Đề thi tuyển vào thpt Môn: Toán lớp 10

ĐỀ SỐ 1.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1 ( 2 điểm)
Cho biểu thức .
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A.
Bài 2 ( 1,5 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .
Bài 3 ( 1 điểm) 
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
Bài 4 ( 2 điểm) 
Cho phương trình : .
Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
Giải phương trình .
Bài 5 ( 3 điểm) 
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB 
Chứng minh đồng dạng với .
Chứng minh .
 HẾT 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 1.
Bài 1 ( 2 điểm)
Cho biểu thức .
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
Điều kiện : 
Bài 2 ( 1,5 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .
Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 .
Khi đó ta có : Vậy : 
Kết hợp (*) và (**) ta có :
Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : thì : và .
Bài 3 ( 1,5 điểm) 
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 
x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0
(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0
(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)
Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = - 2 
 vì .
Vậy MaxM = -2 x = y = -1 .
Bài 4 ( 2 điểm) 
Cho phương trình : .
Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
Giải phương trình .
điều kiện : 
Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .
Vì ab + 4 > 0 nên :
Bài 5 ( 3 điểm) 
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB 
Chứng minh đồng dạng với .
Chứng minh .
ABCD : AB // CD ; CD > AB ; .
; AG = CE ; BG = DF .
Chứng minh : 
a) ~ .
b) 
Chứng minh : 
a) Ta có AB // CD , mà AG = CE ; BG = DF 
Xét và có : ~ ( c-g-c)
Ta có ~ GFCE nội tiếp cùng chắn mà 
ĐỀ SỐ 2.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
Năm học: 2007 - 2008
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bµi 1: ( 1 ®iÓm )
Chøng minh ®¼ng thøc: 
Bµi 2: ( 2 ®iÓm) 
Rót gän c¸c biÓu thøc:
 víi .
Bµi 3: ( 2 ®iÓm)
Mét xe löa ®i tõ HuÕ ra Hµ Néi. Sau ®ã 1 giê 40 phót, mét xe löa kh¸c ®i tõ Hµ Néi vµo HuÕ víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe löa thø nhÊt lµ 5 km/h. Hai xe gÆp nhau t¹i mét ga c¸ch Hµ Néi 300 km. T×m vËn tèc cña mçi xe, gi¶ thiÕt r»ng qu·ng ®­êng s¾t HuÕ - Hµ Néi dµi 645 km.
Bµi 4: ( 3,5 ®iÓm )
Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD, t©m O. Hai ®­êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng:
C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH néi tiÕp ®­îc;
E lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH;
N¨m ®iÓm B, C, I, O, H ë trªn mét ®­êng trßn.
Bµi 5: ( 1,5 ®iÓm )
§Ó lµm mét c¸i phÓu h×nh nãn kh«ng n¾p b»ng b×a cøng b¸n kÝnh ®¸y , chiÒu cao , ng­êi ta c¾t tõ mét tÊm b×a ra h×nh khai triÓn cña mÆt xung quanh cña h×nh nãn, sau ®ã cuén l¹i. Trong hai tÊm b×a h×nh ch÷ nhËt: TÊm b×a A cã chiÒu dµi 44cm, chiÒu réng 25cm; tÊm b×a B cã chiÒu dµi 42cm, chiÒu réng 28cm, cã thÓ sö dông tÊm b×a nµo ®Ó lµm ra c¸i phÓu h×nh nãn nãi trªn mµ kh«ng ph¶i ch¾p nèi ? Gi¶i thÝch.
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 2.
Bài 1.
 ( 1 )
 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có:
Bài 2.
a)
A = 
 (v× nªn vµ )
b) 
 (v× ).
Bài 3.
Gäi x (km/h) lµ vËn tèc cña xe löa thø nhÊt ®i tõ HuÕ ®Õn Hµ Néi. Đk: x > 0.
VËn tèc cña xe löa thø hai ®i tõ Hµ Néi lµ: x + 5 (km/h). 
