Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

 Khảo sát hàm số 
1 
Đồ thị hàm số và 
các bài toán liên quan 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Tính đơn điệu của hàm số 
1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi 
đó 
 f đồng biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < . 
 f nghịch biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ . 
1.2. Điều kiện cần và đủ 
 Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó 
 f đồng biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . 
 f nghịch biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . 
 f là hàm hằng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ . 
2. Cực trị của hàm số 
2.1. Điều kiện cần để có cực trị 
Cho hàm số f có đạo hàm tại 0x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0x thì 0 0( )f x′ = . 
2.2. Điều kiện đủ để có cực trị 
2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b , 0 ( ; )x a b∈ . Khi đó 
nếu ( )f x′ đổi dấu khi x qua 0x thì f đạt cực trị tại 0x . 
 x 0x x 0x 
( )f x′
 0 ( )f x′ 0 
( )f x
CĐ ( )f x 
CĐ 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
2 
2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; )a b chứa 0x , 0 0( )f x′ = 
và 0 0( )f x′′ ≠ . Khi đó 

 0 0( )f x′′ ⇒ f đạt cực tiểu tại 0x . 
Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực 
trị tại những điểm cụ thể cho trước. 
2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị 
2.3.1. Hàm số 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C 
Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho 
( )f x′ , ta được ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi đó ta có 
0
( ) ( ). ( )
A A A A A A
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = +


; 
0
( ) ( ). ( )
B B B B B B
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = +


. 
Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . 
2.3.2. Hàm số 
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+
 0( )a ≠ , ( )C 
Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Đặt 
2( )u x ax bx c= + + , 
( )v x dx e= + . Khi đó 
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′−
′ =
 
  
. Nếu f đạt cực trị tại 0x thì 
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− =
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
 hay 00
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
. 
Do đó ta có 
2
( ) A
A A
ax b
y f x
d
+
= = và 
2
( ) B
B B
ax b
y f x
d
+
= = . Suy ra 
2
, :
ax b
A B y
d
+
∈ ∆ = 
nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . 
Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên 
quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
0 0
, ( )
max ( )
, ( )x
x f x M
M f x
x f x M∈
∀ ∈ ≤= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
0 0
, ( )
min ( )
, ( )x
x f x m
m f x
x f x m∈
∀ ∈ ≥= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
. 
 Nếu ( )y f x= đồng biến trên [ ; ]a b thì 
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= và 
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= . 
 Nếu ( )y f x= nghịch biến trên [ ; ]a b thì 
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= và 
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= . 
4. Tiệm cận 
 Đường thẳng 0x x= được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một 
trong các điều kiện sau được thỏa mãn 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= +∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= +∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= −∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= −∞ . 
 Đường thẳng 0y y= được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
3 
0lim ( )x
f x y
→+∞
= hoặc 0lim ( )x
f x y
→+∞
= . 
 Đường thẳng y ax b= + 0( )a ≠ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + = hoặc 0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + = . 
5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 
5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số ( , )y f x m= , ( )
m
C . Khi đó họ ( )
m
C 
qua điểm cố định ( )0 0;M x y ⇔ 0 0( , ),y f x m m= ∀ 
 10 0 1 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,
k k
k k
g x y m g x y m g x y m−
−
⇔ + + + = ∀ 
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )
......................
( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−
 = =⇔ 
 =
. 
5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số ( )y f x= , ( )C và hàm số ( )y g x= , ( )C ′ . 
 Giao điểm của hai đồ thị 
 Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau 
( )C và ( )C ′ tiếp xúc nhau 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =⇔ 
′ ′ =
 có nghiệm. 
5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
Bài toán Cách giải 
 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị 
Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0; ( )M x y C∈ . Viết 
phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M . 
Áp dụng công thức 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . 
 Tiếp tuyến qua điểm cho trước 
Cho ( )C : ( )y f x= và điểm ( );A AA x y . Viết 
phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A . 
Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua ( );A AA x y và 
có hệ số góc k : ( )
A A
y k x x y= − + . Dùng điều 
kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k . 
Cách 2. Pttt d tại điểm ( )0 0;M x y bất kỳ: 
0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên 
0 0 0( )( )A Ay y f x x x′− = − . Từ đây suy ra 0x . 
 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 
Cho hàm số ( )y f x= , ( )C . Viết phương 
trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ 
số góc k . 
Pttt d của ( )C tại ( )0 0;M x y bất kỳ: 
0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có hệ số góc k nên 
suy ra 0( )f x k′ = . Từ đây suy ra 0x . 
5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối 
Số giao điểm của ( )C và ( )C ′ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x= . 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
4 
Hàm số Đồ thị 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )1C : ( )y f x= . 
Do 
0
0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x
 ≥= 
− <
 nên ta vẽ đồ thị ( )1C như sau 

 Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm phía dưới trục 
Ox . 

