Điểm trên đồ thị (C): y = f (x) có tọa độ nguyên

Trần Chí Thanh lvl – Vĩnh Long 2009 Page 1 
Điểm trên đồ thị    :C y f x có tọa độ nguyên 
1. Khái niệm: Điểm  ;M x y thuộc đồ thị    :C y f x có tọa độ nguyên nếu 
 tọa độ của  ;M x y thỏa mãn điều kiện: 
 y f x
x
y
   


2. Một số ví dụ: 
 Ví dụ 1. 
 Tìm các điểm thuộc đồ thị  
2 5 15
:
3
x x
C y
x
 


 sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. 
 Hướng dẫn 
 + TXĐ: D =  \ 3 và 92
3
y x
x
  

 + Ta có:     9; 2
3
M x y C y x
x
    

 + Giả sử x là số nguyên  x thì 
 y là số nguyên  x + 3 là ước số của 9  x + 3  1, 3, 9    
 + Từ đó tìm được các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị 
 + Vậy: có 6 điểm mà tọa độ là các số ngyên là 
               ; 4; 11 , 2;9 , 6; 7 , 0;5 , 12; 11 , 6;9x y         
 Ví dụ 2. 
 Tìm trên đồ thị  
2
4 3
:
1
x
C y
x



 những điểm sao cho tọa độ của chúng là các số nguyên. 
 Hướng dẫn 
 + TXĐ: D =  
 + Ta có:    
2
4 3
;
1
x
M x y C y
x

  

 (1) 
 + Từ (1) suy ra phương trình 2 4 3 0yx x y    (2) có nghiệm nguyên. 
 ● Nếu y = 0 thì (2) trở thành: 4 3 0x   
3
4
x  (   ) 
 ● Nếu 0y thì (2) là phương trình bậc hai. 
 (2) có nghiệm   / 4 3 0y y     2 3 4 0y y     4 1y   
 Khi đó: 
 
 
0
4, 3, 2, 1,1
4;1
y
y y
y
          
  0,2x  là số nguyên 
 +Vậy có hai điểm cần tìm là       ; 0; 3 , 2;1x y   
Trần Chí Thanh lvl – Vĩnh Long 2009 Page 2 
 Ví dụ 3. 
 Tìm trên đồ thị    21: 5
6
C y x x  những điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên. 
 Hướng dẫn 
 + TXĐ: R 
 + Ta có:      21; 5
6
M x y C y x x    
 + Giả sử x là số nguyên  x và thử một số giá trị của x, ta có: 
 0 0x y   ; 1 1x y   ; 
14
2
3
x y    ; 3 12x y   ; 4 24x y   
 ; 
125
5
3
x y     ; 6 66x y   ; 7 98x y   ; 
416
8
3
x y    .... 
 + Qua một số kết quả trên ta thấy: 
 i). 0, 3x x  ,... ( có dạng 3 , x k k  ) y  
 ii). 1, 4x x  ,... ( có dạng 3 1 , x k k   ) y  
 iii). 2, 5x x  ,...( có dạng 3 2 , x k k   ) y  
 + Chứng minh 
 i). Nếu 3 , x k k  thì ta có:  23 3 5
2
y k k  
 ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m  ) thì  26 6 5y m m   
 ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m   ) thì    23 2 1 3 4y m m    
 ii). Nếu 3 1 , x k k   thì ta có:    21 3 1 2
2
y k k   
 ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m  ) thì    26 1 1y m m    
 ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m   ) thì    22 3 2 2 3y m m    
 iii). Nếu 3 2 , x k k   thì ta có    21 3 2 3 7
6
y k k   
 ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m  ) thì    22 3 1 6 7
3
y m m   , 
 vì 3 1m và 6 7m không chia hết cho 3 (  3 1m 3 và  6 7m 3 ) 
 nên    22 3 1 6 7
3
y m m    . 
 ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m   ) thì    21 6 5 3 5
3
y m m   
 vì 6 5m và 3 5m không chia hết cho 3 (  6 5m 3 và  3 5m 3 ) 
 nên    21 6 5 3 5
3
y m m    
 + Vậy: Các điểm trên  C có tọa độ nguyên là những điểm có dạng 
 3x k   
23 3 5
2
y k k 
 , k  và 3 1x k      21 3 1 2
2
y k k   , k  
Trần Chí Thanh lvl – Vĩnh Long 2009 Page 3 
 Ví dụ 4. 
 Tìm điểm thuộc    2: 2 1 4C y x y x y x     có tọa độ là các số nguyên. 
 Hướng dẫn 
 + Ta có:      2; 2 1 4M x y C y x y x y x       (1) 
 + Xét phương trình:    2 22 1 4 2 1 4y x y x y x y x y x y x           
   22
0
2 1 4
y x
y x y x y x
       
 2 4
4 2
y x
x x
y
x
    
 
9 9
4 8 8 2 1
y x
x
y
x
     
 9
8 2 9
2 1
y x
y x
x
     
 + Khi đó: x, y là các số nguyên  2x + 1 là ước số của 9  2 1 1, 3, 9x      
 + Từ đó ta có hai cần tìm là       ; 2; 2 , 0;0x y    
BÀI TẬP LÀM THÊM 
B1. Tìm trên đồ thị  C các điểm có tọa độ nguyên. 
1. 
2 1
2
x x
y
x
 


 2. 
4
1
1
y x
x
  

 3. 
2 1
1
x x
y
x
 


 4. 
2 3 6
2
x x
y
x
 


 5. 
2 1
2
x
y
x



B2. Tìm điểm thuộc đồ thị  C có tọa độ là các số nguyên 
a. 
8 3
2 1
x
y
x



 b. 
10 4
3 2
x
y
x



 c. 
2
6 8
1
x
y
x



 d. 
2
12 3
1
x
y
x x


 
B3. Tìm điểm thuộc đồ thị  C có tọa độ là các số nguyên 
a.  22 4 1 6y x y x y x     b.  23 8 2 5y x y x y x     
c.  3 21 2 7 4
6
y x x x    d.  3 21 3 2
12
y x x x  