Đề thi thử đại học số 2 môn: Toán – khối: D

SỞ GD­ĐT HÀ TĨNH  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 2 NĂM 2012 
TRƯỜNG THPT NG.TRUNG THIÊN  Môn: TOÁN – Khối: D 
***  Thời gian làm bài: 180 phút 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu I (2điểm) Cho hàm số  3 2 5 3 9 y x x x = - + +  (1) 
1.  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1). 
2.  Gọi D  là đường thẳng đi qua ( ) 1;0 A -  và có hệ số góc  k . Tìm  k  để D  cắt đồ thị hàm số 
(1) tại ba điểm phân biệt  , , A B C  sao cho tam giác OBC  có trọng tâm ( ) 2;2 G  (O  là gốc tạo độ). 
Câu II (2 điểm) 
1.  Giải phương trình  1 1 2 
sin sin3 2cos4 1 x x x 
- = 
- 
2.  Giải bất phương trình  2 2 4 3 2 3 1 1 x x x x x - + - - + ³ - 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân 
2 
4 
1 cos2 
1 sin 2 
x 
dx 
x 
p 
p 
+ 
+ ò 
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp  . S ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  a ,  SA  vuông góc với mặt 
phẳng đáy và  3 SA a =  . Gọi  E  và  F  lần lượt là hình chiếu của  A  trên  SB  và  SD . Mặt phẳng 
( ) AEF  cắt  SC  tại  I . Tính thể tích khối chóp  . S AEIF . 
Câu V (1 điểm) Cho  , , a b c  là các số thực thỏa mãn  2 2 2  3 a b c + + =  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
4 4 4 
a b c 
P 
a b c 
= + + 
- - - 
. 
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm) 
1.  Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  với ( ) 1; 3 A -  và  đường  thẳng  BC  có 
phương trình  2 2 0 x y - - =  . Tìm tọa độ  , B C  biết tam giác  ABC  vuông cân tại B. 
2.  Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz  cho  điểm ( ) 1; 1;1 M -  và  hai  đường  thẳng 
1 
2 1 2 
: 
2 1 1 
x y z - + - 
D = = 
- 
,  2 
3 3 0 
: 
4 5 0 
x y 
x y z 
+ + = ì 
D í + - + = î 
. Viết phương trình đường thẳng D  đi qua  M 
và cắt cả hai đường thẳng  1 2 , D D  . 
Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức  z thỏa mãn  2  2 2 0 z iz i + + - =  . 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm) 
1.  Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy , viết phương trình chính tắc của elip ( ) E  biết rằng ( ) E  có 
tâm sai bằng  3 
2 
và hình chữ nhật cơ sở của ( ) E  có diện tích bằng 8. 
2.  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz  cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 4 S x y z + - + - =  . Viết 
phương  trình mặt phẳng  ( ) P  chứa  trục  Ox và  cắt  ( ) S  theo một đường  tròn có bán kính 
bằng 1. 
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 1 2 
2 
2 2 
1 
log log 2 
25 
y x 
y 
x y 
ì - - = ï 
í 
ï + = î 
­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­ 
Cảm ơn bạn từ  thiensu.td@gmail.com gửi đến www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 
Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – Khối D 
NỘI DUNG BÀI GIẢI  ĐIỂM 
Câu I. 1. Tự giải. 
2, Đường thẳng D  đi qua ( ) 1;0 A -  và có hệ số góc  k  có PT ( ) 1 y k x = +  . PT hoành độ giao điểm: 
( ) 3 2 5 3 9 1 x x x k x - + + = + ( )( ) ( ) 2 1 3 1 x x k x Û + - = +  1 x Û = -  hoặc ( ) 2 3 x k - =  . 
D  cắt  đồ  thị  hàm  số  (1)  tại  ba  điểm  phân  biệt ( ) 2 3 x k Û - =  có  hai  nghiệm  phân  biệt  khác  1 - 
0 k Û >  và ( ) 2 1 3 16 k ¹ - - =  . 
Khi đó các điểm  , B C  có tọa độ là ( ) ( ) 3 ; 4 k k k + +  và ( ) ( ) 3 ; 4 k k k - -  . Do đó tọa độ trọng 
tâm  : OBC D 
2 
8 
2 
3 
G 
G 
x 
k 
y 
= ì 
ï 
í 
= = ï î 
, suy ra 
3 
4 
k =  (thỏa mãn). 
Câu II. 1. ĐK:  sin 3 0;2cos4 1 0 x x ¹ - ¹  . 
Chú ý rằng 
1 1 2cos2 sin 2cos2 
sin sin3 sin sin3 sin3 
x x x 
x x x x x 
- = = 
nên PT đã cho tương đương với 
( ) ( ) 2 sin3 cos2 2cos4 1 sin3 cos2 cos4 2sin 2 x x x x x x x = - Û = - 
sin3 cos4 cos2 sin 4 sin 2 sin3 cos6 x x x x x x x Û = - Û = 
( ) 
2 
18 9 cos6 cos 3 , 
2 2 
6 3 
x k 
x x k 
x k 
p p 
p 
p p 
é = + ê æ ö Û = - Û Î ê ç ÷ - è ø ê = + ê ë 
¢ 
Đối chiếu điều kiện ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn. 
2. ĐK: của bpt 
2 2 4 3 2 3 1 1 x x x x x - + - - + ³ -  (1) là: { } [ ) 1; 1 3; 
2 
x æ ù Î -¥ +¥ ç ú è û 
U U  . Khi đó 
ta xét ba trường hợp sau: 
a, 
1
; 
2 
x æ ù Î -¥ ç ú è û 
Thì 1 ­ x > 0 Cho nên (1) Û 
2 2 4 3 2 3 1 1 x x x x x - - + + - + £ - 
Chia 2 vế cho  1  x -  ta được  3  x -  +  1  x - ³  1 2x -  Bình phương 2 vế được 
2.  (3 )(1 ) 3 x x - - ³ -  Hiển nhiên đúng. Do đó  1; 
2 
x æ ù Î -¥ ç ú è û 
là nghiệm 
b,  x = 1 Thỏa mãn 
c, [ ) 3; xÎ +¥  Thì x – 1 > 0 Cho nên (1) Û  3 x - ³  2 1 x -  +  1 x - 
Bình phg vô tư ta có:  2 2 1 2. 2 3 1 x x x - - ³ - +  (VN) Vì khi [ ) 3; xÎ +¥  thì ­2x­1 < 0 
Tóm lại nghiệm của bpt đã cho là  1; 
2 
x æ ù Î -¥ ç ú è û 
U { } 1 
Câu III. 
( ) ( ) ( ) 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 
4 4 4 4 
1 cos2 1 cos2 cos sin 
1 sin 2  sin cos sin cos sin cos 
x x dx x x 
I dx dx dx 
x  x x x x x x 
p p p p 
p p p p 
+ + - 
= = = + 
+ + + + ò ò ò ò 
( ) ( ) 
2 2 2 2 
2 
4 4 4 4 
cos sin 1 
cot ln sin cos 
sin cos 2 4 2sin 
4 
dx x x 
dx d x d x x 
x x x 
p p p p 
p p p p 
p 
p 
- æ ö æ ö = + = - + + + ç ÷ ç ÷ + æ ö è ø è ø + ç ÷ 
è ø 
ò ò ò ò 
( ) 
/ 2 / 2 1 1 
cot ln sin cos ln 2 
/ 4 / 4 2 4 2 
x x x 
p p p 
p p 
æ ö = - + + + = - ç ÷ 
è ø 
1,00đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25
NỘI DUNG BÀI GIẢI  ĐIỂM 
Câu IV. 
H 
F 
O 
C 
A 
B 
D 
S 
E 
I 
Do  BC SA ^  và  BC AB ^  nên ( ) BC SAB ^  BC AE Þ ^  .  Mà  AE SB ^  nên ( ) AE SBC ^ 
AE SC Þ ^  . Tương  tự  AF  SC ^  . Do đó ( ) SC AEF ^  . Vậy  SI  chính  là đường cao của hình chóp 
. S AEIF . Gọi  H  là giao điểm của  AI  và  SO . Do tính đối xứng, dễ thấy  EF  song song với  BD  nên 
( ) EF SAC ^  , và 
. . 
2 1 
2 . . . 
3 3 S AEIF S AEI AEI 
V V SI S SI EH AI D = = = 
Ta có 
2 
2 
2 2 2 2 2 
1 1 1 1 1 6 
3 2 5 
a 
AI 
AI AS AC a a 
= + = + Þ = 
2 
2 2 2  9 
5 
a 
SI SA AI Þ = - =  . 
2 2 
2 2 2 2 
. 2 3 3 2 
. . . 
2 3 8 
EH SE SE SB SA a a a 
EH BO BO 
BO SB SB SB a a 
= Þ = = = = 
+ 
Vậy 
3 
. 
1 3 3 2 6 3 3 
. . . 
3 8 5 20 5 
S AEIF 
a a a 
V a = =  . 
Câu V. Nhận xét rằng, với mọi  2 x <  ta có 
2 2 1 
4 9 
x x 
x 
+ 
£ 
- 
(1). 
Thật vậy, ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 9 4 2 1 2 1 2 0 x x x x x Û £ - + Û - - £  , luôn đúng với mọi  2 x <  . 
Với giả thiết  2 2 2  3 a b c + + =  , suy ra  , , 2 a b c <  . Sử dụng nhận xét trên ta được 
( ) 2 2 2 2 2 2  2 3 2 1 2 1 2 1 
1 
4 4 4 9 9 9 9 
a b c a b c a b c 
P 
a b c 
+ + + + + + 
= + + £ + + = = 
- - - 
Vậy GTLN của P  là 1, đạt được khi  1 a b c = = =  . 
Câu VI.a. 
1. Đường thẳng  AB  đi qua  A  và vuông góc với  BC  có PT  2 1 0 x y + + =  . Do đó tọa độ  B  là nghiệm 
của hệ ( ) 
2 2 0 
0; 1 
2 1 0 
x y 
B 
x y 
- - = ì 
Þ - í + + = î 
. 
Đường tròn ( ) B  tâm  B  bán kính  AB  có PT ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 5 x y AB + + = = + =  . 
Tọa độ C là giao điểm của ( ) B  với  BC , hay là nghiệm của hệ 
( ) 
( ) 
( ) 2  2 2 
2 1 2 2 0  2; 0 
2; 2 1 5  5 1 5 
x y x y  x y 
x y x y  y 
= + ì - - = ì = = é ï ï Û Û í í ê = - = - + + = + = ë ï ï î î 
Vậy ( ) 0; 1 B -  còn ( ) 2;0 C  hoặc ( ) 2; 2 C - -  . 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
NỘI DUNG BÀI GIẢI  ĐIỂM 
2. + Viết pt mặt phẳng  (P) chứa M và  1 D 
+ Viết pt mặt phẳng (Q) Chứa M và  2 D 
+ Viết viết pt giao tuyến của (P) và (Q) 
Có PT là 
1 13 
1 6 
1 5 
x t 
y t 
z t 
= + ì 
ï = - + í 
ï = - î 
. 
Câu VII.a.  Giả sử  z a bi = +  , thế vào  2  2 2 0 z iz i + + - =  , ta được: 
( ) ( ) 2  2 2 0 a bi i a bi i + + + + - = ( ) ( ) 2 2  2 2 2 2 1 0 a b b a ab i Û - - - + + + = 
( ) 
( ) 
2  4 2 2  2 
2 2 
1 2 4 4 1 0 1 1 
2 2 0  2 
1 1 2 2 1 0  1  1 1  1 2 2  2 
a a a b  a a b b 
a ab  b a b  b a 
a 
ì + ì ì - - = - + = = ï ì - - - = ï ï ï Û Û Û Û í í í í 
+ + = + = - + = - î ï ï ï + = - î î ï î 
Từ  đó  nhận  được  số  phức  z  cần  tìm  là 
2 1 2 1 
1 
2 2 
z i 
æ ö + - ç ÷ = - + 
ç ÷ 
è ø 
và 
2 1 2 1 
1 
2 2 
z i 
æ ö + - ç ÷ = - - - 
ç ÷ 
è ø 
. 
Câu VI.b. 1. Gọi PT chính tắc của elip ( ) E  là 
2 2 
2 2 
1 
x y 
a b 
+ =  với  0 a b > >  . 
Từ giả thiết ta có 
2 2 2 
2 2 
3  3 
2 2  2 
2 .2 8 2 1 
1  3 
4 
c 
c a  a a 
a b ab b 
c a b  c b a 
ì ì 
= = ï ï ì = ï ï ï ï ï = Û = Û = í í í 
ï ï ï = - = î ï ï = 
ï ï î î 
Vậy ( ) 
2 
2 : 1 
4 
x 
E y + =  . 
2. Mặt cầu có tâm ( ) 0;1;2 I  , bán kính  2 R =  . Mặt phẳng ( ) P  chứa trục  Ox  nên có PT: 
0 by cz + =  . Do  ( ) P  cắt  ( ) S  theo một đường tròn có bán kính bằng  1 r =  nên 
( ) ( )  2 2 2 2 , 2 1 3 d I P R r = - = - = 
2 2 
2 6 
| 2 |  2 3 
2 6 
2 
b c 
b c 
b c 
b c 
é + 
= ê + ê Û = Û 
ê + - 
= ê 
ë 
Vậy có hai mặt phẳng ( ) P  thỏa mãn yêu cầu bài toán 
( ) ( ) : 2 6 2 0 P y z + + =  và ( ) ( ) : 2 6 2 0 P y z - + = 
Câu VII.b. ĐK:  0 y x > >  . Ta có 
( ) ( ) 1 2  2 2 2 
2  2 2 
2 2 2 2 2 2 
1 
log log 2  log 2 4 log log 2 
25 
25 25 25 
x x 
y x  y x x 
x  y x y x 
x y 
x y x y x y 
ì ì ì - - = = = ì- - + = ï ï ï ï - - Û Û Û í í í í 
+ = ï ï ï ï î + = + = + = î î î 
2 
20 5 
41 4 
41  25 
25 
16  41 
x y x 
x  y 
ì ì = = ï ï ï ï Û Þ í í 
ï ï = = 
ï ï î î 
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )  20 25 , , 
41 41 
x y æ ö = ç ÷ 
è ø 
. 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25