Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2010 môn thi : Toán học - Khối A

ŀBộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO Email: phukhanh@moet.edu.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - khối A. Ngày thi : 28.02.2010 (Chủ Nhật ) ĐỀ 01 I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : += − 31xy x , có đồ thị là ( )C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số . 2. Cho điểm ( ) ( )∈0 0 0;M x y C . Tiếp tuyến của ( )C tại 0M cắt các đường tiệm cận của ( )C tại các điểm ,A B . Chứng minh 0M là trung điểm của đoạn AB . Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình : 26 42 4 2 2 4xx x x −+ − − = + 2. Giải phương trình : 3 3sin .sin 3 cos cos 3 18t n t n6 3x x x xa x a xπ π+ = −   − +       Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân −= + +∫3 1 20 2 2dxI x x Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , ,OB a= ( )3, 0 .OC a= > và đường cao = 3OA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,AB OM . Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,x y z thỏa mãn 1 1 1 1x y z x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
22 1
1 1 1
yx z
P
x y z
−
= + +
+ + +
II. PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1.Theo chương trình Chuẩn : 
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz 
1. Cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( )1;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2 , 2; 1;1A B C D− − . Tìm vectơ ' 'A B






 là hình chiếu của vectơ AB




 lên CD . 
2. Cho đường thẳng : ( ) 2:
1 2 2
x y z
d
−
= = và mặt phẳng ( ) : 5 0P x y z− + − = . Viết phương trình tham số của đường thẳng 
( )t đi qua ( )3; 1;1A − nằm trong ( )P và hợp với ( )d một góc 045 . 
Câu VII.a( 1 điểm ) Một giỏ đựng 20 quả cầu. Trong đó có 15 quả màu xanh và 5 quả màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu 
trong giỏ.Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu ? 
2. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz 
1. Cho 3 điểm ( ) ( )0;1;0 , 2;2;2A B và đường thẳng ( ) 1 2 3:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−
. Tìm điểm ( )∈M d để diện tích 
tam giác ABM nhỏ nhất. 
2. Cho hai đường thẳng ( ) 1 1 2:
2 3 2
x y z
d
+ − −
= =
−
 và ( ) 2 2' :
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Chứng minh ( )d vuông góc với ( )'d , viết 
phương trình đường vuông góc chung của ( )d và ( )'d . 
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển ( )
13 1
2
2
8
1
log 3 1log 9 7 52 2
x
x
−
− − ++ +  
 
. Hãy tìm các giá trị củax biết rằng số hạng thứ 6 trong khai 
triển này là 224 . 
.............Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ............... 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 
+
=
−
3
1
x
y
x
, có đồ thị là ( )C . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số . 
2. Cho điểm ( ) ( )∈0 0 0;M x y C . Tiếp tuyến của ( )C tại 
0
M cắt các đường tiệm cận của ( )C tại các điểm ,A B . 
Chứng minh 
0
M là trung điểm của đoạn AB . 
Câu II: ( 2 điểm ) 
1. Giải phương trình : 
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
Điều kiện : 2 2x− ≤ ≤ 
2 2
6 4 6 4 6 4
2 4 2 2
2 4 2 24 4
x x x
x x
x xx x
− − −
+ − − = ⇔ =
+ + −+ +
( )
2
1 1
2 3 2 0
2 4 2 2 4
x
x x x
 
⇔ − − =  + + − + 
2
2 2
3 3
4 2(2 )(2 ) (2 )( 4) 02 4 2 2 4
x x
x x x xx x x
 
= = ⇔ ⇔ 
+ − + − + =+ + − = + 
2 2
3 3
22 (4 2(2 ) ( 4) 2 ) 0
x x
xx x x x
 
= = ⇔ ⇔  =− + + + − = 
2. Giải phương trình : 
3 3sin .sin 3 cos cos 3 1
8
t n t n
6 3
x x x x
a x a x
π π
+
= −
   
− +   
   
Điều kiện : sin sin cos cos 0
6 3 6 3
x x x x
π π π π       
− + − + ≠       
       
Ta có : t n t n t n cot 1
6 3 6 6
a x a x a x x
π π π π       
− + = − − = −       
       
Phương trình : 
3 3
3 3sin .sin 3 cos cos 3 1 1sin .sin 3 cos cos 3
8 8
t n t n
6 3
x x x x
x x x x
a x a x
π π
+
= − ⇔ + =
   
− +   
   
1 cos2 cos2 cos 4 1 cos2 cos2 cos 4 1
2 2 2 2 8
x x x x x x− − + +
⇔ ⋅ + ⋅ = 
31 1 12(cos2 cos2 cos 4 ) cos 2 cos2
2 8 2
x x x x x⇔ + = ⇔ = ⇔ = 
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
M
A
B
 (không )
6
6
x k thoa
x k
π
π
π
π

= +
⇔ 
 = − +

. Vậy phương trình cho có họ nghiệm là 
6
x k
π
π= − + 
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân 
−
=
+ +∫
3 1
2
0 2 2
dx
I
x x
− −
= =
+ + + +∫ ∫
3 1 3 1
2 2
0 02 2 1 ( 1)
dx dx
I
x x x
Đặt 
π π 
+ = ∈ − ⇒ = + 
 