Theo gi¶ thiÕt, ta cã ph­¬ng tr×nh:
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc: (lo¹i v× x > 0) vµ .
VËy vËn tèc xe löa thø nhÊt lµ: 45 km/h vµ vËn tèc xe löa thø hai lµ: 50 km/h
	ĐS: v1 = 45 km/h
	v2= 50 km/h	
Bài 4.
a) Tø gi¸c ABEH cã: 
 (gãc néi tiÕp trong nöa ®­êng trßn);
 (gi¶ thiÕt)
Nªn: ABEH néi tiÕp ®­îc.
T­¬ng tù, tø gi¸c DCEH cã , nªn néi tiÕp ®­îc.
b) Trong tø gi¸c néi tiÕp ABEH, ta cã: (cïng ch¾n cung )
Trong (O) ta cã: (cïng ch¾n cung ).
Suy ra: , nªn BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc .
+ T­¬ng tù, ta cã: , nªn CE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc .
+ VËy: E lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH.
Suy ra EH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc 
c) Ta cã I lµ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng ECD, nªn (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cïng ch¾n cung ). Mµ , suy ra .
+ Trong (O), (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cïng ch¾n cung ).
+ Suy ra: H, O, I ë trªn cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n BC, hay 5 ®iÓm B, C, H, O, I cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Bài 5.
+ §­êng sinh cña h×nh nãn cã chiÒu dµi: .
+ H×nh khai triÓn cña mÆt xung quanh cña h×nh nãn lµ h×nh qu¹t cña h×nh trßn b¸n kÝnh , sè ®o cña cung cña h×nh qu¹t lµ:
 .
+ Do ®ã, ®Ó c¾t ®­îc h×nh qu¹t nãi trªn th× ph¶i cÇn tÊm b×a h×nh ch÷ nhËt cã kÝch th­íc tèi thiÓu: dµi 40cm, réng (20 + 6,2) = 26,2cm. VËy ph¶i dïng tÊm b×a B míi c¾t ®­îc h×nh khai triÓn cña mÆt xung quanh cña h×nh nãn mµ kh«ng bÞ ch¾p v¸.
ĐỀ SỐ 3.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2006 - 2007
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1: ( 2 điểm )
Cho biểu thức P= 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P < 
Bài 2: ( 2 điểm )
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: ( 2 điểm )
Cho phương trình ( * )
a) Giải phương trình khi b= -3 và c=2
b) Tìm b,c để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1.
Bài 4: ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
a) Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm H để AB= R.
Bài 5: ( 1 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 3.
Bài 1:
P= 
a) Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là 
b) Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là 
Bài 2: 
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x >0)
Vận tốc khi về là x + 4 ( km/h )
Thời gian khi đi là 24/x
Thời gian khi về là: 24/x+4 
Theo bài ra ta có phương trình . 
Giải ra ta có nghiệm x = 12 ( km/h )
Vận tốc khi đi từ A đến B là 12 km/h
Bài 3: 
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là 
Bài 4:
1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay. Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5: 
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
ĐỀ SỐ 4.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2005 - 2006
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Câu 1: ( 1, 5 điểm )
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 2x + 4 = 0
b) x4 – 29x2 + 100 = 0
c) 
Câu 2: ( 1, 5 điểm )
Thu gọn các biểu thức sau:
a) 
b)
Câu 3: ( 1 điểm )
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 4: ( 2 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 4.
Câu 1: 
a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5 + 1.
b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x2 = 25 x = ± 5.
* t = 4 x2 = 4 x = ± 2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)
Câu 2: 
a) 
b) 
Câu 3: 
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có: 
Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Câu 4: 
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:
x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1
Do đó: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ –.
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là –.
Câu 5: 
a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.
AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và 
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội tiếp) 
Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên 
d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).
ĐỀ SỐ 5.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2004 - 2005
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Tính : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A  ... 6 =0
Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau:
a/ NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.
b/ 2x1+3x2=13
C©u 3T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh 
 mx-y=1
 m3x+(m2-1)y =2
v« nghiÖm, v« sè nghiÖm.
