Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2009 môn thi : Toán, khối B, D

Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo 
ĐỀ THAM KHẢO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 
Môn thi : TOÁN, khối B,D. Ngày thi : 02.03.2009 
Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần 
ĐỀ 03 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 2 3
2
x
y
x
+
=
−
 ( )C 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 0x y m− + = cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp 
tuyến của ( )C tại đó song song với nhau. 
Câu II: ( 2 điểm ) 
1. Giải phương trình : ( ) ( ) ( )2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + = 
2. Giải phương trình : sin 3 sin2 .sin
4 4
x x x
pi pi   
− = +   
   
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân ( )
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx
x x
pi
=
+
∫ 
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . 
Chứng minh : ( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30
3
V a α α α= + − . 
Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) 1ln 1 ln 2 0
2
x x
x
+ − + + =
+
 không có nghiệm thực. 
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1.Theo chương trình Chuẩn : 
Câu VI.a ( 2 điểm ) 
Trong không gian cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )5;3;1 , 4; 1;3 , 6;2;4 , 2;1;7A B C D− − 
( ) ( ) ( )' 6;3; 1 , ' 0;2; 5 , ' 3;4;1 .A B C− − 
1. Tìm tọa độ điểm 'D sao cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D có cùng trọng tâm. 
2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3 2MA MB MC MD MA MB− + + = −



 



 



 



 


 




. 
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số không âm và thỏa mãn 1x y+ = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
biểu thức : 23 3x yA = + 
2. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) 
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho ( )2;5;3A và đường thẳng ( ) 1 2:
2 1 2
x y z
d
− −
= = 
1. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ Ađến ( )Q lớn nhất. 
2. Viết phương trình mặt cầu ( )C có tâm nằm trên đường thẳng ( )d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng 
( ) ( ): 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y zα β+ + = + − + = . 
Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : ( ) 242x xf x + −= 
GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt . 
Đáp án đăng tải tại  và một số trang web toán sau 15h cùng ngày . 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 2 3
2
x
y
x
+
=
−
 ( )C 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. Học sinh tự làm . 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 0x y m− + = cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp 
tuyến của ( )C tại đó song song với nhau. 
Giả sử ( )d cắt ( )C tại ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y , tiếp tuyến tại ,A B lần lượt có hệ số góc là : ( ) ( )1 21
7
' ,
2
y x
x
−
=
−
( ) ( )2 22
7
'
2
y x
x
−
=
−
. 
Đường thẳng ( ) : 2d y x m= + cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của ( )C tại đó song song với nhau 
khi và chỉ khi phương trình : ( )2 3 2 1
2
x
x m
x
+
= +
−
 có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thỏa mãn ( ) ( )1 2' 'y x y x= 
Hay phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 2 thỏa mãn ( ) ( ) 1 22 21 2
7 7
4
2 2
x x
x x
− −
= ⇔ + =
− −
( ) ( )
( )
2
2
6 8 2 3 0
2.2 6 .2 2 3 0 2
6
4
2
m m
m m m
m

∆ = − + + >

⇔ + + − − ≠ ⇔ = −

−
 =

Câu II: ( 2 điểm ) 
1. Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0 1x x x x x+ + + + + + + = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3 2x x x x f x f x   ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −   
   
Xét hàm số ( ) ( )22 3f t t t= + + liên tục trên R 
Ta có : ( ) ( )2
2
' 2 3
3
. 0,f t t
t
t
t t R f t= + +
+
+ > ∀ ∈ ⇒ liên tục và đồng biến trên R 
Khi đó ( ) 12 2 1 3
5
x x x⇔ + = − ⇔ = − . 
 2. Giải phương trình : sin 3 sin2 .sin
4 4
x x x
pi pi   
− = +   
   
Đặt : 
3 3 sin 3 sin(3 ) sin 3
4 4
4
2 2 sin2 sin 2 sin2
2 2
x t x t t
t x
x t x t t
pi pi
pi pi
pi
pi pi
  
− = − ⇒ − = − = −  
  
= + ⇒ 
 
= − ⇒ = − = −   
Phương trình cho viết lại : 3 2sin 3 sin2 .sin 3 sin 4 sin 2 cos .sint t t t t t t= ⇔ − = . Bài toán đến đây khá dễ 
dàng . Lưu ý trước khi giải bài toán này , ta cần chứng minh 3sin 3 3 sin 4 sint t t= − . 
Cách khác : Ta có thể dùng trực tiếp khai triển công thức ( )sin sin .sin cos .cosa b a b a b± = ± 
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân ( )
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx
x x
pi
=
+
∫ 
Cách 1 : 
( ) ( )
2 2
3 3
0 0
sin 1
cos
6sin 3 cos cos
6
x
I dx d x
x x x
pi pi
pi
pi
  
