Đề Toán - Thi thử Đại học - lần 2

ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii 
NĂM häc: 2010-2011 
 Môn thi : TOÁN 
 lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 
 2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E 
 sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
Câu II:(2 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình: 
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
   

   
 2. T×m );0( x tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: cotx – 1 = xx
x
x 2sin
2
1sin
tan1
2cos 2 

. 
Câu III: (2 điểm) 
 1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x  a). 
 Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. 
 a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). 
 b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt 
 2. Tính tích phân: I = 24
0
( sin 2 )cos 2x x xdx

 . 
Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d­¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1. 
Chứng minh rằng : 
2 2 2
2.a b b c c a
b c c a a b
  
  
  
 PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®­îc chän bµi lµm ë mét phÇn) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng 3
2
 vµ 
träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. 
 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) 
 vµ ®­êng th¼ng  : 1 2
1 1 2
x y z 
 

 .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn  sao cho: 2 2 28MA MB  
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
32
4)32()32( 1212
22

  xxxx 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho 
qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. 
 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi 
 d : x 1 y 1 z
2 1 1
 
 

.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, 
 cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d 
 Câu VIb: Giải hệ phương trình 
3 3log log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy xy
x y x x y
  

    
  ....Hết. 
 (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) 
 H­íng dÉn chÊm m«n to¸n 
C©u ý Néi Dung §iÓm 
 I 2 
 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm) 1 
y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) 
1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3) 
+ TXÑ: D = R 
+ Giới hạn: lim , lim
x x
y y
 
    
0,25 
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2  0; x 
  hµm sè ®ång biÕn trªn R 
0,25 
 Baûng bieán thieân: 
0,25 
 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1) 
 y” = 0  x = –1  tâm đối xứng U(-1;0) 
* Ñoà thò (C3): 
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1) 
0,25 
 2 1 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø: 
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1  x(x2 + 3x + m) = 0      2
x 0
x 3x m 0 (2)
0,25 
 * (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät: 
 Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE  0. 

          
2
m 09 4m 0
4m0 3 0 m 0
9
(*) 
0,25 
Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø: 
 kD=y’(xD)=     2D D D3x 6x m (3x 2m); 
0,25 
 kE=y’(xE)=     2E E E3x 6x m (3x 2m). 
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1 
 (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 
 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 
 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét). 
 4m2 – 9m + 1 = 0  
9 65
8
9 65
8
m
m
 


 


 So s¸nhÑk (*): m =  1 9 658 
0,25 
 II 2 
 1 1 
 1. §k:
1
1
2
x
y




(1) 
( ) 0 ( )( 2 ) 0
2 0
2
0( )
x y y xy x y x y
x y
x y
x y voly
        
  
  
  
0,5 
  x = 4y Thay vµo (2) cã 
4 1 2 1 1 4 1 2 1 1
4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
1 ( )2 1 0 22
5 102 1 2 ( )
2
y y y y
y y y y y
y tmy x
xy y tm
        
          
    
         

0,25 
 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25 
 2 1 
 ®K: 











1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
 PT xxx
xx
xx
x
xx cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos 2 



 
 xxxxxx
x
xx cossinsincossincos
sin
sincos 22  
0,25 
  )2sin1(sinsincos xxxx  
  0)1sincos)(sinsin(cos 2  xxxxx 
0,25 
  0)32cos2)(sinsin(cos  xxxx 
 (cos )( 2sin(2 ) 3) 04
x sinx x      
cos 0
2 sin(2 ) 3( )
4
x sinx
x voly
 

  

0,25 
  0sincos  xx  tanx = 1 )(
4
Zkkx   (tm®k) 
 Do  
4
0;0   xkx 
0,25 
 III 2 
 1 1 
Do 
( )
( ) ( )
( )
SA ABCD
SAC ABCD
SA SAC

 

Lai cã 
( ) ( )
( ) ( , ) .sin 45
2
o
MH AC SAC ABCD
xMH SAC d M SAC MH AM
  
     
 0,25 
Ta cã 
0. 45 2
2 2
1 1. ( 2 )
2 2 2 2
1 1. 2 ( 2 )
3 6 2 2
MHC
SMCH MCH
x xAH AM cos HC AC AH a
x xS MH MC a
x xV SA S a a