 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Ox , ta 
được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )1 a bC C C= ∪ . 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )2C : ( )y f x= . 
Ta có ( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x
 ≥
= 
 − <
 và ( )f x là hàm chẵn nên đồ thị 
đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( )1C như sau 

 Giữ phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm bên trái trục Oy. 

 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Oy, ta 
được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )2 a bC C C= ∪ . 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )3C : 
( )y f x= . 
Ta thực hiện như sau 

 Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= . 

 Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= . 
 Từ đồ thị 
( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy vẽ đồ 
thị ( )4C : ( ). ( )y u x v x= . 
Vì ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x
 ≥
= 
− <
, nên ta vẽ ( )4C như sau 

 Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C ứng với ( ) 0u x ≥ . 

 Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục 
hoành, ta được ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )4 a bC C C= ∪ . 
6. Một số kiến thức khác liên quan 
6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai 
6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai 
Cho tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 3 trường hợp 
 
 0∆ < 
x −∞ +∞ 
f(x) cùng dấu với a 
 
 0∆ = 
x −∞ 0 2
b
x
a
= − +∞ 
f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a 
 
 0∆ > 
x −∞ 1x 2x +∞ 
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
5 
6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên  
Cho tam thức 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 

 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ∀ ∈ ⇔ 
 >
 
 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ << ∀ ∈ ⇔ 
 <
 . 

 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ 
 >
 
 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ 
 <
 . 
6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước 
Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0f x ax bx c= + + = (1) và một số thực α cho trước. Khi đó 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20x x< < 0P⇔ < . 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20 x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 0x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 <
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x x α< < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 <
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα < < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 >
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα< < . Đặt t x α= − , phương trình (1) trở 
thành ( ) 0g t = (2), ta cần phải có 
(2) có hai nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 20t t< < 0P⇔ < . 
6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai 
tương ứng 
Cho phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = (1). Đặt 2t x= , phương trình (1) trở thành 
2 0at bt c+ + = (2). Khi đó 
 
 (1) vô nghiệm 

⇔ 

0
0 0 0, ,P S
∆ <
. 
 
 (1) có một nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0t t≤ =
0
0
P
S
 =⇔ 
 ≤
. 
 
 (1) có hai nghiệm

⇔ 

0 0
0
,S
P
∆ = >⇔  <
. 
(2) vô nghiệm 
(2) có nghiệm 1 2 0t t≤ < 
(2) có nghiệm 1 2 0t t= > 
(2) có nghiệm 1 20t t< < 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
6 
 
 (1) có ba nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20t t= <
0
0
P
S
 =⇔ 
 >
. 
 
 (1) có bốn nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20 t t< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
. 
6.2. Góc giữa hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 0: a x b y c∆ + + = . Khi đó 1∆ và 2∆ tạo với 
nhau một góc α thì 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b
α
+
=
+ +
. 
Đặc biệt 
 
 1∆ song song 2∆ 
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 
 1∆ vuông góc 2∆ 