= = − −     +
− 
 
∫ ∫ 
Cách 2: 
( ) ( )
2 2
3 3
0 0
sin
6 6sin
sin 3 cos sin 3 cos
x
x
I dx dx
x x x x
pi pi pi pi  
− −  
  
= =
+ +
∫ ∫ 
Cách 3: 
( )
2
3
0
sin
sin 3 cos
x
I dx
x x
pi
=
+
∫ , ( )
2
3
0
cos
sin 3 cos
x
J dx
x x
pi
=
+
∫ 
( )
2
0
2
2
0
1
3 t n
4 6
?
1
3
2 sin 3 cos
I J a x
I
J I
x x
pi
pi
pi

 
+ = − 
 

⇒ =

− + = −
 +
Cách 4 : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 3 3 323
0 0 0 0
sin sin t n 1 t n
. . t n
cossin 3 cos cos t n 3 t n 3 t n 3
x x a x a x
I dx dx dx d a x
xx x x a x a x a x
pi pi pi pi
= = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 5: Đặt : t n
2
x
t a= 
Cách 6 : Đặt : 
6
t x
pi
= − 
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a ,góc ở đáy của mặt bên là α . 
Chứng minh : ( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30
3
V a α α α= + − . 
Gọi ,SH SI lần lượt là đường cao, trong đoạn của hình chóp . 
Theo giả thiết , ta có 
 ;SBC SB aα= = . 
2
21 1 3 3. .
3 3 4 12ABC
BC
V S SH SH BC SH= = = 
SBI∆ vuông, .cos .cos 2 2. .cosBI SB a BC BI aα α α= = → = = 
SBH∆ vuông, 2 3 2 3. cos
3 2 3
BC a
BH α= = 
( )
2 2
2 2 2 2 3 4 cos3 4 cos
3 3
a
SH SB BH SH a
α
α
−
= − = − → = 
( )
3 2 2
2 0
1
cos 3 4 cos
3
1 cos2 1
3 4 cos 3 4 2 cos2 2 cos60 cos2
2 2
V a α α
α
α α α
= −
 +  − = − = − = −   
( ) ( )3 2 0 02 cos sin 30 sin 30
3
V a α α α= + − 
Câu V: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) 1ln 1 ln 2 0
2
x x
x
+ − + + =
+
 không có nghiệm thực. 
Xét hàm số : ( ) ( ) ( ) 1ln 1 ln 2
2
f x x x
x
= + − + +
+
, xác định và liên tục trên khoảng ( )1;− +∞ . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1
' 0, 1
1 2 2 1 2 2
f x x f x
x x x x x x
= − − = − > ∀ > − ⇒
+ + + + + +
 liên tục và đồng biến 
trên khoảng ( )1;− +∞ và ( ) ( )
1
lim lim 0
x x
f x f x
+→ →+∞
= −∞ = , suy ra ( ) 0, 1f x x − . Vậy phương trình cho 
không có nghiệm thực. 
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1.Theo chương trình Chuẩn : 
 Câu VI.a ( 2 điểm ) 
Trong không gian cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )5;3;1 , 4; 1;3 , 6;2;4 , 2;1;7A B C D− − 
( ) ( ) ( )' 6;3; 1 , ' 0;2; 5 , ' 3;4;1 .A B C− − 
1. Tìm tọa độ điểm 'D sao cho hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D có cùng trọng tâm. 
Giả sử ( )' '; '; 'D x y z là tọa độ cần tìm và , 'G G lần lượt là trọng tâm của tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D 
G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên có tọa độ 5 5 15; ;
4 4 4
G
 
 
 
 . Theo bài toán hai tứ diện , ' ' ' 'ABCD A B C D 
có cùng trọng tâm, nên 5 5 15' ; ;
4 4 4
G
 
 
 
'G là trọng tâm của tứ diện ' ' ' 'A B C D , nên ta luôn có : 
( )
' ' ' '
'
'
' ' ' '
' '
'' ' ' '
'
4 4
4 ' 4 ' 4;20
4
20
4
A B C D
G
D
A B C D
G D
D
A B C D
G
x x x x
x
x
y y y y
y y D
zz z z z
z
 + + +
=
 = −
+ + + 
= ⇔ = − ⇒ − − 
 
