Đề thi Toán Dự trữ khối D - Đề II

Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề II
Câu I: Cho hàm số (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Câu II: 
1. Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx
2. Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm duy nhất
Câu III: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng và 
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) ^ (P).
2. Tìm các điểm M Î d1, N Î d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Câu IV: 
1. Tính 
2. Giải phương trình: .
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(0, 1) B(2, –1) và các đường thẳng: d1: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m = 0
 d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0
Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho lớn nhất
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải phương trình: .
2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ^ B1C và tính d(BM, B1C).
Bài giải
Câu I:
1.	Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải)
2.	Ta có 
	Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân ta phải có hệ số góc của tiếp tuyến là –1 tức là:
	. Tại x1 = 0 Þ y1 = 0 Þ phương trình tiếp tuyến là y = –x
	. Tại x2 = 2 Þ y2 = 2 Þ phương trình tiếp tuyến là y = –x + 4
Câu II:
1.	Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx (1)
	Đặt: t = tgx . Pt (1) thành	
	Do đó (1) Û tgx = 0 hay tgx = –1 
 Û x = kp hay x = + kp, k
Cách khác
(1) Û (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx
(hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm)
Û cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
Û tgx = -1 hay cos2x = 1Û x = + kp hay x = kp, k
	2.	Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
	(I) 
	Với điều kiện: ta có
	(I) 
	 (*)
 ( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của (*) )
 Đặt , ( a = 1 )
	ycbt Û tìm m để phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thỏa x £ 1
	 Û af(1) < 0 hay 
	 Û 2
Câu III:
1.	d1 đi qua A(1, 3, 0), VTCP 
	Mặt phẳng (P) có PVT 
	M/phẳng (Q) chứa d1 và ^ (P) nên (Q) có PVT 
	Vậy (Q) qua A có PVT nên phương trình (Q):
	–2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = 0 Û 2x + 2y + z – 8 = 0
P/trình tham số d1: 
	P/trình tham số d2: 
	Vậy 
	Mặt phẳng (P) có PVT 
	Vì MN // (P) 
	. Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì MN // (P)
	. t = 1 Þ t' = –1 Þ M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0)
	. t = 0 Þ t' = 0 Þ M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5)
Câu IV:
1. Tính 
	Đặt: u = x2 Þ du = 2xdx ; 	 dv = cosxdx , chọn v = sinx
	Vậy I = 
	Ta có 
	I1 = ; 	Đặt u = x Þ du = dx
	dv = sinxdx, chọn v = - cosx
	I1 = 
	= 
	Vậy : I = 
2.	Giải phương trình 
	Điều kiện 
	(*) Û và x > 0
 và x > 0
	Û (2x - 1) + log2(2x - 1) = x + log2x (**)
	Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiêm cách khi t > 0
	Do đó f(u) = f(v) Û u = v, với u > 0, v > 0
	Vậy từ (**) Û 2x - 1 = x Û 2x - x -1 = 0 (***)
	Lại xét hàm g(x) = 2x - x - 1 khi x > 0
	g'(x) = 2xln2 - 1 , g'(x) = 0 Û 
	Û 
 Ta có g//(x) > 0 với mọi x nên g'(x) là hàm tăng trên R
và 
 giảm nghiêm cách trên 
 và tăng nghiêm cách trên 
 có tối đa là 1 nghiệm trên , và có tối đa là 1 nghiệm trên .
bằng cách thử nghiệm ta có pt (***) có 2 nghiệm là 
 x = 0 và x = 1 . Vì x > 0 nên (*) Û x = 1.
Câu Va:
1/ Gọi n = là số cần tìm. Vì n chẵn Þ a4 chẵn.
	* TH1 : a4 = 0	Ta có	1 cách chọn a4
	6 cách chọn a1
	5 cách chọn a2
	4 cách chọn a3
	Vậy ta có 1.6.5.4 = 120 số n
	* TH2 : a4 ¹ 0. 	Ta có 	3 cách chọn a4
	5 cách chọn a1
	5 cách chọn a2
	4 cách chọn a4
	Vậy ta có 3.5.5.4 = 300 số n .
	Tổng cộng hai trường hợp ta có : 120 + 300 = 420 số n
2.	Tọa độ giao điểm P của d1, d2 là nghiệm của hệ phương trình 
	Ta có 
	Vì nên d1, d2 luôn luôn cắt nhau.
	Ta dễ thấy A(0,1) Î d1 ; B(2,-1) Î d2 và d1 ^ d2
	Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB.
	Ta có (PA + PB)2 £ 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 2
	Þ PA + PB £ 4. Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung 
	Vậy Max (PA + PB) = 4 khi P là trung điểm của cung 
 Þ P nằm trên đường thẳng y = x – 1 qua trung điểm I (1 ;0) của AB
 và IP = Þ P (2 ; 1 ) hay P (0 ;- 1)
 Vậy ycbt Û m = 1 v m = 2
Câu Vb:
1. 	Giải phương trình : 23x+1 - 7.22x + 7.2x - 2 = 0
	Û 2.23x - 7.22x + 7.2x - 2 = 0
	Đặt t = 2x > 0 thì (1) thành 
 2t3 - 7t2 + 7t - 2 =0 
	Û (t - 1)(2t2 - 5t + 2) = 0 Û t = 1 hay t = 2 hay t = 
	Do đó pt đã cho tương đương
 Û x = 0 hay x = 1 hay x = -1	
	2.	Chọn hệ trục Oxyz sao cho 
	ta có A(0 ;0 ;0); A1(0,0,a); C ( - a ;0 ;0 )  Þ B ; 
 B1 ;M	
Þ 
	Þ Þ BM ^ B1C
	Ta có Þ B
C
x
----------@---------
HÀ VĂN CHƯƠNG - PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)