Đề thi thử tuyển sinh đại học lần 1 môn: Toán; khối: A + B

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ­ LẦN 1 
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu  Môn: TOÁN; Khối: A + B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số  3 2 3 2 y x x = - +  . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài 
đoạn thẳng AB bằng  4 2 . 
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình 
( ) 2  2 
2 
sin cos 2sin  2 
sin sin 3 
1 cot 2 4 4 
x x x 
x x 
x 
p p + - æ ö æ ö æ ö = - - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ + è ø è ø è ø 
. 
2. Giải hệ phương trình 
( ) 
3 
2 
2 
7 
2 2 2 
4 
x y 
y x x 
ì - + = ï ï 
í 
ï + - + = - 
ï î 
( ) , x y Ρ  . 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 
( ) 3 2 
1 
1 ln 2 1 
2 ln 
e  x x x 
I dx 
x x 
+ + + 
= 
+ ò  . 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có  ·  0 , 2 , 120 AC a BC a ACB = = =  và đường thẳng 
' A C  tạo với mặt phẳng ( ) ' ' ABB A  góc  0 30  . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng  ' , ' A B CC  theo a. 
Câu V (1,0 điểm) Cho phương trình ( ) 2 4 6 3 2 2 3 x x x m x x + - - = + + - 
Tìm m để phương trình có nghiệm thực. 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2.0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( )  2 2 : 18 6 65 0 C x y x y + - - + =  và ( )  2 2 ' : 9 C x y + = 
Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm 
tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng  4,8. 
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 1 2 
1 
x t 
d y t 
z 
= ì 
ï = - + í 
ï = î 
và điểm ( ) 1;2;3 A -  . Viết phương trình 
mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng  3 . 
Câu VII.a (1.0 điểm) Giải bất phương trình ( ) ( ) 2  2 2 2 1 log 2 1 log 2 0 2  x x x - - - ³  . 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2.0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm ( ) 3;3 I  và  2 AC BD =  . Điểm  4 2; 
3 
M æ ö ç ÷ 
è ø 
thuộc đường 
thẳng  AB , điểm 
13 
3; 
3 
N æ ö ç ÷ 
è ø 
thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo  BD  biết đỉnh  B  có 
hoành độ nhỏ hơn 3. 
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 
x 1 y 2 z x 2 y 1 z 1 
d : ; d : 
1 2 1 2 1 1 
+ + - - - 
= = = =  và mặt 
phẳng ( ) P : x y 2z 5 0 + - + =  . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt 
( ) ( ) 1 2 d , d  lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. 
Câu VII.b (1.0 điểm) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 2 3 3 9  3 
1 
log 1 log 2 1 log 1 
2 
x x x + = - + +  . 
­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ diễn đàn  đã gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ­ LẦN 1 
Môn: TOÁN; Khối: A+B 
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Câu  Đáp án  Điểm 
1. (1,0 điểm) 
·  Tập xác định:  D = ¡ 
·  Sự biến thiên: 
ￚ Chiều biến thiên:  2 ' 3 6 y x x = -  ;  ' 0 0 y x = Û =  hoặc  2 x = 
0.25 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ;0 -¥  và ( ) 2;+¥  ; nghịch biến trên khoảng 
( ) 0;2 
ￚ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại  2 x =  ; yCT  2 = -  , đạt cực đại tại  0 x =  ; yCĐ  2 = 
ￚ Giới hạn:  lim ; lim 
x x 
y y 
®-¥ ®+¥ 
= -¥ = +¥ 
0.25 
ￚ Bảng biến thiên:  0.25 
·  Đồ thị:  0.25 
2.(1,0 điểm) 
Đặt ( ) ( ) 3 2 3 2 ; 3 2 ; ; 3 2 A a a a B b b b - + - +  với  a b ¹ . Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) 
tại A, B là: ( ) ( ) 2 2 ' 3 6 ; ' 3 6 A A B B k y x a a k y x b b = = - = = -  . 
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi 
( ) ( ) 2 2 3 6 3 6 2 0 2 A B k k a a b b a b a b b a = Û - = - Û - + - = Û = -  . 