=+ + + 
=


2. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho 3 2MA MB MC MD MA MB− + + = −



 



 



 



 


 




. 
Giả sử tồn tại điểm ( )0 0 0; ;I x y z thỏa mãn hệ thức 3 2 0IA IB IC ID− + + =

 

 


 

  . 
Ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2; 4; 1
1; 4; 1
3 2 3 8;3 10;3 1
2; 4; 3
2; 2; 1
IA x y z
IB x y z
IA IB IC ID x y z
IC x y z
ID x y z

= − − +

 = − − +
⇒ − + + = − − −
= − − −

= − − +








 

 


 









Tọa độ điểm ( )0 0 0; ;I x y z thỏa mãn hệ thức 
0
0
0
3 8 0
8 10 1
3 2 0 3 10 0 ; ;
3 3 3
3 1 0
x
IA IB IC ID y I
z

− =
  
− + + = ⇔ − = ⇔  
 
− =



 

 


 

 
. 
( )3 2 3 3 2 3 , .MA MB MC MD MI IA IB IC ID MI I MA MB AB− + + = + − + + = ∀ − =


 



 



 



 


 

 

 


 

 


 


 



 


 . 
1
3 2 3
3
MA MB MC MD MA MB MI AB MI AB− + + = − ⇔ = ⇔ =



 



 



 



 


 



 


 



. 
Vậy quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm 8 10 1; ;
3 3 3
I
 
 
 
 , bán kính 1 1
3 3
R AB= = và có phương trình mặt cầu : 
2 2 2
8 10 1 1
3 3 3 9
x y z
     
− + − + − =     
     
. 
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số không âm và thỏa mãn 1x y+ = .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
biểu thức : 23 3x yA = + 
2. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) 
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho ( )2;5;3A và đường thẳng ( ) 1 2:
2 1 2
x y z
d
− −
= = 
1. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất. 
Giả sử mặt phẳng ( )Q có phương trình dạng : 2 2 20, 0ax by cz d a b c+ + + = + + > . 
( )d có vectơ chỉ phương là ( )2;1;2u = và qua điểm ( )1;0;2N , ( )Q có vectơ pháp tuyến là ( ); ; 0n a b c= ≠
  . 
Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d khi ( ) ( )
2 2 0
122 0
2
d a ba b cn u
a ba c dN Q c
 = +  + + =⊥  
⇔ ⇔   ++ + =∈ = −  

 
. 
Khoảng cách từ A đến ( )Q : ( )( )
( )
/ 2 2 2 2
2 2
2
2 5 3
2 5 3 2
2
2
A Q
a b
a b a b
a b c d
d
a b c a b
a b
 +
+ + − + + + + +  
= =
+ +  +
+ + − 
 
 do ( )1 
Thu gọn rồi chia hai trường hợp : 
0b • = , trường hợp này không thỏa đề bài . 
0b • ≠ , chia cả tử và mẫu cho b . 
Khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất khi 1, 4 1, 3a b c d= = − ⇒ = = − . 
Mặt phẳng ( ) : 4 3 0Q x y z− + − = . 
Cách khác ( hay ) 
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng ( )d , khi đó ( ) ( )... 3;1;4M d M
AM u
 ∈
⇔ ⇔ ⊥




 
. 
Giả sử ( )P là mặt phẳng tùy ý chứa ( )d , khi đó ( )M P∈ .Kẻ ( )AH P⊥ , khi đó AH AM≤ . 
Mặt phẳng ( )Q chứa ( )d sao cho khoảng cách từ A đến ( )Q lớn nhất chính là mặt phẳng chứa ( )d đồng thời 
vuông góc với AM . 
Vậy ( ) ( ) ( ) ( )
3;1;4
: : 4 3 0
/ / 1; 4;1
qua M
Q Q x y z
vtpt n AM

⇔ − + − =
= −

 




. 
2. Viết phương trình mặt cầu ( )C có tâm nằm trên đường thẳng ( )d đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng 
( ) ( ): 3 4 3 0, : 2 2 39 0x y x y zα β+ + = + − + = . 
Câu VII.b ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : ( ) 242x xf x + −= 
GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh –Đà Lạt .