Dùng phương pháp toạ độ giải một số bài toán Hình học không gian

Nội dung lý thuyết:
A. Cơ sở lý thuyết:
1.Hệ tọa độ vuông góc trong không gian
Là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc chung O. là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz.
 và .
2. Tọa độ của vectơ và của điểm
+ Trong hệ tọa độ Oxyz mỗi vectơ được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng , bộ ba số thực (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ . Kí hiệu hoặc . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ, số z gọi là cao độ của .
+ Mỗi điểm M trong hệ tọa độ Oxyz ta xác định vectơ . Tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M. Nếu thì kí hiệu hoặc .
+Trong hệ tọa độ Oxyz, cho
 Khi đó 
3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 
Cho hai vectơ , .
+ ; 
+ ;
+ .
4. Điều kiện cùng phương của hai vectơ 
Cho hai vectơ , khác .
 và cùng phương sao cho 
hay hoặc .
5. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k1), tức 
.
Đặc biệt I là trung điểm đoạn AB thì .
6. Tích vô hướng của hai vectơ 
Cho hai vectơ , .
+ 
+ 
+ 
+ 
7. Tích có hướng của hai vectơ 
+ Cho hai vectơ , .
+ 
+ và cùng phương 
+ 
+ 
* Ứng dụng của tích có hướng:
+ Diện tích tam giác ABC là: 
+ Diện tích hình bình hành ABCD là : 
+ Thể tích của hình hộp là: 
+ Thể tích của tứ diện ABCD là : 
+ Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AB và CD là : 
+ Cho và không cùng phương, ba vectơ không đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số k và l sao cho .
8. Mặt phẳng trong không gian
 + Nếu mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là (không cùng phương) thì là vectơ pháp tuyến của .
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 
(), là vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 
c) Phương trình theo đoạn chắn (mặt phẳng đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)):
d) Vị trí của hai mặt phẳng: 
Cho hai mặt phẳng và 
 + 
 + 
 + 
e) Chùm mặt phẳng : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến (nếu có) của và khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng 
9.Đường thẳng trong không gian
 a) Phương trình tổng quát của đường thẳng 
(với và ).
 b) Phương trình tham số của đường thẳng d: 
(với và là vectơ chỉ phương của d).
 c) Phương trình chính tắc của đường thẳng: () 
 d)Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương và
đường thẳng đi qua điểm ,có vectơ chỉ phương 
+ và cùng nằm trong một mặt phẳng .
+ và cắt nhau .
+ .
+ .
+ và chéo nhau 
 e) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho mp :; và đường thẳng : 
+ cắt .
+ ; 
+ 
10. Góc và khoảng cách:
+Cho hai đường thẳng và .
Cho hai mặt phẳng và .
Gọi các điểm , và .
Gọi các vectơ và .
a) Khoảng cách từ đến mp: .
b) Khoảng cách từ đến đường thẳng d : .
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’: .
d) Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ cho bởi công thức:
 .
e) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng cho bởi công thức:
 ().
f) ) Góc giữa hai mặt phẳng và cho bởi công thức:
 .
11. Phương trình Mặt cầu:
 a) Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là:
 ( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
 b) Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0 
 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = 
 c) Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng :
 Cho mp(a) :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình:
 (x – a)2+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2 
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên (a) 
 Vậy 
 + Nếu IH < R thì (a) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( C)có tâm H ,có bán r = 
Phương trình của đường tròn (C) :
 + Nếu IH = R thì (a) tiếp xúc với (S) tại H .(a) gọi là mặt tiếp diện của mc(S)
 + Nếu IH > R thì (a) và (S) không có điểm chung
Bài tập
 1. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ:
 Các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ thường là các bài toán có chứa tam diện vuông hoặc các bài toán dạng chóp đều , chẳng hạn : Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, tứ diện vuông, hình chóp đều, và một số bài toán khác mà việc chọn hệ trục toạ độ có nhiều thuận lợi.
Quy trình giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ:
- Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý vị trí của gốc toạ độ, và các trục toạ độ)
 - Bước 2: Tìm cách biểu diễn các đối tượng hình học mà đề cho bằng toạ độ và các biểu thức toạ độ: Toạ độ điểm, toạ độ vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, toạ độ trung điểm,...
 - Bước 3: Chuyển yêu cầu bài toán qua ngôn ngữ toạ độ và sử dụng các kiến thức toạ độ nêu ở trên để tính toán, chứng minh điều đó.
 - Bước 4: Kết luận bài toán
 3. Một số bài tập minh hoạ cụ thể cho phương pháp:
 a) Dạng Hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng :
 - Với hình hộp chữ nhật , hình lập phương, hình lăng trụ đứng thì việc thiết lập hệ trục toạ độ khá đơn giản và thuận lợi: thường thì ta chọn Đỉnh của hình hộp chữ nhật , hình lập phương, hình lăng trụ đứng làm gốc toạ độ , một trong các trục toạ độ trùng với cạnh, hoặc chọn tâm của đáy làm gốc,các trục toạ độ song song với các cạnh
 Ví dụ 1: ( Bài Tập 49 sách bài tập hình học 12 Nâng cao)
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giửa CK và A’D.
 Giải
Khi đó:
 A( 0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A’(0;0;a), B’(a;0;a), C’(a; a; a), D’(0;a;a) Và K( 0;a;)
= (-a;0;), = (0;a;-a)
[,] = ( -;-a2; -a2)
 = (-a;0;0) [,]. = 
d( CK,A’D) = = 
 Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ	
 Nhận xét :
 	Đối với bài tập này nếu giải bằng phương pháp bình thường thì học sinh phải làm rất phức tạp như: phải xác định đoạn vuông góc chung của CK và A’D, rồi tính độ dài đoạn đó rất khó đối với học sinh, nhưng khi giải như trên thì dễ dàng cho học sinh vì chỉ vận dụng công thức và tính toán. 
