Đề thi tuyển học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long bậc trung học phổ thông năm học 2008 – 2009 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
 VĨNH LONG Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc
 ------------------ ------------------------------------------
KỲ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2008 – 2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1 ( 4 điểm ) : Tìm các hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện :
 ( 1 ) 
Bài 2 ( 4 điểm ) : Cho dãy số xác định bởi :
 Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tính 
Bài 3 ( 3 điểm ) : Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 thì phương trình 
 vô nghiệm 
Bài 4 ( 3 điểm ) : Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi , 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình .Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ , mỗi tổ 8 học sinh sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá .
Bài 5 ( 3 điểm ) : Cho tam giác ABC vuông tại C có AE và BF là hai đường trung tuyến .Đặt AE = m , BF = n .Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng :
Bài 5 ( 3 điểm ) : Bốn đường thẳng đôi một song song và không có ba đường thẳng nào nằm trên cùng một mặt phẳng .Một mặt phẳng ( P ) cắt chúng theo thứ tự tại A , B ,C , D .Một mặt phẳng ( P/ ) cắt chúng theo thứ tự tại .Chứng minh rằng hai khối tứ diện D/ABC và có thể tích bằng nhau .
----------------------HẾT ----------------------
KỲ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2008 – 2009
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
BÀI
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
4.0
Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của ( 1 ) theo biến x và y , ta được 
 ( 2 ) 
 ( 3 )
1.5 
 ( 2 ) – ( 3 ) : 
1.5
 Thay vào ( 1 ) ta được b = 0 
 Vậy f ( x ) = ax ,, a là số thực tùy ý
1.0
 2
4.0
 Từ ta có 
1.5
 Xét dãy số xác định bởi ta có :
 Do đó là một cấp số nhân với 
1.0
1.0
0.5
3
3.0
 Xét hàm số , với n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 , ta có :
1.0
 Bảng biến thiên 
1.0
 Từ BBT , ta có : ( vì a > 3 ) 
 Suy ra : y > 0 , 
 Do đó phương trình vô nghiệm trên R
4
3.0
Ta chọn 8 học sinh thỏa yêu cầu đề bài vào tổ 1 , 8 học sinh còn lại tạo thành tổ 2 .
 Chọn 1 HS giỏi , 2 HS khá , 5 HS trung bình có : cách
 Chọn 1 HS giỏi , 3 HS khá , 4 HS trung bình có : cách
 Chọn 2 HS giỏi , 2 HS khá , 4 HS trung bình có : cách
 Chọn 2 HS giỏi , 3 HS khá , 3 HS trung bình có : cách
2.0
 Vậy có : cách
1.0
5
3.0
Đặt BC = a , AC = b , AB = c , ta có
 và 
 Suy ra : 
 ( 1 ) 
0.75
0.75
 Ta có : 
0.75
 Mặt khác : 
 Suy ra : ( 2 ) 
 Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có : 
0.75
6
3.0
Gọi O = AC BD ,
 Do DD/ // OO/ nên 
 và 
 Suy ra và 
1.0
 Đặt 
 Ta có : 
 ( 2 ) 
 ( 3 ) 
1.0
 Đặt d = ( AA/ , CC/ ) thì ( 4 ) 
Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) suy ra điều phải chứng minh
1.0