21 t n , ; (t n 1)
2 2
x a t t dx a x dt 
Đổi cận : 
π π
= ⇒ = = − ⇒ =0 , 3 1 .
4 3
x t x t 
π π
π π
π π π+
= = = − =
+∫ ∫
3 32
2
4 4
t n 1
.
3 4 121 t n
a t
I dt dt
a t
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , ( )= = >, 3, 0 .OB a OC a và 
đường cao = 3OA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,AB OM . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0), 
(0;0; 3), ( ;0;0), (0; 3;0),A a B a C a
3
; ; 0
2 2
a a
M
 
  
 
, 
gọi N là trung điểm của AC ⇒
3 3
0; ;
2 2
a a
N
 
  
 
. 
MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN 
 ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = 
d(B;(OMN)). 
3 3 3
; ; 0 , 0; ;
2 2 2 2
a a a a
OM ON
   
= =      
   




 



( )
2 2 2 2 23 3 3 3 3
[ ; ] ; ; 3; 1; 1
4 4 4 4 4
a a a a a
OM ON n
 
= = =  
 




 




, với 
( 3; 1; 1)n =

. 
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến 
: 3 0n x y z+ + =

Ta có: 
3. 0 0 3 15
( ; ( ))
53 1 1 5
a a a
d B OMN
+ +
= = =
+ +
. Vậy, 
15
( ; ) .
5
a
d AB OM = 
Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , ,x y z thỏa mãn 
1 1 1 1
x y z x y z
+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 
22 1
1 1 1
yx z
P
x y z
−
= + +
+ + +
Ta có : 
1 1 1 1
. . . 1x y y z z x
x y z x y z
+ + = ⇔ + + = . Điều này gợi ý ta đưa đến hướng 
giải lượng giác . Đặt tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = = 
Nếu , , (0; ),A B C A B Cπ π∈ + + = thì t n t n t n t n t n t n 1.
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
a a a a a a+ + = 
Khi đó 2sin sin cos 2 cos cos 2 cos 1
2 2 2
C A B C
P A B C
−
= + − = − + 
2 21 1 32(cos cos ) 1 cos
2 2 2 2 2 2
C A B A B
P
− −
= − − + + ≤ 
Vậy 
3
max
2
P = khi 
2
2 2 3
tan3 12 2 3
3
6
C x y
A B z
π π
π
  −= = = =
⇔  +
 = = =
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1.Theo chương trình nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) 
1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ( ) ( ) ( )−0;1;0 , 2;2;2 , 2; 3;1A B C và đường thẳng 
( )
 = +

= − −
 = +
1 2
: 2
3 2
x t
d y t
z t
. Tìm điểm ( )∈M d để diện tích tam giác ABN nhỏ nhất. 
∈ ⇒ + − − +( ) (1 2 ; 2 ; 3 2 ).M d M t t t 
= = − ⇒ = − − = − − = − = −



 



 


 




 
(2; 1; 2), ( 2; 2;1) [ ; ] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3. , (1; 2; 2)AB AC AB AC n n 
Mặt phẳng ( )ABC qua ( )0;1; 0A và có vecto pháp tuyến = − (1; 2; 2)n nên có phương trình + − − =2 2 2 0x y z 
= = − + − + =



 




2 2 21 1 9[ ; ] ( 3) ( 6) 6 ,
2 2 2ABC
S AB AC 
+ + − − − + − − −
= = =
+ +
1 2 2( 2 ) 2(3 2 ) 2 4 11
( ( ))
31 4 4
t t t t
MH d M ABC 
+
= ⇔ = = ⇔ + = ⇔ = − = −
4 111 9 5 17
 3 . . 3 4 11 6 hay .
3 2 3 4 4MABC
t
V V t t t 
Vậy 
   
− − −   
   
3 3 1 15 9 11
; ; hay ; ;
2 4 2 2 4 2
M M là tọa độ cần tìm. 
2. Cho hai đường thẳngờ ( ) 1 1 2:
2 3 2
x y z
d
+ − −
= =
−
 và ( ) 2 2' :
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Chứng minh ( )d vuông góc với ( )'d , 
viết phương trình đường vuông góc chung của ( )d và ( )'d . 
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển ( )
13 1
2
2
8
1
log 3 1log 9 7 52 2
x
x
−
− − ++ +  
 
. Hãy tìm các giá trị củax biết rằng số hạng thứ 6 
trong khai triển này là 224 . 
Ta có : ( )
88
8
8
0
k
k k k
k
a b C a b
=
−
=
+ = ∑ với ( ) ( ) ( )
13 1
2
2
1 11
log 3 1log 9 7 1 13 552 = 9 7 ; 2 3 1
x
x
x xa b
−
− −− ++ − −= + = = + 
+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là 
 ( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 1
1
5 1 1 1 13 5
6 8
9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1 x x x xT C
− −
− − − −
   
= + + = + +      
   
+ Theo giả thiết ta có : ( ) ( )
11
1 1 1 1
1
9 7
56 9 7 . 3 1 = 224 4 9 7 4(3 1) 
3 1
x
x x x x
x
−−
− − − −
−
+
+ + ⇔ = ⇔ + = +
+
 ( )
1
2
1 1
1
3 1 1
3 4(3 ) 3 0
23 3
x
x x
x
x
x
−
− −
−
 = =
⇔ − + = ⇔ ⇔ 
== 