Đề thi vào 10 năm 2000 - 2001

Đề thi vào 10 năm 2000-2001 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức : .
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, Chứng minh rằng biểu thức 8/P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P) :y = x2 .
a) Vẽ (P) và (d) khi m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
c)Tìm m để diện tích D OAB bằng 2.
Cho đoạn thẳng AB=2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM.BN = a2 .
a) Chứng minh rằng D AOM đồng dạng với D BNO và é MON = 900 .
b) Gọi H là là hình chiếu của O lên MN, Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.
c) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp D MON chạy trên một tia cố định.
d) Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi D AHB đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Đề thi vào 10 năm 1999-2000 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức : 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình x2 – mx + m2 – 5 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Với những giá trị của m mà phương trình có nghiệm, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó.
Cho D ABC có góc A tù, đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) tại M và N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh rằng H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng tỷ số không đổi.
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 4 điểm A, H, K, I thuộc một đường tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích AHMN lớn nhất.
Đề thi vào 10 năm 1998-1999 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức : .
a) Rút gọn P.
b) Cho Tìm giá trị lớn nhất của P.
Cho phương trình (x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0. (*)
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
c) Tìm các giá trị của m để 
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và lấy trên đó một điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M.
a) Tứ giác OBMP là hình gì ?
b) Cho AP = , Chứng minh rằng D PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O;R).
c) Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của D PAM chạy trên một cung tròn cố định.
d) Dựng hình chữ nhật PAON, Chứng minh rằng B, M, N thẳng hàng.
Đề thi vào 10 năm 1997-1998 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức : .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 15/4.
Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nước có thể tích 60 m3 với thời gian định trước. Khi đã bơm được 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến lúc có điện trở lại, người ta sử dụng thêm máy bơm thứ hai có công suất 10 m3/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng với thời gian dự kiến.Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm đó hoạt động.
Cho D ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D. Tia phân giác trong của góc C cắt đường tròn tại E. Chúng cắt nhau tại F . Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh rằng các tam giác EBF, DAF cân.
b) Chứng minh rằng tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB.
c) Tứ giác AIFK là hình gì ?
d) Tìm điều kiện của D ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.
Tìm những giá trị của x thỏa mãn hệ thức sau :
	 {Mờ}
Đề thi vào 10 năm học 1997-1998 Sở giáo dục đào tạo Hà Nội 
Cho biểu thức : .
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = 7.
Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng trong thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm. Vì vậy, mặ dù người đó đã làm mỗi giờ thêm một sản phẩm, song thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với thời gian dự định 12 phút. Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.
Cho đường tròn (O) bán kính R, một dây AB cố định (AB < 2R) và một điểm M bất kì trên cung lớn AB (M khác A, B). Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đường tròn qua M, tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O), (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N, P.
a) Chứng minh rằng : IA2 = IP.IM
b) Chứng minh rằng tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) Chứng minh rằng IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của D MBP.(Sai)
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của D PAB chạy trên một cung tròn cố định.
Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho Parabol : y = x2 (P) và đường thẳng y = x + m (d). Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho D AOB vuông tại O.
Đề thi vào 10 năm 1995-1996 Ams- Chu văn an.
Cho các biểu thức : 	và 	.
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị x để A = B.
Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = -1 và tìm nghiệm còn lại.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
c) Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C trên đường tròn ( C khác A và B) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC; P là giao của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N, Q.
a) Chứng minh rằng D ABN cân.
b) Tứ giác APNQ là hình gì ?
c) Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa C. Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
d) Xác định vị trí của điểm C để đường tròn ngoại tiếp D MNQ tiếp xúc với đường tròn (O).
Đề thi vào 10 năm 2003-2004 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức .
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0;-1) có hệ số góc k.
a) Viết phương trình của đường thẳng (d). Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi hoành độ của A và B là x1 và x2 , Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng D OAB vuông.
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB ta dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB và nửa đường tròn (O’) đường kính OA. Trên(O’) lấy M khác A và O; tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’).
a) Chứng minh rằng D ADM cân.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OD tại E, xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với (O) và (O’).
c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp D COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
d) Tại vị trí của M sao cho ME // AB, hãy tính tính độ dài đoạn thẳng OM theo a.
Đề thi vào 10 năm 2004-2005 Ams- Chu văn an.
Chứng minh rằng số tự nhiên chia hết cho 2005.
Cho phương trình : x + 3(m – 3x2)2 = m.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải bất phương trình : .
Cho D ABC có ba góc nhọn, kẻ hai dường cao BE, CF. 
a) Biết góc BAC bằng 600 , tính độ dài EF theo BC = a.
b) Trên nửa đường tròn đường kính BC không chứa E, F lấy một điểm M bất kì. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CE, EB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính r = 1/4 chứa toàn bộ đa giác đó.
Đề thi vào 10 năm 2004-2005 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để .
Cho phương trình: x2 – (m-2)x – m2 + 3m – 4 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2.
Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình :
2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)
a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng . Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox.
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất.
Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kì trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai là C và E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh rằng 4 điểm O, A, E, M nằm trên cùng một đường tròn , tìm tâm của đường tròn đó.
b) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh rằng : OE.OF + BE.BM = OB2 .
d) Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành, tìm mối liên hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi.
Đề thi vào 10 năm 2005-2006 Ams- Chu văn an.
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Cho hệ phương trình : 
a) Giải hệ với m = -10.
b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất.
Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức : , xét biểu thức P = x + y2 + z3 .
a) Chứng minh rằng P ³ x + 2y + 3z – 3.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Cho D ABC, lấy ba điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P ( D nằm giữa A và P) sao cho DA.DP = DB.DC.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp và hai tam giác DEF, PCB đồng dạng.
b) Gọi S và S’ lần lượt là diện tích của hai tam giác ABC và DEF, Chứng minh rằng 
Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thỏa mãn đồng thừoi hai điều kiện : 
Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 0,5. 
Chứng minh rằng trong 2005 đường thẳng trên có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy.
Đề thi vào 10 năm 2005-2006 Ams- Chu văn an.
Cho biểu thức .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2/9 .
Cho bất phương trình : 3(m – 1)x + 1 > 2m + x (m là tham số )
a) Giải bất phương trình với m = .
b) Tìm m để bất phương trình nhận mọi giá trị x > 1 là nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a2 = 0 và parabol (P): y = ax2 . ( a là tham số dương).
a) Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung..
b) Gọi xA và xB là hoành độ của A và B, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 	.
Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa cung lớn AB. Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C.
a) Chứng minh rằng các tam giác AIB , AMC là các tam giác cân.
b) Khi M di động, Chứng minh rằng C di chuyển trên một cung tròn cố định.
c) Xác định vị trí của M để chu vi D AMC đạt giá trị lớn nhất.
Cho D ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, góc é ACB = a, góc é AMB = b. Chứng minh rằng : (sina+cosa)2 = 1 + sinb.