Đề thi thử đại học năm môn Toán (dành cho các khối A, B và V)

Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh
------------
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn Toán 
(Dành cho các khối A, B và V)
Thời gian làm bài: 180 phút
eeơff
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm a và b để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (): . 
Câu 2. (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình .
2) Giải phương trình .
Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân .
Câu 4. (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng , góc giữa mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng đáy bằng .
	1) Tính theo a thể tích hình hộpï.
	2) Tính theo a khoảng cách giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'BD).
Câu 5. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
	, .
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a. (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết , phương trình đường cao BH là , phương trình đường phân giác trong CD là . Tìm hai đỉnh B và C. 
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): và mặt cầu (S): . 
a) Chứng minh (a) và (S) có hai điểm chung A, B phân biệt.
b) Viết phương trình mặt phẳng biết qua A, B và cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn lớn của (S). 
Câu 7a. (1 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b. (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): . Một đường tròn (C') tiếp xúc với Oy và tiếp xúc ngoài với (C). Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): . 
2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (a) và (b) có phương trình lần lượt là , . 
a) Chứng minh (a) song song với (b), tính khoảng cách giữa chúng.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua (a) và vuông góc với mp(a, b). 
Câu 7b. (1 điểm) Tìm n nguyên dương biết
	.
HẾT
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn Toán - Khối A, B & V
Chú ý: Dưới đây chỉ là bài giải gợi ý, học sinh có thể làm nhiều cách khác nhau miễn là suy luận hợp lý và kết quả đúng thì vẫn được điểm tối đa của câu đó.
Câu
Đáp án
Điểm chi tiết
Điểm
1.1
TXĐ: 
, : đường thẳng là TCĐ
: đường thẳng là TCN
0.25
1
, suy ra hàm số tăng trong từng khoảng xác định.
Bảng biến thiên
x
y'
+
+
y
1
1
0.25
Đồ thị cắt Ox tại , cắt Oy tại và nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
0.25
Đồ thị vẽ đúng
0.25
1.2
Phương trình của được viết lại: .
Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với hay 
0.25
1
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):
 . (1)
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt b tuỳ ý.
0.25
Gọi I là trung điểm của AB, ta có 
 . 
0.25
Vậy để thoả yêu cầu bài toán 
 .
Vậy khi , thì thoả mãn yêu cầu bài toán.
0.25
2.1
Hệ đã cho tương đương với .
0.25
1
Đặt , () ta được 
0.5
Kết hợp với điều kiện , hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
0.25
2.2
Điều kiện: . (1)
0.25
1
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với
 (với )
 .
0.5
Kết hợp điều kiện (1), ta có nghiệm của phương trình đã cho là .
0.25
3
Đặt .
Khi ; .
0.25
1
Khi đó 
0.25
0.25
0.25
4
Gọi O là tâm hình thoi. Do ABCD là hình thoi nên , kết hợp với là góc giữa mp(A'BD) .
0.25
1
Do nên tam giác ABC đều .
Trong tam giác vuông A'AO, ta có .
Do đó thể tích của hình hộp: .
0.25
Theo chứng minh trên ta có .
Trong tam giác vuông , dựng đường cao AH, ta có hay .
Do nên suy ra 
 (vì )
 .
0.5
5
Ta có .
Trường hợp : ta có .
0.25
1
Trường hợp : 
Ta có (vì ).
Đặt , khi thì .
Đặt , .
0.25
Ta có 
 .
Ta có (vì )
 .
t
f'(t)
f(t)
Bảng biến thiên
0.25
Kết hợp hai trường hợp của x, ta có , .
0.25
6a.1
Cạnh AC là đường thẳng qua A và vuông góc với BH nên có phương trình .
Đỉnh C là giao điểm của AC và CD nên toạ độ của C là hệ nghiệm của hệ phương trình , suy ra .
0.5
1
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc CD, phương trình của (d): .
Toạ độ giao điểm I của (d) và CD là nghiệm của hệ , suy ra . 
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua CD, suy ra I là trung điểm của AA' nên .
Do CD là đường phân giác trong góc C nên đường thẳng CB đối xứng với đường thẳng CA qua CD, suy ra CB là đường thẳng qua C, A' hay nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình .
Đỉnh B là là giao điểm của BC và BH nên toạ độ của B là nghiệm của hệ phương trình , suy ra .
0.5
6a.2
Đường thẳng (a) đi qua và có một VTCP là .
Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính .
0.25
1
Ta có . Đặt , ta có suy ra .
Ta có nên đường thẳng (a) cắt (S) tại hai điểm A, B phân biệt.
0.25
Do qua A, B và cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn lớn nên chính là mặt phẳng qua (a) và tâm I của (S).
0.25
Và do đó là mặt phẳng qua I, nhận và làn cặp VTCP nên nhận làm một VTPT nên có phương trình là:
 hay .
0.25
7a
Số cần tìm có dạng . Để thành lập một số theo yêu cầu, ta thực hiện:
Chọn ba trong năm vị trí của a, b, c, d, e để xếp vào ba chữ số 3, có cách chọn.
Chọn hai chữ số trong bốn chữ số còn lại và xếp vào hai vị trí còn lại, có cách thực hiện.
Vậy có tất cả số thoả đề bài.
0.5
1
Trong các số nói trên, số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3, mà có ba chữ số 3, nên hai chữ số còn lại có tổng chia hết cho 3, có bốn trường hợp thoả mãn, đó là: 1 với 2, 1 với 5, 2 với 4, và 4 với 5.
Với các trường hợp đó, để thành lập số chia hết cho 3, ta thực hiện:
Chọn ba trong năm vị trí để xếp vào ba chữ số 3, có cách chọn.
Chọn hai chữ số có tổng chia hết cho 3 trong bốn chữ số còn lại, có 4 cách chọn.
Xếp hai chữ số vừa chọn vào hai vị trí còn lại, có hai cách xếp.
Suy ra có số chia hết cho 3.
Vậy xác suất cần tìm là .
6b.1
Ta có (C) có tâm và bán kính .
Giả sử (C') có tâm K và bán kính R'. Do nên . Do (C') tiếp xúc với Oy nên .
Do (C') tiếp xúc ngoài với (C) nên hay . (1)
0.5
1
Trường hợp : 
(1) 
Trường hợp : 
(1) 
Vậy tâm của (C') là hoặc .
0.5
6b.2
Ta có (a) đi qua và có một VTCP là .
Ta có (b) đi qua và cũng nhận làm một VTCP. 
Ta có khác phương với . Vậy (a) và (b) song song nhau.
0.25
Khi đó ; mà suy ra 
 .
0.25
Ta có có cặp VTCP là và nên nhận làm PVT.
Mp qua (a) nên nhận làm một VTCP, vuông góc với nên nhận làm một VTCP suy ra nhận làm một PVT. Mặt khác qua nên có phương trình là hay .
0.5
7b
Đặt (1)
Ta có (2)
Từ (2), ta có .
Suy ra 
Do đó (3)
Mặt khác, từ (1): suy ra hay . (4)
Từ (3) và (4), ta được .
0.5
1
Phương trình đã cho tương đương với .
Ta thấy là một nghiệm của phương trình.
0.25
Ta thấy không thoả phương trình.
Xét hàm số ()
Ta có , . 
Suy ra giảm trên .
HẾT
Vậy là nghiệm duy nhất của bài toán.
0.25