Đề thi tuyển sinh đại học môn toán học

Tr­êng thpt nh· nam
Tæ To¸n
§Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc
M«n To¸n
( Thêi gian lµm bµi 180 phót)
ĐỀ CHÍNH THỨC
I. PHẦN CHUNG:
 Câu 1( 3 điểm):
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.
 Câu 2 (1.5 điểm):
	1. Giải hệ phương trình sau: 
	2. Giải phương trình: 	 
 Câu 3 ( 2 điểm): Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4; AB = 3; BC = 5. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
 Câu 4( 1 điểm):
	Tìm nguyên hàm 
 Câu 5 ( 1 điểm):
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
	trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện xyz = 8
II. PHẦN RIÊNG:
	1) Theo chương trình chuẩn:
 Câu 6 ( 1.5 điểm)
	1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 
	(d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;-1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 
 2. Giải bất phương trình sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30.
..........................HẾT...................................
HƯỚNG DẪN GIẢI:
I PHẦN CHUNG:
Câu 1:
	1. Tự giải: (2 điểm).
	2. ( 1 điểm). Phương hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: = - x + m 
 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Ta có A(x1; -x1 +m), B(x2; - x2 + m)
	AB = = 
 Vậy gtnn của AB = khi và chỉ khi m = 2
Câu 2: 
	1. (1 điểm) điều kiện x>0, y>0. Khi đó hệ tương đương 
 Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x-y)(3xy+x+y) = 0 thay lại phương trình 
 Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1;1).
 2. ( 0.5 điểm) (Cách 1)	
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 
Ta có: 
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=
Ta thấy f(-1)=0 Þ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: 
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x
-∞ -1 +∞ 
f’(x)
 ÷ú ÷ú ÷ú 
F(x)
 +∞
 0 3 
-∞ -3 
Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 Û x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1.
 Cách 2: Học sinh có thể đặt khi đó ta được hệ giải hệ này và tìm được nghiệm.
Câu 3:
D
A
B
M
C
H
Ta có VABCD = 
Vậy AH.SDBC= (1)
Mà AM.BC = BA.CA từ (1) có 
từ đó .
Câu 4: 
Ta có sinx + cosx = 2cos, sinx = sin = 
I = từ đó tìm được nguyên hàm.
Câu 5:
	Theo bất đẳng thức Minkowski: 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
	Ta có P = 5 ( vì xyz = 8)
	Vậy minP = 5 khi và chỉ khi 
II. PHẦN RIÊNG:
	1) Phần theo chương trình chuẩn:
Câu 6
	1) A(a;-a-1), B(b;2b – 1)
	Từ điều kiện tìm được A(1; - 2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
	2) Điều kiện .
 Ta có 2C2x+1 + 3A2x 0
 kết hợp với điều kiện ta được x = 2.