0.25 
I 
(2,0 điểm) 
Độ dài đoạn AB là:  0.25
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
2 2  3 3 2 2 
2 2 2  2 2 
2 2 2 2 
3 
. 3 
4 1 4 1 . 1 3 
AB a b a b a b 
a b a b a ab b a b 
a a a 
é ù = - + - - - ë û 
é ù = - + - + + - + ë û 
é ù = - + - - - ë û 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
6 4 2 
6 4 2 
2 
4 2 4 1 24 1 40 1 32 0 
1 6 1 10 1 8 0 
3 
1 4 
1 
AB a a a 
a a a 
a 
a 
a 
= Û - - - + - - = 
Û - - - + - - = 
= é 
Û - = Û ê = - ë 
. 
0.25 
·  Với  3 1 a b = Þ = - 
·  Với  1 3 a b = - Þ = 
Vậy ( ) ( ) 3;2 , 1; 2 A B - -  hoặc ( ) ( ) 1; 2 , 3; 2 A B - -  . 
0.25 
1. (1,0 điểm) 
Điều kiện:  sin 0 x ¹  (*). Khi đó: 
Phương trình đã cho tương đương với: ( )  2 s in2 cos 2 .sin 2 cos 2 .sin 
4 
x x x x x p æ ö + = - ç ÷ 
è ø 
0.25 
( ) cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 0 
4 4 4 
x x x x x p p p æ ö æ ö æ ö Û - = - Û - - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø è ø 
0.25 
·  sin 1 2 
2 
x x k p p = Û = + ( ) k ΢  ,  thỏa (*)  0.25 
· 
3 
cos 2 0 
4 8 2 
k 
x x p p p æ ö - = Û = + ç ÷ 
è ø 
( ) k ΢  ,  thỏa (*) 
Vậy, phương trình có nghiệm: ( ) 3 2 ;     . 
2 8 2 
k 
x k x k p p p p = + = + ΢ 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Điều kiện:  2; 2 x y ³ - ³ - 
Đặt  2; 2 u x v y = + = +  với  , 0 u v ³  (*) . Hệ trở thành: 
( ) 
2 
2 2 
7 
(1) 
2 
1 
2 4     (2) 
4 
u v 
v u u 
ì - = ï ï 
í 
ï + - = 
ï î 
0.25 
Thế (1) vào (2) ta được phương trình: 
2 
2 3 
4 3 2 
7 1 
2 8 
2 4 
2 7 8 12 0 
u u u 
u u u u 
æ ö - + - = ç ÷ 
è ø 
Û + - - + = 
0.25 
( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 6 0 u u u u Û - - + + = 
1 2 u u Û = Ú =  (vì  2  5 6 0, 0 u u u + + > " ³  ) 
·  Với  1 u =  thay vào (1) ta được 
5 
2 
v = -  , không thỏa (*) 
·  Với  2 u =  thay vào (1) ta được 
1 
2 
v =  , thỏa (*) 
0.25 
II 
(2,0 điểm) 
Vậy, hệ phương trình có nghiệm: 
2 
7 
4 
x 
y 
= ì 
ï 
í 
= - ï î 
. 
0.25 
(1,0 điểm) III 
(1,0 điểm) ( ) 3 2  2 
1 1 1 
1 ln 2 1  1 ln 
2 ln 2 ln 
e e e x x x  x 
I dx x dx dx 
x x x x 
+ + + + 
= = + 
+ + ò ò ò 
0.25
3 3 
2 
1  1 
1 
3 3 
e e  x e 
x dx 
é ù - 
= = ê ú 
ë û 
ò 
0.25 
( ) 
1 
1 1 
2 ln 1 ln 
ln 2 ln 
2 ln 2 ln 
e e 
e d x x x 
dx x x 
x x x x 
+ + 
= = é + ù ë û + + ò ò ( ) 
2 
ln 2 ln 2 ln 
2 
e 
e 
+ 
= + - = 
0.25 
Vậy 
3  1 2 
ln 
3 2 
e e 
I 
- + 
= +  . 
0.25 
(1,0 điểm) 
Trong (ABC), kẻ CH AB ^ ( ) H AB Π , suy ra ( ) ' ' CH ABB A ^  nên A’H là hình chiếu 
vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó: 
( ) · ( ) · ·  0 ' , ' ' ' , ' ' 30 A C ABB A A C A H CA H = = = é ù ë û  . 
