Đề thi Toán Dự trữ khối B - Đề I

Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13).
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
2. Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Câu III: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Câu IV: 
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0 và .
2. Chứng minh rằng hệ có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Tìm x, y Î N thỏa mãn hệ 
2. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải phương trình
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Bài giải
Câu I:
1.	Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – 5 (Bạn đọc tự làm)
2.	Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua A(–1, –13)
	Ta có y' = –6x2 + 12x
	Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm thuộc (C) Û 
	Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0: y – y0 = f '(x0)(x – x0)
	Û 
	Vì tiếp tuyến đi qua A(–1, –13) nên
	Û 
 Ta có 
	M(1, –1) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
 y + 1 = 6(x – 1) Û y = 6x – 7
	M(–2, 35) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
 y – 35 = –48(x + 2) Û y = –48x – 61
Câu II:
1.	Giải phương trình: (1)
(1)	
2.	Tìm m để phương trình: có nghiệm
	Xét hàm số (điều kiện: x ³ 0)
	, "x > 0
	Vì 
Ta có f giảm trên và nên ta có 
.	
Vậy, phương trình (1) có nghiệm 
Û miền giá trị của f trên đoạn Û 0 < m £ 1
Câu III:
1.	Đường thẳng AB có VTCP 
	Phương trình đường thẳng AB: 
	Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t) khi
 (–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = 0 Û t = 1
	Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(–1, 3, –2)
2.	Tìm M Î (P) để MA2 + MB2 nhỏ nhất
	Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: 
	Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất Û MH2 nhỏ nhất
	Ta để thấy H(1, 1, 1), M Î (P)
	MH nhỏ nhất Û MH ^ (P) và để ý rằng mặt phẳng (P): x + y + z = 0 có PVT và O Î (P) Þ M º (0, 0, 0)
	Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất.
	(khi đó, ta có 
 min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
Câu IV:
1.	Tọa độ giao điểm của 2 đường và y = 0 là A(0, 0); B(1, 0). Khi đó 0 £ x £ 1 Þ x(1 – x) ³ 0 Þ 
	Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đã cho là
	Đặt: x = tgt Þ dx = (tg2t + 1)dt 
Đổi cận 
	Vậy 
	2. Đặt: f(t) = et, 
 Ta có f tăng nghiêm cách trên và g giảm nghiêm cách trên từng khoảng 
 Xác định.
	Hệ phương trình (1) 
	Þ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (*)
	Nếu x > y Þ f(x) > f(y) Þ g(y) < g(x) ( do(*) )
y > x ( do g giảm nghiêm cách ) Þ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý. 
Do đó, (1) (2) 
	Xét: (|x| > 1 )
	Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 Þ hệ vô nghiệm 
	Khi x > 1 Þ 
	và , 
	Vậy h(x) liên tục và có đồ thị là đường cong lõm trên (1, +¥)
	Do đó để chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0
	Chọn x0 = 2 
	Suy ra: h(x) = 0 có đúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1
Câu Va:
1.	Với điều kiện: x ³ 2, y ³ 3, ta có:
2.	 y
	0	2	4	6	x
	 A	 D
	 –3	 I
	 –5 B	 C
	Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
	Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I Î d
	Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên
	. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2	Þ A(2, –1)
	. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6	Þ A(6, –5)
	. Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
	. Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) 
Câu Vb:
1.	Giải phương trình: 
(Bạn đọc tự vẽ hình)
+BC vuông góc với (SAB) 
 BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
AH vuông góc với (SBC) AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
và (2) SC vuông góc với (AHK )
SB =
AH.SB = SA.AB AH=SH= SK=
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
Ta có HK song song với BD nên .
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 
 AM=
Cách khác: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 
A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; )
----------@---------
HÀ VĂN CHƯƠNG - PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)