Đề thi thử đại học và cao đẳng môn: Toán

SỞ GD & ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT QUẢNGXƯƠNG 4 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): 
Câu I: (2  điểm)  Cho hàm số  2 2 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
+ 
(C) 
1.  Khảo sát sự biến thiên và xẽ đồ thị hàm số (C). 
2.  Tìm m để đường thẳng d: y =  2x + m   cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =  5 . 
Câu II: (2 điểm) 
1.  Giải phương trình:  2 cos5 .cos 3 sin cos8 x x x x + =  , (x ΠR) 
2.  Giải hệ phương trình: 
2 
5 3 
x y x y y 
x y 
ì + + - = ï 
í 
+ = ï î 
(x, yΠR) 
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân sau: 
1 
3 1 
0 
x e dx + ò 
Câu IV: (1 điểm)  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =  2 3a , 
BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng  3 
4 
a  , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Câu V: (1 điểm) Cho x,y ΠR và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
( ) ( ) 3 3 2 2 
( 1)( 1) 
x y x y 
P 
x y 
+ - + 
= 
- - 
PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2  ­ 2x ­ 2my + m 2  ­ 24 = 0 có tâm I 
và đường thẳng D: mx + 4y  = 0. Tìm m biết đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân 
biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. 
2.  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 
1 1 1 
2 1 1 
x y z + - - 
= = 
- 
;  d2: 
1 2 1 
1 1 2 
x y z - - + 
= =  và mặt phẳng (P): x  ­ y  ­ 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường 
thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng (P) và D cắt hai đường thẳng d1  , d2  . 
Câu VII.a (1 điểm)  Giải bất phương trình 
2 
2 
log  2log 2 20 0 
x  x x + - £ 2 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:  x ­ y ­ 2 = 0, 
phương trình cạnh AC: x + 2y ­ 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh 
BC. 
3.  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :  1 3 
1 1 4 
x y z - - 
= =  và điểm       M(0 ; 
­ 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng D đồng thời 
khoảng cách giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4. 
Câu VII.b (1 điểm)  Giải phương trình nghiệm phức :  25  8 6 z i 
z 
+ = - 
.. Hết . 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Cảm ơn từ trongxuanht@gmail.com gửi đến www.laisac.pge.tl
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ­ NĂM: 2011­2012 
CÂU  NỘI DUNG  ĐIỂM 
Tập xác định D = R\{­ 1} 
Sự biến thiên: 
­Chiều biến thiên:  2 
4 
' 0, 
( 1) 
y x D 
x 
= > " Î 
+ 
. 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (­ ¥; ­ 1) và (­ 1 ; + ¥). 
­ Cực trị: Hàm số không có cực trị. 
0,25 
­ Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận: 
2 2 2 2 
lim 2 ; lim 2 
1 1 
x x 
x x x x ®-¥ ®+¥ 
- - 
= = 
+ + 
. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. 
1 1 
2 2 2 2 
lim ; lim 
1 1 
x x 
x x x x - + ®- ®- 
- - 
= +¥ = -¥ 
+ + 
. Đường thẳng x = ­ 1 là tiệm cận đứng. 
0,25 
­Bảng biến thiên: 
x  ­¥  ­ 1  +¥ 
y’  +  + 
y 
+¥  2 
2  ­ ¥ 
0,25 I­1 
(1 điểm) 
Đồ thị: 
­Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (1;0) 
­Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;­ 2) 
­ Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm 
hai tiệm cận I(­ 1; 2). 
* Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I(2; ­1) làm tâm đối xứng. 
0,25 
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 + mx +  m + 2 = 0 , (x≠ ­ 1)   (1)  0,25 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û PT(1) có 2  nghiệm phân biệt khác ­1 Û m 2 ­ 8m ­ 16 > 0  (2)  0,25 
Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2  là 2 nghiệm của PT(1). 
Theo ĐL Viét ta có 
1 2 
1 2 
2 
2 
2 
m 
x x 
m 
x x 
ì + = - ï ï 
í + ï = 
ï î 
.  0,25 I­2 
(1 điểm) 
AB 2 = 5 Û  2 2 1 2 1 2 ( ) 4( ) 5 x x x x - + - = Û 
2 
1 2 1 2 ( ) 4 1 x x x x + - = Û m 
2 ­ 8m ­ 20 = 0 
Û m = 10 , m =  ­ 2  ( Thỏa mãn (2)) 
KL: m = 10, m = ­ 2. 