1 2
1 2
1 2
1.
k k
a a
b b
  ⇔ − − = −  


. 
6.3. Khoảng cách 
6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm 
Khoảng cách giữa hai điểm ( ; )
A A
A x y và ( ; )
B B
B x y là 2 2( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + − . 
6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 
Khoảng cách từ điểm ( ; )
M M
M x y tới 0: ax by c∆ + + = là 
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
. 
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI 
1. Tính đơn điệu của hàm số 
Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước 
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 2
1 3 2 1
3
y x mx m x= + + − + đồng biến trên khoảng 
( )1 2; . 
Giải 
Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số 
Yêu cầu bài toán ⇔ ( )2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ 
 ⇔ 2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x  ′ = + + − ≥ ∀ ∈    (vì y ′ liên tục tại 1x = và 2x = ) 
 ( )
2 2 1 2
2 3
, ;
x
g x m
x
−  ⇔ = ≥ − ∀ ∈   +
 hay ( )
1 2;
min
x
g x m
 ... ( )
m
C cắt trục hoành tại 1 
điểm, 2 điểm, 3 điểm phân biệt. 
 Điểm cố định của đường cong 
118. Cho hàm số 
1mx
y
x m
−
=
−
, 1m ≠ ± ( )
m
C . 
a. Chứng minh rằng với mọi 1m ≠ ± , đường cong ( )
m
C luôn đi qua hai điểm cố định ,A B . 
b. Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )
m
C . Tìm tập hợp các điểm M khi m thay 
đổi. 
119. Cho hàm số 3 23 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( )
m
C . 
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( )
m
C và đường thẳng 
m
d : 2 4 3y mx m= − + luôn có 
một điểm chung cố định. 
b. Tìm các giá trị của m sao cho 
m
d cắt ( )
m
C tại ba điểm phân biệt. 
c. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với 1m = . 
120. Cho hàm số 3 21 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( )
m
C . 
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( )
m
C luôn đi qua một điểm cố định. 
b. Chứng minh rằng mọi đường cong ( )
m
C tiếp xúc với nhau tại một điểm. Viết phương trình 
tiếp tuyến chung của các đường cong ( )
m
C tại điểm đó. 
121. Cho hàm số 3 2 9 9y x mx x m= + − − . 
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 3m = . 
 b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định. Với 
giá trị nào của m , trục hoành là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho ? ( )3m = ± 
122. Cho hàm số 31 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + . 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . 
` b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng. 
 Xác định điểm trên đường cong 
123. Cho hàm số 
2
3
x
y
x
+
=
−
. 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. 
b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho cách đều hai đường tiệm cận của ( )C . ( )3 5 1 5;M ± ± 
124. Cho hàm số 
2
2
x
y
x
−
=
+
. 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
36 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. 
b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho tổng khoảng cách từ M tới Ox và Oy là nhỏ nhất. ( )0 1( ; )M − 
125. Cho hàm số 
2
1
x
y
x
−
=
−
. 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. 
b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho M cách đều hai điểm 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 20 2 2 0( ; ), ( ; )M M 
126. Cho hàm số 3 2
1 113
3 3
y x x x= − + + − , (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm trên ( )C hai điểm phân biệt ,M N đối xứng nhau qua trục tung. 1 2
16 163 3
3 3
; , ;M M
          −             
127. Cho hàm số 
2 2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
, (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm trên ( )C hai điểm ,A B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng 4 0x y− + = . 
7 23 15 23 7 23 15 23
2 2 2 2
; , ;A B
     − +  + −                       
128. Tìm 
2
1
, ( ) :
x
A B C y
x
∈ =
−
 đối xứng nhau qua 1:d y x= − . 
1 1 1 11 1
2 2 2 2
; , ;A B
          − − − −              
129. Cho đồ thị 
2 2
2
( ) :
x x
C y
x
+ −
=
−
. Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C qua đường 
thẳng 2y = . 
2 3 6
2
x x
y
x
 − + −  =   − 
130. Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C : 
22 3 7
1
x x
y
x
− +
=
−
 qua đường thẳng 2x = . 
22 13 17
3
x x
y
x
 − +  =   − 
131. Cho hàm số 
2 5 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm trên ( )C các điểm có tọa độ nguyên. 
132. Cho hàm số 
1
x
y
x
=
+
, (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số (1). 
b. Tìm trên ( )C các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 4 0x y+ = bằng 1. 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
37 
1 2 3 4
1 61 9 61 9 21 1 21
6 2 6 2, ,
; , ;M M
     ±  ± −                       
∓ ∓
133. Cho hàm số 
2 1
1
x x
y
x
+ −
=
−
, (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm các điểm trên ( )C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị ( )C vuông góc với đường 
thẳng qua hai điểm cực trị. 1 2
2 5 2 51 3 1 3
3 36 6
; , ;M M
           − − + +                 
134. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Tìm trên ( )C điểm M sao cho tiếp tuyến 
của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM . ( )1 20 1 2 3( ; ), ( ; )M M 
135. Tìm trên 
3 4
2 1
( ) :
x
C y
x
+
=
−
 các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm ( )1 1;I . 
 ( ) ( )( )1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + + 
 Hàm số chứa dấu GTTĐ 
136. Cho hàm số 3 3 1( )y f x x x= = − − , (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số 