0.25 
· 
2 
0 1 3 . .s in120 
2 2 ABC 
a 
S AC BC D = = 
·  2 2 2 0 2 2 . .cos120 7 7 AB AC BC AC BC a AB a = + - = Þ = 
· 
2.  21 
7 
ABC S  a CH 
AB 
D = = 
Suy ra: 
0 
2 21 
' 
s in30 7 
CH a 
A C = =  . 
0.25 
Xét tam giác vuông AA’C ta được:  2 2 
35 
' ' 
7 
a 
AA A C AC = - =  . 
Suy ra: 
3  105 
. ' 
14 ABC 
a 
V S AA D = =  . 
0.25 
IV 
(1,0 điểm) 
Do ( ) '/ / ' '/ / ' ' CC AA CC ABB A Þ  . Suy ra: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )  21 ' , ' ', ' ' , ' ' 
7 
a 
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH = = = =  . 
0.25 
(1,0 điểm) V 
(1,0 điểm)  Điều kiện:  2 3 x - £ £  .Đặt  2 2 3 t x x = + + -  với [ ] 2,3 x Î - 
Ta có: 
1 1 3 2 2 
' 
2 2 3 2 2 3 
x x 
t 
x x x x 
- - + 
= - = 
+ - + - 
;  ' 0 3 2 2 1 y x x x = Û - = + Û = - 
Bảng biến thiên: 
Từ BBT suy ra:  5,5 t é ù Î ë û 
0.25
Do  2 2 2 2 3 4 6 3 14 t x x x x x t = + + - Û + - - = -  nên phương trình trở thành: 
2 
2  14 14 
t 
t mt m 
t 
- 
- = Û = 
0.25 
Xét hàm số ( ) 
2  14 t 
f t 
t 
- 
=  với  5,5 t é ù Î ë û , ta có: 
( ) ( ) 
2 
2 
14 
' 0, 5,5 
t 
f t t f t 
t 
+ é ù = > " Î Þ ë û  đồng biến trên  5,5 
é ù 
ë û 
0.25 
Phương trình có nghiệm thực Û ( ) ( )  9 5 11 5 5 
5 5 
f m f m £ £ Û - £ £ 
Vậy, phương trình có nghiệm thực khi 
9 5 11 
5 5 
m - £ £  . 
0.25 
1. (1,0 điểm) 
Đường tròn (C’) có tâm ( ) O 0;0  , bán kính R OA 3 = =  . Gọi H AB OM = I  , do H là 
trung điểm của AB nên 
12 
AH 
5 
=  . Suy ra:  2 2 
9 
OH OA AH 
5 
= - =  và 
2 OA 
OM 5 
OH 
= = 
0.25 
Đặt ( ) M ; x y  , ta có: ( ) 
2 2 
2 2 
M  18 6 65 0 
OM 5  25 
C  x y x y 
x y 
ì Î ì + - - + = ï ï Û í í 
= + = ï ï î î 
0.25 
2 
2 2 
3 15 0  9 20 0 
25 15 3 
x y  x x 
x y y x 
+ - = ì ì - + = 
Û Û í í 
+ = = - î î 
0.25 
4 5 
3 0 
x x 
y y 
= = ì ì 
Û Ú í í = = î î 
Vậy, trên (C) có hai điểm M thỏa đề bài là: ( ) M 4;3  hoặc ( ) M 5;0  . 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
Đường thẳng (d) đi qua điểm ( ) 0; 1;1 M -  và có VTCT ( ) 1;2;0 u = 
r 
. Gọi ( ) , , n a b c = 
r 
là 
VTPT của (P) với  2 2 2  0 a b c + + ¹  . Do (P) chứa (d) nên: 
. 0 2 0 2 u n a b a b = Û + = Û = - 
r r 
(1) 
Phương trình (P) có dạng: 
( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 a x b y c z ax by cz b c - + + + - = Û + + + - =  (2) 
0.25 
( )  2 2 
2 2 2 2 2 
3 2 5 2 
, ( ) 3 3 3 5 2 3 5 
5 
a b c b c 
d A P b c b c 
a b c b c 
- + + + 
= Û = Û = Û + = + 
+ + + 
0.25 
( ) 2 2 2 4 4 0 2 0 2 b bc c b c c b Û - + = Û - = Û =  (3)  0.25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
Do  0 b ¹  nên thay (1), (3) vào (2) ta được phương trình 
2 2 0 2 2 1 0 bx by bz b x y z - + + - = Û - - + = 
Vậy, phương trình (P) là:  2 2 1 0 x y z - - + =  . 
