Đề thi thử đại học môn Toán - Số 9

Bộ Giáo Dục và Đào tạo 
ĐỀ THAM KHẢO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 
Môn thi : TOÁN, khối A. Ngày thi : 08.03.2009 (Chủ Nhật ) 
Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần cho hs tỉnh Lâm Đồng. 
ĐỀ 03 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : ( )22 1 1y x= - - ( )1 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 . 
2. Viết phương trình đường tròn ( )C trong mặt phẳng ( )Oxy , đi qua 3 điểm cực trị của hàm số ( )1 . 
Câu II: ( 2 điểm ) 
1. Giải phương trình : 2 .3 3 2 1 0x xx x- - - = . 
2. Giải phương trình : 2009 2008cos sin 1x x+ = . 
Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số ( ) ( ) ( )23 , 1g x x f x x= - = - . Tính tích phân ( ) ( ){ }
3
2
min ,f x g x dx
-
ò . 
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại , ,A AB AC a= = ( ) ( )SBC ABC^ và 
.SA SB a= = Tính độ dài cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a . 
Câu V: ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số thực dương và thỏa mãn 1x y+ £ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 2
1 1
P xy
xyx y
= + +
+
. 
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1. Theo chương trình Chuẩn : 
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) ( )0;1;0 , 2;2;2 , 2;3;1A B C - và đường thẳng 
( ) 1 2 3:
2 1 2
x y z
d
- + -
= =
-
1. Tìm điểm M trên ( )d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 
2. Tìm điểm N trên ( )d để diện tích tam giác NAB nhỏ nhất. 
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp A gồm n phần tử , 4n > . Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 
16n tập con có số phần tử là lẻ . 
2. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình cạnh AB : 
3 7 3 7 0x y- - = ; điểm ,B C thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ nhất .Tìm toạ độ điểm M thuộc AB , 
N thuộc BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của tam giác ABC . 
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ( ) ( )1 2
'
: 4 , : 3 ' 6
6 2 ' 1
x t x t
d y t d y t
z t z t
ì ì= =
ï ï
= + = -í í
ï ï= + = -î î
. Gọi K là hình chiếu vuông 
góc của ( )1; 1;1I - lên ( )2d . Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K cắt ( )1d và vuông góc ( )2d . 
Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình : 
4 2
4 3 0
log log
x y
x y
ì - + =ï
í
=ïî
GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt . 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) 
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : ( )22 1 1y x= - - ( )1 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 . Học sinh tự làm 
2. Viết phương trình đường tròn ( )C trong mặt phẳng ( )Oxy , đi qua 3 điểm cực trị của hàm số ( )1 . 
Các điểm cực trị của hàm số ( )1 là ( ) ( ) ( )0;0 , 1; 1 , 1; 1O A B- - - . 
Giả sử đường tròn ( )C cần tìm có dạng : 2 2 0x y ax by c+ + + + = , có tâm ( );I a b- - và bán kính 
2 2 , 0R a b c R= + - > 
Đường tròn đi qua 3 điểm cực trị ( ) ( ) ( )0;0 , 1; 1 , 1; 1O A B- - - , nên ta có hệ phương trình : 
( ) 2 2
0 0
2 0 2 : 2 0
2 0 0
c a
a b c b C x y y
a b c c
ì ì= =
ï ï
- - + = Û = Þ + + =í í
ï ï+ - + = =î î
 hay ( ) ( )22: 1 1C x y+ + = . 
Câu II: ( 2 điểm ) 
1. Giải phương trình : 2 .3 3 2 1 0x xx x- - - = . 
Chú ý : Cách giải dưới đây không đúng , do vậy cần hết sức thận trọng. Cẩn thận với kiểu “ Nhìn đồ thị ta thấy !!!.” 
Phương trình ( ) ( )2 .3 3 2 1 0 3 . 2 1 2 1 1x x xx x x x- - - = Û - = + 
1
2
x· = không là nghiệm của phương trình ( )1 . 
1
2
x· ¹ phương trình ( )1 viết lại ( )2 13 2
2 1
x x
x
+
=
-
Xét hàm số ( ) ( ) 2 13 ,
2 1
x xf x g x
x
+
= =
-
Dễ thấy hàm số ( ) 3xf x = liên tục trên 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 và có ( ) ( )' 3 . ln 3 0xf x f x= > Þ liên tục và đơn điệu 
tăng trên 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 . 