C©u 4: t×m max vµ min cña biÓu thøc: x2+3x+1
 x2+1
C©u 5: Tõ mét ®Ønh A cña h×nh vu«ng ABCD kÎ hai tia t¹o víi nhau mét gãc 450. Mét tia c¾t c¹nh BC t¹i E c¾t ®­êng chÐo BD t¹i P. Tia kia c¾t c¹nh CD t¹i F vµ c¾t ®­êng chÐo BD t¹i Q.
a/ Chøng minh r»ng 5 ®iÓm E, P, Q, F vµ C cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
b/ Chøng minh r»ng: SAEF=2SAQP
c/ KÎ trung trùc cña c¹nh CD c¾t AE t¹i M tÝnh sè ®o gãc MAB biÕt CPD=CM
ĐÁP ÁN 
ĐỀ SỐ 21.
C©u 1: a/ BiÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠2 vµ x>1
 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2 
 A= . ( )
 (x-2)2 x-1
 x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2
 = . = = 
 x-2 x-1 x-1 x-1 
b/ §Ó A nguyªn th× x- 1 lµ ­íc d­¬ng cña 1 vµ 2
* x- 1 =1 th× x=0 lo¹i
* x- 1 =2 th× x=5 
vËy víi x = 5 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn b»ng 1
C©u 2: Ta cã ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 ®Ó ph­¬ng tr×nhcã hai nghiÖmph©n biÖt khi vµchØ khi m≤-7-4 3 vµ m≥-7+4 3 (*) 
a/ Gi¶ sö x2>x1 ta cã hÖ x2-x1=1 (1)
 x1+x2=m+5 (2)
 x1x2 =-m+6 (3) 
Gi¶i hÖ ta®­îc m=0 vµ m=-14 tho· m·n (*) 
b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13(1’)
 x1+x2 = m+5(2’)
 x1x2 =-m+6 (3’) 
gi¶i hÖ ta ®­îc m=0 vµ m= 1 Tho¶ m·n (*)
C©u 3: *§Ó hÖ v« nghiÖm th× m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2
 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 
 3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2 
 ∀m
*HÖv« sè nghiÖm th×: m/m3=-1/(m2-1) =1/2
 3m3-m=-m3 m=0 
 3m2-1= -2 m=±1/2 
 V« nghiÖm 
 Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó hÖ v« sè nghiÖm.
C©u 4: Hµm sè x¸c ®Þnh víi ∀x(v× x2+1≠0) x2+3x+1
gäi y0 lµ 1 gi¸ trÞcña hµmph­¬ng tr×nh: y0= 
 x2+1
 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm 
*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4
VËy: ymin=-2 vµ y max=4
C©u 5: ( Häc sinh tù vÏ h×nh)
Gi¶i
a/ A1 vµ B1 cïng nh×n ®o¹n QE d­íi mét gãc 450 
Þ tø gi¸c ABEQ néi tiÕp ®­îc. 
Þ FQE = ABE =1v. 
chøng minh t­¬ng tù ta cã FBE = 1v 
Þ Q, P, C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kinh EF.
b/ Tõ c©u a suy ra ∆AQE vu«ng c©n. 
Þ = (1)
t­¬ng tù ∆ APF còng vu«ng c©n 
Þ = (2)
tõ (1) vµ (2) Þ AQP ~ AEF (c.g.c) 
 = ( )2 hay SAEF = 2SAQP
c/ §Ó thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD 
ÞMCD= MPD=APD=CPD=CMD 
ÞMD=CD Þ ∆MCD ®Òu Þ MPD=600 
mµ MPD lµ gãc ngoµi cña ∆ABM ta cã APB=450 vËy MAB=600-450=150
ĐỀ SỐ 22.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2004 - 2005
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bµi 1: Cho biÓu thøc M =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
T×m x ®Ó M = 5
T×m x Z ®Ó M Z.