0.25
(1,0 điểm) 
Điều kiện:  0 2 x x  
Bất phương trình đã cho tương đương với: ( ) 2 2 2 log 2 1 log 2 x x x - ³ - 
2 2 1 2 x x x Û - ³ - 
0.25 
Xét 2 trường hợp sau: 
1)  0 x <  . Ta được hệ: 
2 2 
0 0 
1 0 
1 2 2 1 
x x 
x 
x x x x 
< < ì ì 
Û Û - £ < í í 
- ³ - £ î î 
0.25 
2)  2 x >  . Ta được hệ: 
2 2 
2 2 
2 1 2 4 1 0 
x x 
x x x x x 
> > ì ì 
Û í í 
- ³ - - + £ î î 
2 
2 2 3 
2 3 2 3 
x 
x 
x 
> ì ï Û Û < £ + í 
- £ £ + ï î 
0.25 
VII.a 
(1,0 điểm) 
Vậy, nghiệm bất phương trình là  1 0 2 2 3 x x - £ < Ú < £ +  .  0.25 
(1,0 điểm) 
Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là 
5 
' 3; 
3 
N æ ö ç ÷ 
è ø 
Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình:  3 2 0 x y - + = 
Suy ra: ( ) 
3 9 2  4 
, 
10 10 
IH d I AB 
- + 
= = = 
0.25 
Do  2 AC BD =  nên  2 IA IB =  . Đặt  0 IB x = >  , ta có phương trình 
2 
2 2 
1 1 5 
2 2 
4 8 
x x 
x x 
+ = Û = Û = 
0.25 
Đặt ( ) , B x y  . Do  2 IB =  và  B AB Π nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 
( ) ( ) 2 2  2 
14 
4 3 5 18 16 0 3 3 2  5 
8 2 3 2 3 2 0 
5 
x  x y y x y 
y x y x y  y 
ì = ï ì = > ì - + = ì - + - = ï ï Û Û Ú í í í í = = - - + = î ï î ï î = 
ï î 
0.25 
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn 
14 8
; 
5 5 
B æ ö ç ÷ 
è ø 
Vậy, phương trình đường chéo BD là:  7 18 0 x y - - =  . 
0.25 
2.(1,0 điểm) 
VI.b 
(2,0 điểm) 
Đặt ( ) ( ) A 1 a; 2 2a;a ,B 2 2b;1 b;1 b - + - + + + +  , ta có  0.25
( ) AB a 2b 3; 2a b 3; a b 1 = - + + - + + - + + 
uuur 
Do AB song song với (P) nên: ( ) P AB n 1;1; 2 b a 4 ^ = - Û = - 
uuur uur 
Suy ra: ( ) AB a 5; a 1; 3 = - - - - 
uuur 
0.25 
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 AB a 5 a 1 3 2a 8a 35 2 a 2 27 3 3 = - + - - + - = - + = - + ³ 
Suy  ra: { a 2 min AB 3 3  b 2 = = Û = -  , ( ) 1; 2;2 A  , ( ) 3; 3; 3 AB = - - - uuur 
0.25 
Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: 
x 1 y 2 z 2 
1 1 1 
- - - 
= =  . 
0.25 
(1,0 điểm) 
Điều kiện:  1 x > -  và 
1 
2 
x ¹  . Khi đó: 
0.25 
Phương trình đã cho tương đương với : ( ) ( ) 3 3 3 log 1 log 2 1 1 x x x + = é - + ù ë û 
( ) 3 
2 
1 2 1 1 
1 2 1 
x x x 
x x x 
Û + = - + 
Û - + = - 
0.25 
·  Với 
1 
2 
x >  thì ta được phương trình:  2 
1 
3 2 0 
2 
x 
x x 
x 
= é 
- + = Û ê = ë 
0.25 
VII.b 
(1,0 điểm) 
·  Với  1 1 
2 
x - < <  thì ta được phương trình:  2  0 0 x x x + = Û = 
Vậy, phương trình có tập nghiệm: { } 0;1;2 S = 
0.25 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­