Hàm số ( ) 2 1
2 1
x
g x
x
+
=
-
 liên tục trên mỗi khoảng 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
và có ( )
( )2
4 1
' 0,
22 1
g x x
x
-
= < ¹
-
 ( )g xÞ liên 
tục và đơn điệu giảm trên mỗi khoảng 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Do đó ta xét hàm số ( ) ( ),f x g x giao nhau trên mỗi khoảng 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
, nghĩa là số nghiệm phương trình ( )2 
thỏa điều kiện 1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Trên khoảng 1;
2
æ ö
-¥ç ÷
è ø
 hàm số ( )f x liên tục và đơn điệu tăng ( ),g x liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình 
( )2 có nghiệm duy nhất trên khoảng 1;
2
æ ö
-¥ç ÷
è ø
 và ( ) ( ) 11 1
3
f g- = - = - . Vậy phương trình ( )2 có nghiệm 1x = - . 
Trên khoảng 1 ;
2
æ ö
+¥ç ÷
è ø
 hàm số ( )f x liên tục và đơn điệu tăng ( ),g x liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình 
( )2 có nghiệm duy nhất trên khoảng 1 ;
2
æ ö
+¥ç ÷
è ø
 và ( ) ( )1 1 3f g= = . Vậy phương trình ( )2 có nghiệm 1x = . 
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1x = - , 1x = . 
Cách giải đúng : Bài toán này cần chia đến 7 trường hợp .Ta cần xét tính liên tục của hàm số ( ) ( ),f x g x . Đó là lý do 
vì sao trong bài trình bày của tôi thường xuyên nhấn mạnh hàm số liên tục  
1
2
x· = 
( ); 1x· Î -¥ - 
1
1;
2
x
æ ö
· Î -ç ÷
è ø
1
;1
2
x
æ ö
· Î ç ÷
è ø
( )1;x· Î +¥ 
1x· = - 
1x· = 
2. Giải phương trình : 2009 2008cos sin 1x x+ = 
Vì 1 cos 1, 1 sin 1x x- £ £ - £ £ nên 2009 2 2008 2cos cos , sin sinx x x x£ £ 
2009 2008 2 2cos sin sin cos 1x x x xÞ + £ + = 
Vậy phương trình cho tương đương với hệ : 
2009 2
2008 2
2
cos 0
2cos 1cos cos cos 0
,
cos 1sin 0sin sin 22
2
sin 1
x
x kxx x x
x l l
xxx x x k
x
p
p
p
p
ìé =
ïê é =ì = é= =ïï êë êÛ Û Û Û = Îêí í êé === = +êï ï ëî êê ëï =êëî
¢ 
Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số ( ) ( ) ( )23 , 1g x x f x x= - = - . Tính tích phân ( ) ( ){ }
3
2
min ,f x g x dx
-
ò 
( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
3 3 3
2 2
2 2 2
1 1
min , 3 4 2
2 2
f x g x dx f x g x f x g x dx x x x x dx
- - -
= + - - = - + - - -ò ò ò
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 2 3
2 2 2 2
2 2 1 2
1 1
3 4 2 2 2 ???
2 2
x x dx x x dx x x dx x x dx
-
- - -
= - + - - - + - - - - - =ò ò ò ò 
Cách 2 : 
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 3 2 2 1f x g x x x x x x x- = - - - = - - = - + 
Suy ra 
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( )2
min , 3 2; 1 2;3
min , 1 1;2
f x g x x khi x
f x g x x khi x
ì é ù é ù= - Î - - Èï ë û ë û
í
é ù= - Î -ï ë ûî
Bài toán đến đây đã đơn giản nhiều . 
{ }min ;
2
a b a b
a b
+ - -
= 
Câu IV: ( 1 điểm ) 
Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại ( ) ( ), ,A AB AC a SBC ABC= = ^ và .SA SB a= = Tính độ dài 
cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a . 
Giả sử H là trung điểm của BC , ta có AH BC^ . 
Vì ( ) ( )SBC ABC^ nên ( )AH SBC AH SH^ Þ ^ . 
,SHA BHAD D có HA chung và SA BA a= = nên SHA BHAD = D 
Suy ra : HA HB HC= = , SBCD vuông tại S . 
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC , khi đó O là 
giao điểm HA và trung trực AB vẽ trong mặt phẳng ( )ABC . 
Giả sử SC x= . 
Gọi I là trung điểm AB , khi đó tứ giác OIBH nội tiếp được nên: 
2
. .
2.
AB
AO AH AI AB R AO
AH
= Þ = = . 