bµi 2: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh
 3x2 +10 xy + 8y2 =96
 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3
Bµi 3: a. Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n + + = 4
Chøng ming r»ng: + + 
	b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (víi x ) 
Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. KÎ tia Ax, Ay sao cho = 45
Tia Ax c¾t CB vµ BD lÇn lît t¹i E vµ P, tia Ay c¾t CD vµ BD lÇn lît t¹i F vµ Q
Chøng minh 5 ®iÓm E; P; Q; F; C cïng n»m trªn mét ®êng trßn
S= 2 S
KÎ ®êng trung trùc cña CD c¾t AE t¹i M. TÝnh sè ®o gãc MAB biÕt = 
Bµi 5: (1®)
 Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: ; H·y tÝnh P = 
ĐÁP ÁN 
ĐỀ SỐ 22 
Bµi 1:M = 
 a.§K 0,5®
 Rót gän M =
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = M = 
 c. M = 
 Do M nªn lµ íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
 (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 
 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
 (x + 2y)(3x + 4y) = 96 
 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 
 mµ 96 = 25. 3 cã c¸c íc lµ: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 ®îc biÓu diÔn thµnh tÝch 2 thõa sè kh«ng nhá h¬n 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12
L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tæng 4x + 6y lµ sè ch¼n do ®ã
 HÖ PT nµy v« nghiÖm 
 HoÆc
 HoÆc HÖ PT v« nghiÖm
VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1)
 b. ta cã /A/ = /-A/ 
 Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ (1)
 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)
KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
 (3) s¶y ra khi vµ chØ khi
Bµi 3
Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô
Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã 
(a2y + b2x)(x + y)
a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy 
a2y2 + b2x2 2abxy
a2y2 – 2abxy + b2x2 0
(ay - bx)2 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0
DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay 
¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã 
T¬ng tù 
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
 V× 
Ta cã: 
V× (x - 2006)2 0 víi mäi x 
x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0 
Bµi 4a. néi tiÕp; = 900 à gãc AQE = 900 à gãcEQF = 900
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450
à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 à gãc APF = 900 à gãc EPF = 900 . 0,25®
C¸c ®iÓm Q, P,C lu«n nh×n díi 1gãc900 nªn 5 ®iÓm E, P, Q, F, C cïng n»m trªn 1 ®êng trßn ®êng kÝnh EF 0,25®
b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) gãc APQ = gãc AFE 
 Gãc AFE + gãc EPQ = 1800 
 àTam gi¸c APQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c AEF (g.g)
à 
gãc CPD = gãc CMD à tø gi¸c MPCD néi tiÕp à gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung MD)
L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC)
 gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)
à gãc CPD = gãcMDC = gãc CMD = gãcMCD à tam gi¸c MDC ®Òu à gãc CMD = 600
à tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM)
Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300
à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750
à gãcMAB = 900 – 750 = 150
Bµi 5§Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)
à x = -(y + z) 
à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3
ĐỀ SỐ 23.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2006 - 2007
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bµi 1Cho biÓu thøc A = + 	 
a. Rót gän biÓu thøc A
b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho c¸c ®­êng th¼ng:
	y = x-2 (d1)
	y = 2x – 4 (d2)
	y = mx + (m+2) (d3)
a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®­êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m.
b. T×m m ®Ó ba ®­êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy .
Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
	a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
	b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m.
	c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1))
Bµi 4: Cho ®­êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE.
	a. Chøng minh r»ng DE// BC
	b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
	c. Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F
	Chøng minh hÖ thøc: = + 
Bµi 5: Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 23 
Bµi 1: - §iÒu kiÖn : x 0	
a. Rót gän: 	
- Víi x <0: 	 
- Víi 0<x	2: 	 
- Víi x>2 : 
b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn:
A nguyªn x2 + 3 
 3 => x = 
Bµi 2:
	a. (d1) : y = mx + (m +2)
 m (x+1)+ (2-y) = 0 
	§Ó hµm sè lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m
	=.>	
	VËy N(-1; 2) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ (d3) ®i qua 
	b. Gäi M lµ giao ®iÓm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiÖm cña hÖ
	 => 
	VËy M (2; 0) .	
	NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3)
	Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= -
	VËy m = - th× (d1); (d2); (d3) ®ång quy 
Bµi 3: a. = m2 –3m + 4 = (m - )2 + >0 m.
	VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 
	b. Theo ViÐt: => 
	 x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m 
P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)
 = (2m - )2 + 
VËyPmin = víi m = 
Bµi 4: VÏ h×nh ®óng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn 
 a. S®CDE = S® DC = S® BD = 
=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) 
b. APC = s® (AC - DC) = AQC 
=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC
cïng nh×n ®oan AC) 
c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp
CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC)
Suy ra CPQ = CDE => DE// PQ
Ta cã: = (v× DE//PQ) (1)	
 = (v× DE// BC) (2)	 
Céng (1) vµ (2) : 
	=> (3)	 	 
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ 
Thay vµo (3) : 	 
Bµi 5:Ta cã: < < (1)
	 < < (2) 
 < < (3) 
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
 1 < + + < 2 
ĐỀ SỐ 24.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
 Năm học: 2004 - 2005
 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bµi 1: (2®)
Cho biÓu thøc:
 P = 
a) Rót gän P.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
Bµi 2: (2®) Mét ng­êi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®­êng khã ®i nªn ng­êi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i, v× thÕ ng­êi ®ã ®Õn B chËm h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ng­êi ®i xe ®¹p.
Bµi 3: (1,5®) Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 3
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = 1
Bµi 4: (3®) Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. §iÓm M tuú ý trªn nöa ®­êng trßn. Gäi N vµ P lÇn l­ît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB. AP c¾t BN t¹i I.
a) TÝnh sè ®o gãc NIP.
b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D. 
 Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®­îc.
c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn trßn t©m O
Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®­êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d)
T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é hai ®iÓm ®ã.
T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi. 
ĐÁP ÁN
ĐỀ SỐ 24
Bµi 1: (2®)
a) (1,5®)
- Thùc hiÖn ®­îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: 	0,75®
- Thùc hiÖn phÐp chia ®óng b»ng 	0,25®
- Thùc hiÖn phÐp céng ®óng b»ng: 	0,25®
- §iÒu kiÖn ®óng: x ³ 0; x ¹ 1	0,25®
b) (0,5®)
- ViÕt P = lËp luËn t×m ®­îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0 	0,5®
Bµi 2: (2®) 
1) LËp ph­¬ng tr×nh ®óng (1,25®)
- Gäi Èn, ®¬n vÞ, ®k ®óng	0,25®
- Thêi gian dù ®Þnh	0,25®
- Thêi gian thùc tÕ	0,5®
- LËp luËn viÕt ®­îc PT ®óng	0,25®
2) G¶i ph­¬ng tr×nh ®óng	0,5®
3) ®èi chiÕu kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi ®óng	0,25®
Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hÖ ®óng:	1®
 b) (0,5®)
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ®óng	0,25®
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n x + y = 1 vµ KL	0,25®
Bµi 4: (3®) VÏ h×nh ®óng 	0,25®
a) TÝnh ®­îc sè ®o gãc NIP = 1350	0,75®
b) (1®)
VÏ h×nh vµ C/m ®­îc gãc NDP = 900	0,5®
 	Chøng minh ®­îc tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®­îc.	0,5®
(1®) + C/m phÇn thuËn
 KÎ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®­îc gãc EJF = 450 	0,25®
 LËp luËn vµ kÕt luËn ®iÓm J:	0,25®
+ C/m phÇn ®¶o	0,25®
+ KÕt luËn quü tÝch	0,25®
Bµi 5: (1,5®) a) (1®)
T×m ®­îc ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt:	 	0,5®
T×m ®­îc to¹ ®é 2 ®iÓm A, B	0,5®
b) T×m ®­îc quü tÝch trung ®iÓm I: vµ kÕt luËn	0,5®