      
   
   
O,5 
 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: 
 
3
2
2
1 2 2
3 2 6
2
2 2
SMCH
x xa aV a
x xa
x a
 
 
  
 
  M trïng víi D 
 0,25 
 IV 1 1 
 .Ta cã :VT =
2 2 2
( ) ( )a b c b c a A B
b c c a a b b c c a a b
      
     
 0,25 
 
3 3
1 1 1 13 ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 93 ( )( )( )3
2 2
3
2
A a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
A
             
    
  
 
0,25 
2 2 2
2 21 ( ) ( )( )
11 .2
2
a b ca b c a b b c c a
a b b c c a
B B
          
  
   
 0,25 
 2 1 
I = 
4 4 4
2 2
1 2
0 0 0
( sin 2 ) 2 2 sin 2 2x x cos xdx xcos xdx xcos xdx I I
  
       
 0,25 
TÝnh I1 
®Æt 
4
1
0
1sin2 sin2412 2 2sin2 02
du dxu x xI x xdx
v cos xdx v x
        

1 12 4
8 4 8 40
cos x

 
    
0,25 
TÝnh I2 
4
2 3
2
0
1 1 14sin 2 (sin2 ) sin 2
2 6 6
0
I xd x x
 
   
0,25 
 VËy I= 1 1 1
8 4 6 8 12
 
    
0,25 
Tõ ®ã tacã VT
3 1 2
2 2
VP    
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3 
0,25 
 V.a 2 
 1 1 
Ta cã: AB = 2 , trung ®iÓm M ( 5 5;
2 2
 ), 
pt (AB): x – y – 5 = 0 
 0,25 
 S ABC = 
1
2
d(C, AB).AB = 
3
2
 d(C, AB)= 
3
2
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 
1
2
 0,25 
 d(G, AB)= 
(3 8) 5
2
t t  
=
1
2
 t = 1 hoÆc t = 2 
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) 
 0,25 
Mµ 3CM GM
 
C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) 
0,25 
 2 1 
1
: 2 (1 ; 2 ;2 )
2
x t
ptts y t M t t t
z t
 
       
 
0,5 
Ta cã: 2 2 228 12 48 48 0 2MA MB t t t        0,25 
 Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) 
0,25 
VI.a 1 1 
Bpt     43232 22
22

 xxxx
0,25 
   )0(32 2
2


tt
xx
 BPTTT : 4
1

t
t 
 2 4 1 0t t    3232  t (tm) 
0,25 
Khi ®ã :   323232 2
2

 xx
121 2  xx 
0,25 
 21210122  xxx 
0,25 
V.b 2 
 1 1 
 . (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M  Oy  M(0;m) 
 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) 
 Vậy 


0
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
 

 
 Vì MI là phân giác của AMB 
 (1)  AMI = 300 
0sin 30
IAMI   MI = 2R  2 9 4 7m m     
 (2)  AMI = 600 0sin 60
IAMI   MI = 2 3
3
R  2 4 39
3
m   Vô 
nghiệm 
 Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 ) 
0,5 
0,5 
 2 1 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, 
cắt và vuông góc với d. 
d có phương trình tham số là: 
x 1 2t
y 1 t
z t
 

  
  
Vì H  d nên tọa độ H (1 + 2t ;  1 + t ;  t).Suy ra : MH

= (2t  1 ;  2 + t ;  t) 
0,25 
Vì MH  d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nên : 
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0  t = 2
3
. Vì thế, MH

 = 1 4 2; ;
3 3 3
   
 
3 (1; 4; 2)MHu MH   
 
0,25 
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z
1 4 2
 
 
 
 0,25 
Theo trªn cã 
7 1 2( ; ; )
3 3 3
H   mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é 
M’
8 5 4( ; ; )
3 3 3
  
0,25 
ĐK: x>0 , y>0 
 (1)  3 3
2log log2 2 2 0xy xy   
0,5 
 log3xy = 1  xy = 3y= 
3
x
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy)  x2+ 2y2 = 9 
0,25 
VIb 
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3 ; 3 ) hoặc ( 6 ; 6
2
) 
0,25 
A 
M 
D
 S 
H 
B 
C