
=
= ∀ ∈ ⇔ =∑