SBCD vuông ,nên có : 
2 2
2 2 2 2 2 2
4
a x
BC SB SC a x BH
+
= + = + Þ = 
BHAD vuông, nên có : 
2 2 2 2
2 2 2 2 3
4 4
a x a x
AH AB BH a
+ -
= - = - = 
2 23
, (0 3)
2
a x
AH x a
-
Þ = < < 
Vậy 
2 2 2
2 2 2 2
. ,(0 3)
2 3 3
a a a
R x a
a x a x
= = < <
- -
2
2 2
2 2
3
23
0 30 3
a
a a x a
R a x aa x
x ax a
ì ì= - =ï ï= Û Û Û =í í-
< <ï ïî< <î
Vậy : 2SC a= 
Câu V: ( 1 điểm ) Cho ,x y là hai số thực dương và thỏa mãn 1x y+ £ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 2
1 1
P xy
xyx y
= + +
+
. 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 7
( ) ( )
2 16 16
P xy xy
xy xy xy xyx y x y
= + + = + + + +
+ +
2 2 2
2 2
2
1 1 4
4
2 ( )
1 1 1 1 1 1 7 25
2 4
16 16 2 2 4 4
7 7 7
16 44( )
xyx y x y
xy P xy
xy xyx y
xy x y
ì
+ ³ ³ï + +ï
ï
+ ³ = Þ = + + ³ + + =í
+ï
ï ³ ³ï +î
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
2
x y= = 
Vậy 1 25,min
2 4
x y P= = = 
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 
1. Theo chương trình Chuẩn : 
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) ( )0;1;0 , 2;2;2 , 2;3;1A B C - và đường thẳng 
( ) 1 2 3:
2 1 2
x y z
d
- + -
= =
-
1. Tìm điểm M trên ( )d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 
( )
1 2
: 2
3 2
x t
d y t
z t
ì = +
ï
= - -í
ï = +î
 , ( ) ( )1 2 ; 2 ; 3 2M d M t t tÎ Þ + - - + 
(2; 1; 2), ( 2; 2;1) [ ; ] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3. , (1; 2; 2)AB AC AB AC n n= = - Þ = - - = - - = - = -
uuur uuuur uuur uuuur r r Phương 
trình mặt phẳng ( )ABC đi qua ( )0;1;0A và có vecto pháp tuyến (1; 2; 2)n = -r là : 
2 2 2 0x y z+ - - = . 
2 2 21 1 9[ ; ] ( 3) ( 6) 6 .
2 2 2ABC
S AB AC= = - + - + =
uuur uuuur
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )ABC : ( ( ))
1 2 2( 2 ) 2(3 2 ) 2 4 11
31 4 4
M ABC
t t t t
d
+ + - - - + - - -
= =
+ +
Thể tích tứ diện MABC bằng 
4 111 9 5 17
3. . . 3 4 11 6 .
3 2 3 4 4
t
V t t hay t
+
Û = = Û + = Û = - = - 
Vậy có hai điểm M cầb tìm là 
3 3 1 15 9 11
; ; ; ;
2 4 2 2 4 2
M hay M
æ ö æ ö
- - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2. Tìm điểm N trên ( )d để diện tích tam giác NAB nhỏ nhất. 
( ) ( )1 2 ; 2 ; 3 2N d M t t tÎ Þ + - - + 
2 21 1 2 3 2[ ; ] 32 128 146 (4 8) 9
2 2 2 2ABN
S NA NB t t t= = + + = + + ³
uuur uuur
( )3 2max 4 8 0 2 3;0;1 .
2ABN
S t t NÞ = Û + = Û = - Þ - 
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp A gồm n phần tử , 4n > . Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 
16n tập con có số phần tử là lẻ . 
1 2 3, , ...
n n n
C C C lần lượt là số các tập hợp con của A gồm 1, 3,5...phần tử . 
Ta luôn có 0 1 2 1 2 3 1... 2 ... 2n n n
n n n n n n n
C C C C C C C -+ + + + = Þ + + + = 
Từ giả thiết , ta có phương trình : ( )1 52 16 2 *n nn n- -= Û = 
Vì 4,n n> Î ¢ nên ta xét 5n = thấy không thỏa ( )* , do đó ta xét 6,n n³ Î ¢ 
Xét hàm số ( ) 52xf x x-= - liên tục trên nửa khoảng )6; ,xé +¥ Îë ¢ 
Ta có ( ) ( )5' 2 ln2 1 0, 6xf x x f x-= - > " ³ Þ liên tục và đồng biến trên nửa khoảng )6; ,xé +¥ Îë ¢ và 
( )8 0 8f x= Þ = là nghiệm duy nhất của phương trình 52 0, 6,x x x x- - = ³ Î ¢ . 
Vậy 8n = thỏa mãn đề bài . 
2. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b ( 2 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình cạnh AB : 
3 7 3 7 0x y- - = ; điểm ,B C thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ nhất .Tìm toạ độ điểm M thuộc AB , 
N thuộc BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của tam giác ABC . 