3 3 1y x x= − − . 
c. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 2( )C của hàm số 
3
3 1y x x= − − . 
d. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 3( )C của hàm số 
3
3 1y x x= − − . 
137. Cho hàm số 
2 3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số 
2 3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
. 
138. Cho hàm số 
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Với các giá trị nào của m , thì phương trình 
2 1
1
x x
m
x
+ +
=
+
 có 4 nghiệm phân biệt? 3( )m > 
139. Cho hàm số 4 24 3y x x= − + , (1). 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm m để phương trình 4 24 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghiệm phân biệt. 10
2
m
  < <   
140. Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= − + − , (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
38 
b. Tìm m để phương trình sau 
3 22 9 12x x x m− + = có 6 nghiệm phân biệt. ( )4 5m< < 
141. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
−
. 
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
 b. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghiệm. 
142. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 3 1( )x x m+ = + . 
143. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
−
. 
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 1 0x m x− − + = . 
144. Cho hàm số 3 23 6y x x= − − . 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2
1 12 0
3 3
m
x x
+
− − − = . 
145. Cho hàm số 
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
. 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 1 0( )x m x m+ − + − = . 
 Đề thi các năm gần đây 
1. Cho hàm số 
2 22 1 4
2
( )x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham số). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = − . 
b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa 
độ O tạo thành một tam giác vuông cân tại O . ( )4 2 6m = − ± (ĐH A_2007) 
2. Cho hàm số 
2 23 2 2
3
( )mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, (1) (m là tham số). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
b. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của hàm số (1) bằng 045 . 1( )m = ± (ĐH A_2008) 
3. Cho hàm số 
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, ( )C (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại 
hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O . ( 2y x= − − )(ĐH A_2009) 
4. Cho hàm số 3 22 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham số). 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m = . 
 b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3, ,x x x 
thỏa điều kiện 2 2 21 2 3 4x x x+ + < . 
1 1 0
4
m m
  − < < ∧ ≠   
(ĐH A_2010) 
5. Cho hàm số 
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
. 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
39 
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m= + luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A 
và B . Gọi 1k và 2k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B . Tìm m để tổng 1 2k k+ đạt 
giá trị lớn nhất. ( )1m = − (ĐH A_2011) 
6. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham số). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (1) cách đều gốc tọa 
độ O . 
1
2
m
  = ±   
(ĐH B_2007) 
7. Cho hàm số 3 24 6 1y x x= − + , (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm 
1 9( ; )M − − . (ĐH B_2008) 
8. Cho hàm số 4 22 4y x x= − , (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
b. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 2 2x x m− = có 6 nghiệm thực phân biệt? 
 0 1( )m< < (ĐH B_2009) 
9. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, ( )C . 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 
 b. Tìm m để đường thẳng 2y x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác 
OAB có diện tích bằng 3 . 2( )m = ± (ĐH B_2010) 
10. Cho hàm số ( )4 22 1y x m x m= − + + (1) 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
 b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị , ,A B C sao cho OA BC= , trong đó O là gốc tọa 
độ, A là cực trị thuộc trục tung và ,B C là hai cực trị còn lại. ( )2 2 2m = ± (ĐH B_2011) 
11. Cho hàm số 
2
1
x
y
x
=
+
, (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Tìm ( )M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm ,A B 
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
1
4
. ( )1 2
1 2 1 1
2
; , ;M M
      − −      
(ĐH D_2007) 
12. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + , (1). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm 1 2( ; )I với hệ số góc k ( 3k > − ) đều cắt ( )C tại 
3 điểm phân biệt , ,A I B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB . (ĐH D_2008) 
13. Cho hàm số 4 23 2 3( )y x m x m= − + + có đồ thị ( )
m
C (m là tham số). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0m = . 
b. Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thị ( )
m
C tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 
1 1 0
3
( , )m m− < < ≠ (ĐH D_2009) 
14. Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + , ( )C . 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
40 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 
 b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1 1
6
y x= − . 6 10( )y x= − + (ĐH D_2010) 
15. Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 
b. Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho 
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( )3k = − (ĐH D_2011) 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com