 Ví dụ 2: ( Trích Đề thi đại học Khối B năm 2002)
 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 
 a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D
 b) Gọi M,N,P lần lược là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Giải
a) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D
Từ cách chọn hệ toạ độ ta có:
 A( 0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A’(0;0;a), B’(a;0;a), C’(a; a; a), D’(0;a;a) 
= (a;0;-a), = (-a;a;-a), =(a;0;0)
[,] = ( a2;2a2; a2)
 = (-a;0;0), [,]. = 
d( A’B,B’D) = = 
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ	
b) Ta có : M(a; 0; ), N(; a;0), P(0;;a)
 Do đó : , và 
Vậy MP C’N
Ví dụ 3: ( Bài tập 23 trang 111 sgk 11 nâng cao) 
Cho hình lập phương ABCD .A'B'C'D'. Chứng minh rằng: AC' vu«ng gãc mp(A'BD)
Gi¶i:
Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho O º A; B Î Ox; D Î Oy vµ A' Î Oz 
Gi¶ sö h×nh lËp phö¬ng
 ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ 
 Þ A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), 
 A' (0;0;a), C'(a;a;a)
Þ Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña mÆt ph¼ng (A'BD):
x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
 Þ Ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (A'BC): = (1;1;1) mµ = (a;a;a)
VËy AC' vu«ng gãc (A'BC)
b) Dạng tam diện vuông:
 - Việc toạ độ hoá tam diện vuông được thực hiện dễ dàng, hệ trục toạ độ được chọn ngay trên đó: gốc toạ độ là đỉnh tam diện, các trục trùng với các cạnh tam diện
- Chú ý: Với tam diện có một góc phẳng vuông, khi đó ta thiết lập hệ toạ độ sao cho một mặt của hệ toạ độ chứa góc phẳng đó
Ví dụ 4. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
Phương trình mp(OAB) : z = 0
d[M, (OAB)] = 3 zM = 3.
Tương tự ta có : yM=2, xM=1
 M(1; 2; 3).
Phương trình (ABC): 
 (1).
 (2).
 .
(2).
a=3, b= 6, c=1
Ví dụ 5: (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). 
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Giải:
Từ giả thuyết AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm suy ra tam giác ABC vuông tại A. Mặt khác AD vuông góc (ABC) . Do đó AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau, hay ABCD là tứ diện vuông tại A
Khi đó : A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0), D(0;0;4)
Do đó : mp(BCD) có phương trình:
d(A,(BCD))= 
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ: 
c)Dạng Hình chóp đều, hình chóp khác có tính chất vuông :
- Với hình chóp việc toạ độ hoá thường được thực hiện dựa trên đặc tính hình học của chúng, tacó các trường hợp thường gặp sau:
 + Hình chóp đều thì hệ toạ độ được thiết lập dựa trên gốc O trùng với tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp
 + Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.
 + Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), 
D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
 + Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:
H(0; 0; 0), 
 + Với các dạng khác thì ta cần linh hoạt dựa vào các tính chất vuông góc , song song và yêu cầu bài toán có thể thiết lập hệ toạ độ cho thích hợp 
Ví dụ 6: ( Bài tập 14 chương III– sgk hình học 12 nâng cao)
 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, Đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC=b, BC=a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điiểm sao cho 
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Tìm sự liên hệ giữa a,b,h để MN vuông góc với SB.
Giải
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A trùng O, tia Ox trùng tia AC,tia Oz trùng với tia AS, sao cho điểm B nằm trong góc xOy( hình vẽ) . Khi đó:
A( 0;0;0), C(b;0;0), B(b;a;0), S(0;0;h), M(;0;0), 
Đặt N(x,y,z) thì , 
Từ điều kiện , ta suy ra x= . Vậy .
a) 
b) MN vuông góc với SB 
Ví dụ 7. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
 A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy 
[H, SB, C] = (1).
, suy ra:
ptts SB: , SC: 
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
 = 
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.
Ví dụ 8: (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm . Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 
, ,
, 
.
và 
, 
.
d) Dạng toán khác:
 Ta đã biết hình học không gian thì các dạng toán rất phong phú, do đó không chỉ có những bài tập với các hình có các tính chất như nêu ở trên mà còn nhiều bài toán với các hình rất phong phú, đối với dạng này nếu muốn toạ độ hoá thì ta phải thông qua việc nhận xét tính chất song song và vuông góc của các đối tượng tham gia trong hình để thiết lập một hệ toạ độ vuông góc thích hợp để giải chúng.
Ví dụ 9: ( Đề thi đại học khối A -2008)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.
Giải
y
x
z
AS
BS
CS
A’S
B’S
C’S
MS
 Gọi M là trung điểm BC
 Dvuông AMA’: 
 Þ A’M 
. . . 
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ
A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(0;;0)
, 
Đường thẳng AA’ có vtcp là 
Đường thẳng B’C ‘có vtcp là (do B’C’//BC)
Gọi là góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’ có 
Một số bài tập có thể sử dụng phương pháp toạ độ để giải:
- Bài tập 4,5,6 trang 31, bt 9 trang 46, bt 12 trang 82, bt 22 trang 90, bt 10 trang 111, bt 12 trang 124 sách giáo khoa hình học 12 nâng cao và một số bài tập khác ở sách giáo khoa hình học 11, 12 Ban cơ bản.
-Một số bài tập khác được trích từ các đề thi TN, Đại học cao đẳng các năm gần đây.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 2. (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D].
Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).
2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k 
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 5. (Trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông.
Bài 6. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và .
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại .
1. Chứng minh đều.
 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABC