Đề thi thử đại học ôn cấp tốc số 15 môn: Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌCÔN CẤP TỐC 2012 SỐ 15
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu I: ( 2 điểm ) Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1	 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1 
 2) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 
 A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại 
 B, C song song với nhau.
Câu II ( 2điểm ) 
 1) Giải phương trình: 
 2) Giải phương trình : 
Câu III: (1 điểm ) 
 Tính tích phân : 
Câu IV: (1 điểm) 
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất. 
Câu V : (1 điểm) 
Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho 4 < x1 < x2 < 6
 Phần riêng ( 3 điểm ) 
 Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần1 hoặc phần2)
Phần1 (Theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a (2 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết 
 A(1; 3) và hai đường đường trung tuyến có phương trình là d1: x - 2y +1 = 0 ; d2 : y - 1 = 0 . 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 
 d1 : và d2 : .
 Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
Câu VII.a (1 điểm) 
 Cho số phức z = . Hãy tính 1 + z + z2 
Phần2 (Theo chương trình nâng cao )
Câu VI.b : (2 điểm ) 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết C(4; 3), 
 đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là 
 d1 : x + 2y -5 = 0 ; d2 : 4x +13 y - 10 = 0 . 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 và mặt phẳng (P) có phương trình
 d1 : ; d2 : (P): 4y - z - 5 = 0. 
 Viết phương trình của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2
Câu VIIb: (1 điểm ) 
	Tìm nghiệm phức của phương trình: (1+i)z2 - (4 + i)z + 2 - i = 0
----------Hết ..
Họ và tên thí sinh:................Số báo danh: ..HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC
Câu
NỘI DUNG
Điểm
Câu1 
1) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
m = 1 hàm số có dạng 
TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
Giới hạn: 
Bảng biến thiên: , 
 x
-¥	0
+¥
 y'
	+	0
	- 	0
+
 y
1
-¥
+¥
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và 
Hàm số nghịch biến trờn khoảng 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; yCT = 
Đồ thị
Điểm uốn: 
Giao với trục Oy (0, 1)
Giao với trục Ox (1, 0); 
Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
2) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đó cho với trục hoành là nghiệm của phương trình: 
CMinh phương trình (2) luụn có hai nghiệm phân biệt khỏc 1
 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
 đồ thị hàm số đó cho luụn cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt là: A(1, 0); B(x1, 0); C(x2, 0) với x1, x2 là nghiệm của phương trình (2)
Ta có 
Hệ số gúc của tiếp tuyến tại B là: 
Hệ số gúc của tiếp tuyến tại B là: 
Tiếp tuyến tại B và C song song với nhau 
II
1) Giải phương trình: 
Biến đổi phương trình về dạng: 
0.5
0.25
0.25
Giải phương trình sinx = 1 ta được nghiệm 
Chứng minh phương trình vô nghiệm
Kết luận: nghiệm của phương trình: 
cach1
2) Giải phương trình: , ĐKXĐ: -1 £ x £ 3
* Biến đổi phương trình về dạng 
0,5
* Đặt t = , đk t > 0, dẫn đến pt t3 - 2t - 4 = 0 t = 2
0,25
* Từ đó ta được x = -1 ; x = 3 
0,25
cach2
2) Giải phương trình: 
ĐKXĐ: -1 £ x £ 3
Đặt điều kiện 
0.25
Dẫn đến hệ:
0.5
Giải ta được hoặc 
Với ta có hệ 
0.25
Với ta có hệ 
Kết luận hệ có hai nghiệm x = 3 và x = -1
0.25
CâuIII
Ta có: 
I1 = 
I2 = . Đặt 
Đổi cận x = 1 t = , x = 3 t = . Vậy 
Từ đó tính được I = - 
0,5
Câu IV
Gọi là gúc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . 
Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Vậy 
Đặt x = sinj. Vỡ 0 < , nờn x Î (0; 1)
Xét hàm số : f(x) = x – x3 trờn khoảng ( 0; 1) 
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . 
Từ đó ta thấy trờn khoảng (0;1) hàm số
f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm
cực đại, nờn tại đú hàm số đạt GTLN
hay 
Vậy MaxVSABC = , đạt được khi
sin = hay , ( với 0 < )
0,5
0,5
Câu V
Ta m để phương trình có 2 nghiệm
pt đó cho tương đương với pt: 
trên khoảng (4; 6) phương trình luụn xỏc định.
