Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 môn thi: Đại số và giải tích

Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
MÔN THI : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa
∞∑
n=1
(
n+ 2
n+ 1
)n(n+1)
xn
Câu 2: Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi:
f(x, y) =

2xy
x2 + y2
, khi (x, y) 6= (0, 0)
0 , khi (x, y) = (0, 0)
a) Xét sự liên tục của f trên R2 ;
b) Tính các đạo hàm riêng của f trên R2 .
Câu 3: Tính tích phân
∫∫
D
(2x− y)dxdy,
trong đó D là nửa trên của hình tròn có tâm tại điểm (1,0) bán kính 1
Câu 4: Cho tập hợp các số tự nhiên N. Với mọi m,n ∈, đặt
d(m,n) =
{
0 , nếu m = n
1 +
1
m+ n
, nếu m 6= n
Hãy chứng minh:
a) d là một metric trên N.
b) (N, d) là một không gian metric đầy đủ.
Câu 5: Tính định thức: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 0 0 4 6
2 4 0 0 5 8
5 1 1 5 2 1
7 6 6 7 1 2
3 7 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là 1 0 2 12 3 −1 1
−2 0 −5 3

Hãy xác định nhân và ảnh của f . Hỏi f có là đơn cấu, toàn cấu hay không? Vì sao?
Câu 7: Cho ma trận  −1 3 −1−3 5 −1
−3 3 1

a) Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A.
b) Tính A2004
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
1