Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2009 môn thi: Toán; Khối A

Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối A
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số (1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
Giải phơng trình: 
Giải phơng trình: 
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân	
Câu IV (1,0 điểm)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
 Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có:
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Theo chơng trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đờng thẳng D: . Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và mặt cầu (S): . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phơng trình . Tính giá trị của biểu thức:
Theo chơng trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): và đờng thẳng D: , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đờng tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và hai đờng thẳng D1: , D2: . Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phơng trình
 (x, yẻ R)
--- Hết ---
Huớng dẫn chấm thi
Câu
Đáp án 
Điểm 
Phần chung cho tất cả các thí sinh
7 điểm 
Câu I
a)
Khảo sát hàm số 
1.00
a/ Tập xác định: 
0.25
b/ Sự biến thiên của hàm số 
ã1	Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận
 , nên đờng thẳng là tiệm cận đứng
 ,, nên đờng thẳng là tiệm cận ngang
ã2	Bảng biến thiên : 
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
0.25
0.25
c/ Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm và Cắt trục hoành tại điểm 
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.
0.25
b)
Viết phơng trình tiếp tuyến 
1.00
* Tam giaực OAB caõn taùi O neõn tieỏp tuyeỏn song song vụựi moọt trong hai ủửụứng thaỳng y = x hoaởc y = -x. Mà y’ < 0, nên:
 ị 
0.50
* D1 : y – 1 = -1(x + 1) Û y = -x (loaùi)
0.25
* D2 : y – 0 = -1(x + 2) Û y = -x – 2 
0.25
Câu II
2.00
a)
Giải phơng trình 
1.00
* 	ĐK: , sinx ≠ 1	
0.50
* 
 (loaùi) , k ẻ Z (thoả mãn)
0.50
Giải phơng trình 
1.00
* Đặt với 
Ta đợc 
0.25
* Phơng trình đã cho tơng đơng với Hpt 
0.25
* Giải hệ phơng trình ta đợc 
0.25
* Do đó . Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = -2
0.25
Câu 3
Tính tích phân 
1.00
* Ta có 
0.25
* Tính 
0.25
* Tính 
0.25
* Vậy 
0.25
Câu 4
Tính thể tích của hình chóp
* Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là đờng cao của hình chóp 
 Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD). Hay góc SHI = 600
0.25
* Đáy ABCD có diện tích là: 
0.25
* Tam giác IBC có diện tích 
Suy ra: vì với trung điểm M của AB thì tam giác MBC vuông cân ,nên 
0.25
* Xét tam giác vuông SIH : . Vởy thể tích của hình chóp là : 
0.25
Câu 5
Chứng minh bất đẳng thức
1.00
* Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz 
Đặt.Tađợc: 
0.25
* Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
0.25
* 
0.50
* Lại do ,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM
Phần riêng cho từng chơng trình
3.00
Phần đề thi theo chơng trình chuẩn
Câu VI.a
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian
2.00
a)
Viết phơng trình đờng thẳng
1.00
* Vì nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 – m); Gọi F là trung điểm của AB thì F (12 – m; m – 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2)
0.25
* Theo giả thiết
0.25
* Với m = 6 thì AB có VTPT là: , suy ra pt AB là y = 5
0.25
* Với m = 7 thì VTPT là , suy ra pt AB là x – 4y + 19 = 0
0.25
b)
Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến
1.00
* PT m.c viết thành , nên tâm I(1;2;3) và R=5 
0.25
* Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: . Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r.
0.25
* Bỏn kớnh đường trũn r = 
0.25
* Phơng trình JI là x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) và , suy ra tâm của đờng tròn là J(3 ;0 ;2)
0.25
Câu VII.a
Số phức 
1.00
* Phơng trình có 2 nghiệm phức là z= -1+3i và z = -1- 3i
0.50
* Do đó A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
0.50
Phần đề thi theo chơng trình nâng cao
Câu VI.b
Phơng pháp toạ độ trong không gian
2.00
a)
Tìm tham số m
1.00
* (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 cú tõm là I (-2; -2); R = 
	Điều kiện để D cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B là (1) 
0.25
* Kẻ đường cao IH của DIAB, ta cú: SDABC = = sin
	Do đú SDABC lớn nhất khi và chỉ khi sin = 1 Û DAIB vuụng tại I
0.25
* Ta đợc IH = (thỏa IH < R) Û 
	Û 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 
0.50
b)
Tìm điểm M
1.00
* Toạ độ của M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) ẻD1
D2 qua A (1; 3; -1) cú vộctơ chỉ phương = (2; 1; -2)
0.25
* Vectơ = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ị = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)
0.25
* Ta cú : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 
 Û 35t2 - 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t = 
0.25
* Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M 
0.25
Câu VII.b
GiảI hệ phơng trình
1.00
* Điều kiện xy > 0
0.25
* Hệ phơng trình Û 
0.25
* GiảI hpt ta đợc 2nghiệm là: và 
0.50
------------------------------------- Hết ----------------------------------