0,25 
PT Û cos2x + cos8x + sinx = cos8x  0,25 II­1 
(1 điểm) Û 1­ 2sin 2 x + sinx = 0  0,25 
y 
x 
2  y=2 
x= ­1 
­1  O 
1 
­2
Û sinx =  1 v 
1 
sin 
2 
x = -  0,25 
Û 
7 
2 ; 2 ; 2 , ( ) 
2 6 6 
x k x k x k k Z p p p p p p = + = - + = + Π 0,25 
ĐK: x + y ³ 0 , x ­ y ³ 0, y ³ 0  0,25 
PT(1) Û  2 2 2 2 2 2 4 2 x x y y x y y x + - = Û - = - 
2 
2 0 (3) 
5 4 (4) 
y x 
y xy 
- ³ ì 
Û í 
= î 
0,25 
Từ PT(4) Û y = 0 v 5y = 4x 
Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9  (Không thỏa mãn đk (3)) 
0,25 
II­2 
(1 điểm) 
Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có  2 3 1 x x x + = Û = 
KL: HPT có 1 nghiệm 
4 
( ; ) 1; 
5 
x y æ ö = ç ÷ 
è ø 
0,25 
Tính:  I= 
1 
3 1 
0 
x e dx + ò 
Đặt  3 1 x t + =  ; t  0 ³  2 
2 
3 1 . 
3 
x t dx t dt ® + = ® =  ; 
0 1 
1 2 
x t 
x t 
= ® = ì 
í = ® = î 
0,25 
Vậy      I= 
2 
1 
2 
3 
t te dt ò  Đặt  t t 
u t du dt 
dv e dt v e 
= ® = 
= ® = 
.  0,5 
III 
(1 điểm) 
Ta có 
2 
2 
1 
2 2 
( ) 
3 3 
t t I te e dt e = - = ò  0,25 
Từ giả thiết AC =  2 3 a  ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi 
đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =  3 a  ; BO = a , do đó  ·  0 60 A D B = 
Hay tam giác ABD đều. 
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao 
tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). 
0,25 
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có 
DH AB ^  và DH =  3 a  ;  OK // DH  và 
1 3 
2 2 
a 
OK DH = = Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) 
Gọi I là hình chiếu của  O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng 
cách từ O đến mặt phẳng (SAB). 
0,25 
0,25 
IV 
(1 điểm) 
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ  2 2 2 
1 1 1 
2 
a 
SO 
OI OK SO 
= + Þ = 
Diện tích đáy  2 4 2. . 2 3 D S ABC ABO S OAOB a D = = =  ; 
đường cao của hình chóp 
2 
a 
SO =  . 
Thể tích khối chóp S.ABCD: 
3 
. 
1 3 
. 
3 3 D D S ABC ABC 
a 
V S SO = = 
0,25 
V 
(1 điểm)  Đặt t = x + y ; t  > 2. Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y) 
2  ta có 
2 
4 
t 
xy £  0,25 
S 
A 
B 
K 
H 
C 
O 
I D 
3a 
a
3 2  (3 2) 
1 
t t xy t 
P 
xy t 
- - - 
= 
- + 
. Do 3t ­ 2 > 0 và 
2 
4 
t 
xy - ³ -  nên ta có 
2 
3 2 
2 
2 
(3 2) 
4 
2 
1 
4 
t t 
t t  t 
P 
t  t 
t 
- 
- - 
³ = 
- 
- + 
0,25 
Xét hàm số 
2 2 
2 
4 
( ) ; '( ) ; 
2 ( 2) 
t t t 
f t f t 
t t 
- 
= = 
- - 
f’(t) = 0 Û t = 0 v t = 4. 
t  2                                                  4  +¥ 
f’(t)  ­  0  + 
f(t) 
+ ¥  +¥ 
8 
0,25 
Do đó min P = 
( 2; ) 
min ( ) f t 
+¥ 
= f(4) = 8 đạt được khi 
4 2 
4 2 
x y x 
xy y 
+ = = ì ì 
Û í í = = î î 
0,25 
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.  0,25 
Gọi H là trung điểm của dây cung AB. 
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB. 
IH = 
2 2 
| 4 | | 5 | 
( , ) 
16 16 
m m m 
d I 
m m 
+ 
D = = 
+ + 
0,25 
2 
2 2 
2  2 
(5 ) 20 
25 
16  16 
m 
AH IA IH 
m  m 
= - = - = 
+ + 
0,25 
VI.a ­1 
(1 điểm) 
Diện tích tam giác IAB là  12 2 12 S IAB IAH S D D = Û = 
Û  2 
3 
( , ). 12 25 | | 3( 16)  16 
3 
m 
d I AH m m 
m 
= ± é 
ê D = Û = + Û 
ê = ± 
ë 
0,25 
Gọi A = d1Ç(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 Ç (P) suy ra B(2; 3; 1)  0,25 
Đường thẳng D thỏa mãn bài toán đi qua A và B.  0,25 
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng D là  (1;3; 1) u = - 
r 
0,25 
VI.a ­2 
(1 điểm) 
Phương trình chính tắc của đường thẳng D là: 
1 2 
1 3 1 
x y z - - 
= = 
- 
0,25 
Điều kiện: x> 0 ; BPT Û 
2 
2 2 4log 2log 2 20 0 x x x + - £  0,25 
Đặt  2 log t x =  . Khi đó  2 
t x =  . 
BPT trở thành 
2 2 2 2 4 2 20 0 t t + - £  . Đặt y = 
2 2 2  t  ; y ³ 1. 
0,25 
BPT trở thành y 2 + y ­ 20 £ 0 Û ­ 5 £ y £ 4.  0,25 
VII.a 
(1 điểm) 
Đối chiếu điều kiện ta có : 
2 2 2 2 2 4 2 2 1 t  t t £ Û £ Û £ Û ­ 1 £ t £ 1. 
Do đó ­ 1 £  2 log  x £ 1 Û 
1 
2 
2 
x £ £ 
0,25 
I 
A  B 
D 
H 
5
Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT: 
­ ­ 2 0 
2 ­ 5 0 
x y 
x y 
= ì 
í + = î 
Û A(3; 1)  0,25 
Gọi B(b; b­ 2) Î AB, C(5­ 2c; c) Î AC  0,25 
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên 
3 5 2 9 
1 2 6 
b c 
b c 
+ + - = ì 
í + - + = î 
Û 
5 
2 
b 
c 
= ì 
í = î 
. Hay B(5; 3), C(1; 2)  0,25 
VI.b­ 1 
(1 điểm) 
Một vectơ chỉ phương của cạnh BC là  ( 4; 1) u BC = = - - 
r uuur 
. 
Phương trình cạnh BC là: x ­ 4y + 7 = 0 
0,25 
Giả sử  ( ; ; ) n a b c 
r 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0. 
Đường thẳng D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương  (1;1;4) u = 
r  0,25 
Từ giả thiết ta có 
2 2 2 
. 4 0 
/ /( ) (1) 
| 5 | 
4 ( ; ( )) 4 (2) 
n u a b c 
P 
a b 
d A P 
a b c 
ì = + + = 
D ì ï Û + í í = = î ï + + î 
r r 
0,25 
Thế b = ­ a ­ 4c    vào (2) ta có  2 2 2 2 2 ( 5 ) (2 17 8 ) ­ 2 8 0 a c a c ac a ac c + = + + Û - = 
Û  4 2 
a a 
v 
c c 
= = - 
0,25 
VI.b­2 
(1 điểm) 
Với  4 
a 
c 
=  chọn a = 4, c = 1 Þ b = ­ 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x ­ 8y + z ­ 16 = 0. 
Với  2 
a 
c 
= -  chọn a = 2, c = ­ 1 Þ b =  2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y ­ z + 4 = 0. 
0,25 
Giả sử z = a +bi với ; a,b Î R và a,b không đồng thời bằng 0.  0,25 
Khi đó  2 2 
1 1 
; 
a bi 
z a bi 
z a bi a b 
- 
= - = = 
+ +  0,25 
Khi đó phương trình  2 2 
25 25( ) 
8 6 8 6 
a bi 
z i a bi i 
z a b 
- 
+ = - Û - + = - 
+ 
0,25 
VII.b 
(1 điểm) 
Û 
2 2 2 2 
2 2 2 2 
( 25) 8( ) (1) 
(2) ( 25) 6( ) 
a a b a b 
b a b a b 
ì + + = + ï 
í 
+ + = + ï î 
. Lấy (1) chia (2) theo vế ta có 
3 
4 
b a =  thế vào (1) 
Ta có a = 0 v a = 4 
Với a = 0 Þ b = 0  ( Loại) 
Với a = 4 Þ b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. 
0,25