Đề thi Toán Dự trữ khối D - Đề I

Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
2. Tìm m để phương trình: có đúng 2 nghiệm
Câu III: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng 
(P): 
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trong (P) sao cho D ^ d và khoảng cách từ M đến D bằng .
Câu IV: 
1. Tính 
2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a + b = 3.
 Chứng minh: .
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có
 .
2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x ³ 0 và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ³ 0 sao cho DABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích DABC lớn nhất.
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải bất phương trình: .
2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông , AA1 = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính .
Bài giải
Câu I:
1.	Khảo sát (Bạn đọc tự làm)
2.	Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là 
	Phương trình tiếp tuyến (D) qua A có dạng 
	(D) tiếp xúc với (C) 
	Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
	 và 
 . 	Do đó 
	Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 
Câu II:
1.	Giải phương trình: (1)
	(1)	
2.	P/trình cho (1)
	 	 (1) đặt: 
	(1)	 (*)
	Phương trình cho có đúng 2 nghiệm Û phương trình (*) có đúng 2 nghiệm t ³ 0
	Vẽ đồ thị của hàm số 
	Ta có 
	 y
	4
	2
	0
	1 2 3	 x
Từ đồ thị ta có ycbt 2 < m £ 4
Cách khác
 và 
Do đó, ycbt 2 < m £ 4
( khi 2 3 )
Câu III:
1.	Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
	Phương trình số của d: có VTCP 
	Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + 2 = 0 
 Þ t = –1Þ M ( 1 ;- 3 ; 0)
	Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có PVT 
	Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:
	2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = 0 Û 2x – 3y + z – 11 = 0 (Q)
 2. Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mặt phẳng P là:
Q
P
D
N
M
d
d'
	d': có VTCP 
	Þ Phương trình tham số của d': 
	Trên d' tìm điểm N sao cho MN = 
	Vì N Î d' Þ N(4t +1, –3 + t, – 5t)
. t = 1 Þ N1(5, –2, –5) 
	Đường thẳng D1 qua N1 nằm trong (P), vuông góc d' có VTCP . 
Vậy phương trình D1: 
	. t = –1 Þ N2(–3, –4, 5)
	Đường thẳng D2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d' có VTCP 
Vậy phương trình D2: 
Câu IV:
1.	Tính 
2. 	Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3. Suy ra:
	. , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4
	bđt đã cho tương đương với	
	 (A)
Đặt x = a+b > 0 
 ( vì x > 0)
	Thế x như trên , (A) thành 
	 , với x³ 2
 , với x³ 2
 , với x³ 2 (hiển nhiên đúng)
	Vậy bđt cho đã được chứng minh.
Câu Va:
1.	Với mọi n Î N ta có
	Lấy đạo hàm hai vế ta có
	Cho x = 1 ta có
2.	Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c ³ 0
	Ta có DABC vuông tại A 
	Ta có ; 
	Do DABC vuông tại A 
	Ta lại có 
	vì nên SABC = (b – 2)2 + 1 lớn nhất Û b = 0
	Khi đó c = 5. Vậy, ycbt B(0, 0) và C(0, 5)
 Câu Vb:
1.	Giải phương trình: (1)
	(1)	
Chọn hệ trục Oxyz sao cho A(0,0,0); C(-a,0,0); B(0,a,0), 
 A1(0,0,) 
Suy ra C1(-a,0,) và 
; ; 
	Ta có: 
	Vậy MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA1 và BC1
	Ta có 
	Ta có 	
	 (đvtt)
----------@---------
HÀ VĂN CHƯƠNG - PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)