Đặt đk t < 1 do 0 < x - 4 < 2 "x Î (4; 6)
Dẫn đến pt (m-3)t2 + (2m +1)t + m + 2 = 0 Û m(t2 + 2t + 1) = 3t2 - t - 2 (*)
0,25
0,25
0,5
Nhận Xét thấy t = -1 khụng thỏa món pt (*) . Biến đổi pt về dạng 
Bài toỏn trở thành: Ta m để pt: f(t) =, có hai nghiệm phân biệt t1 < t2 < 1.
Tính đạo hàm ; 
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trờn khoảng (-¥; 1)
 t 
-¥	-1
1
 f'(t)
	+	
	- 	0
+
 f(t)
+¥ 
3
+¥
0
Từ đó suy ra các giá trị cần ta là: 
Câu VIa
1) Viết phương trình cạnh của tam giỏc
A Ï d1, A Ï d2. Giả sử d1 qua B, d2 qua C
Tính được tọa độ trọng tâm G là nghiệm của hệ G(1, 1
0.25
0.25
0.5
Vỡ B d1 nờn B(2b-1 ;b) , Vỡ C d2 nờn C(c ;1) 
Từ gt G là trong tâm tam giỏc ABC suy ra 
Tính được b = -1, c = 5 . Suy ra B(-3, -1) ; C(5, 1).
Viết được pt cạnh AB: x - y + 2 = 0 ; AC: x + 2y - 7 = 0 BC: x - 4y - 1 = 0
2) Viết được d1: 
d1 đi qua M1(1; 2; 0), có VTCP , d2 đi qua M2(1; 3; 1), có VTCP 
Tính được , d1, d2 chéo nhau
0,5
Trờn d1 lấy điểm A(1 - t; 2 + 2t; 3t), trên d2 lấy điểm B(1 +3t'; 3 - 2t'; 1)
AB là đường vuông góc chung của d1, d2 
 dẫn tới hệ .
 và 
 pt đường vuông góc chung của d1 và d2 là 
0,5
Câu VIIa
Hóy tớnh 1 + z + z2
Tính được 
0.5
 1 + z + z2 =  = 0
0.5
Câu VIb
1)Giả sử đường phân giác và đường trung tuyến đó cho đi qua đỉnh A. Khi đó tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ:
Viết được pt cạnh AC: x + y -7 = 0
0.25
Viết ptđt d qua C ,vuông góc với phân giác d1 của gúc A ta được. d: 2x -y - 5 =0
Giả sử d cắt cạnh AB tại E, cắt đươgs phân giác d1 tại I và tọa độ của I là nghiệm của hệ 
Do I là trung điểm của CE nờn ta có: 
0.25
0.5
Viết được ptđt AB( Đi qua A và E): x + 7y + 5 = 0
Viết ptđt d3 qua I và song song với cạnh AB có pt: x + 7y - 10 = 0
Gọi M là trung điểm của cạch AB thỡ Tọa độ M là nghiệm của hệ: 
 M(-4; 2)
Viết được pt cạnh BC: x - 8y + 20 = 0
2) ptts của d1: 
Trờn d1 lấy điểm A(1 + t; -2 + 4t; 2 + 3t), trên d2 lấy điểm B(-4 +5t'; -7+9t'; t')
mp(P) có VTPT 
0.5
Đường thẳng AB vuông góc với mp(P) Û và cùng phương 
Từ đó ta được t = 0, t' = 1 A(1; -2; 2) và = (0; 4; -1)
 pt đường thẳng thỏa món yờu cầu đề bài là: 
0.5
Câu VIIb
Giải phương trình..
Tính được D = 3 + 4i = (2 + i)2
0.5
Ta được 2 nghiệm. 
0.5
Chú ý: Mọi lời giải khác, nếu đúng thỡ chấm điểm tương ứng.
1) Viết phương trình cạnh của tam giỏc
A Ï d1, A Ï d2. Giả sử d1 qua B, d2 qua C
Gọi trung tuyến BK: x - 2y + 1 = 0
 CH: y - 1 = 0
Tính được tọa độ trọng tâm G là nghiệm của hệ G(1, 1)
G nằm trờn trung tuyến AM và 
suy ra M(1, 0)
Đường thẳng BC qua M(1, 0) có hệ số góc k nên có pt: y = k(x - 1) hay y = kx - k
BC Ç BK = {B} giải hệ 
BC Ç CH = {C} giải hệ 
M(1, 0) là trung điểm của BC 
Tính được .
pt cạnh BC: 
Từ đó tính được xB = -3, yB = -1 hay B(-3, -1)
Tính được tọa độ C(5, 1).
Viết được pt cạnh AB: x - y + 2 = 0
Viết được pt cạnh AC: x + 2y - 7 = 0