Cách 1: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;0 , ; 3 7 3 7 , 2 1;0
B Ox
B A AB A a a C a
B AB
ì Îï Þ Î Þ - -í Îïî
. 
A thuộc góc phần tư thứ nhất nên 
0
1
3 7 3 7 0
a
a
a
ì ³ï Û ³í
- ³ïî
Cách 2: 
( ) ( )1;0
B Ox
B
B AB
ì Îï Þí Îïî
 và ( ) ( )0 0 0 0 0 0; 3 7 3 7 0 3 7 3 7M x y AB x y y xÎ Û - - = Û = - 
Giả sử : AB AC a= = , phương trình AB : 3 7 3 7 0x y- - = có hệ số góc t n 3 7a ABC = 
1
cos
8
ABCÞ = 
Theo định lý cosin , ta có 2 2 2 2 . . os
4
a
AC AB BC AB BC c ABC BC= + - Þ = 
MN chia đôi chu vi tam giác ABC , nên có BM BN AM CN BC+ = + + 
( ) ( )92 1
8
a
BM BN AB BC CA BM BNÛ + = + + Û + = 
MN chia đôi diện tích tam giác ABC , nên ta có ( )
21 . 1
. 2
2 . 2 8
BMN
ABC
S BM BN a
BM BN
S AB BC
= Û = Û = 
Kết hợp ( )1 , ( )2 , ,BM BN là nghiệm phương trình 
2
2 9 0 8
8 8
a
a a x
x x
x a
é
=ê- + = Û ê =êë
( ) ( ) ( ) ( )
2 222 2 2
0 0 0 0 0
71 1 3 7 3 7 1
8 64 64 168
a a a aBM x y x x x
BN a
ìì ìì
= - + = - + - =ï ï ï ï = +· Û Û Ûí í í í
ï ï ï ï=î î î î
8
a
BN
BM a
ì
=ï· í
ï =î
 lúc này ,M A Nº là trung điểm BC . 
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ( ) ( )1 2
'
: 4 , : 3 ' 6
6 2 ' 1
x t x t
d y t d y t
z t z t
ì ì= =
ï ï
= + = -í í
ï ï= + = -î î
. Gọi K là hình chiếu vuông 
góc của ( )1; 1;1I - lên ( )2d . Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K cắt ( )1d và vuông góc ( )2d . 
( )1d có vtcp : 1 (1; 1; 2)u =
r
, ( )2d có vtcp 2 (1; 3; 1)u =
r
. 
/ / / / / /
2( ) ( ; 3 6; 1) ( 1; 3 5; 2)K d K t t t IK t t tÎ Þ - - Þ = - - -
uuur
/ / / /
2
18 18 12 7
1 9 15 2 0 ; ;
11 11 11 11
IK u t t t t K
æ ö
^ Û - + - + - = Û = Þ -ç ÷
è ø
uuur r
Giả sử đường thẳng cần tìm cắt ( )1d tại H thì 
1
18 56 59
( ( )) ( ; 4 ; 6 2 ) ; ; 2
11 11 11
H d H t t t HK t t t
æ ö
Î Þ + + Þ = - - - - -ç ÷
è ø
uuuur
1
18 56 118 26
4 0
11 11 11 11
HK u t t t t^ Û - - - - - = Û = -
uuuur r
30 7 1
4; ; (44; 30; 7).
11 11 11
HK
æ ö
Þ = - - = - -ç ÷
è ø
uuuur
Phương trình cần tìm là : 
18
44
11
12
30 ,
11
7
7
11
x m
y m m R
z m
ì
= +ï
ïï = - - Îí
ï
ï = -
ïî
Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình : 
4 2
4 3 0
log log
x y
x y
ì - + =ï
í
=ïî
Điều kiện : 
1
1
x
y
ì ³ï
í ³ïî
2 2
4 2 2 2
4 2
4 3 0 4 3 04 3 0
4 3 0
log log log log
log log
1, 1 1, 1 1, 1
x y x yx y
x y
x y x y x y
x y
x y x y x y
ì ìì - + = - + =- + =ì - + = ï ïïï Û = Û = Û =í í í í
=ï ï ï ïî ³ ³ ³ ³ ³ ³î î î
( ) ( ) ( )
2
2
1
1
4 3 0 ; 1;1 , 9;3
9
1, 1
3
x
x y
y
y y x y
x
x y
y
éì =ïì ê= í =ï êïîÛ - + = Û Û =í êì =ïï ê³ ³ íî ê =ïîë
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( ) ( ) ( ); 1;1 , 9;3x y = .