Đề thi thử đại học môn Toán - Số 12

 TRƯỜNG ĐHKHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 
KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút) 
------------------------------- ------------------------------------------- 
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x4 – 8x2 + 7 (1) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 
2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ 
thị hàm số (1). 
Câu II (2 điểm). 
 1) Giải phương trình: )
4
sin(
2
2
1tan
tantan
2
2 pi
+=
+
+
x
x
xx
. 
 2) Giải hệ: 







=−+
=−+
2
1
2
1
2
1
2
1
xy
yx
Câu III (3 điểm). 
1) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình; 
d1: 





=
=
+−=
tz
y
tx
1
21
 d2: 
1
3
1
1
2
1
−
−
=
+
=
−
+ zyx
 và điểm I(0;3; - 1). Đường thẳn d đi qua I cắt d1 
tại A và cắt d2 tại . Tính tỉ số 
IB
IA
. 
2) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , DA = 
DB = DC.Biết rằng DBC là tam giác vuông. 
a) Tính thể tích tứ diện ABCD 
b) Gọi ϕ là góc phẳng nhị diện [B,AD,C]. Tính cosϕ . 
Câu IV (2 điểm). 
1) Tính tích phân: I = ∫
−+
2
0
2cossin43
2sin
pi
dx
xx
x
2) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm thực 
 )1(log)1(log 1616 33 −+ + xx = 2 x . 
Câu V (1 điểm). Giải phương trình 
)
4
11
cos(
2
x−
pi
= tanx. 
Hướng dẫn: 
Câu I. 
3) Đường thẳng tiếp xúc đồ thị ⇔ Hệ 



=−
−=+−
)2(164
)1(978
3
24
mxx
mxxx
có nghiệm. 
Thay (2) vào (1) được: 3x4 – 8x2 – 16 = 0 ⇔ x2 =4 ⇔ x= ± 2. 
Thay x = ± 2 vào (2) được m=0. 
Câu II. 
1) ĐK: cosx ≠ 0.Phương trình được biến đổi thành: 
 cos2x. tanx.(tanx+1) = 
1
2
 ( sinx+cosx) ⇔ sinx(sinx+cosx) = 
1
2
 (sinx+cosx) 








+=
+=
+−=
⇔


=
=+
⇔
pi
pi
pi
pi
pi
pi
2.
6
5
2.
6
4
2/1sin
0cossin
kx
kx
kx
x
xx
. 
2) ĐK: x;y ≥ ½. Từ hệ suy ra: 
xyyx
1
2
11
2
1
−+=−+ (1). 
. Nếu x>y thì 
yx
11
< và 
yx
11
< suy ra VT(1) < VP(1). Không thỏa mãn! 
. Nếu x< y tương tự cũng không thỏa mãn.Từ đó x=y.Thế vào một phương trình 
của hệ được: 2
1
2
1
=−+
xx
⇔ x=1. Hệ cho nghiệm: (x;y)=(1;1). 
Câu III. 
1) A thuộc d1 ⇔ A( - 1+2t; 1; t); B thuộc d2 ⇔ B( -1 -2s; -1 + s; 3 – s). 
 →
 IA=( -1+2t; - 2; 1+t) ; 
 →
 IB =( -1-2s; -4+s; 4-s) là hai véc tơ cùng phương nên 
 →
 IA= k.
 →
 IB từ đó giải ra được t = 1; s= -2 ; k= 1/3. Vậy: IA/IB= 1/3. 
2) a) Gọi O là hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) → O là trung điểm BC. 
 ∆ DBC vuông cân tại D nên DO = 
1
2
 BC = a.Vậy: VDABC = 
1
3
 .DO.dt (ABC)= 
6
33a
. 
 b) Kéo dài CD cắt đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B ở S. Ta có BS = 2a; 
DC = a 2 ; AD = a 2 và là trung tuyến của tam giác SAC.Gọi ϕ = [B,AD,C]. Kẻ 
BH ⊥ SA →BH ⊥ (SAC). Kẻ HE ⊥ AD →BE ⊥ AD. Khi đó ϕ = 1800 -
 ∃ 
BEH.Tính 
được : tan 
 ∃ 
BEH =
3
64
 ; cos 2
 ∃ 
BEH = 3/15. Vậy: cos ϕ = - 
15
3
. 
 Câu IV. 1) I = ln2 – 
2
1
. 2) ĐK: x>1. 
Phương trình 3log3log 1616 )1()1( −++⇔ xx = 2 x (*). Vì 0< 3log16 <1/2 nên 
 VT(*) ≤2 3log16]
2
)1()1(
[
−++ xx
= 2. 3log16x < 2 x =VP(*). V ậy phương trình vô nghiệm. 
Câu V. ĐK: cosx ≠ 0. 
pt ⇔ 
x
xxx
cos
sin
2
)cos(sin
2
1
=
−
(1). Do vế trái (1) dương nên sinx và cosx cùng thuộc ( -1;0) 
hoặc (0;1).Xét hàm số f(t) = 
t
t
2
1
2
 có đạo hàm f’(t) = )2ln(
2
2
2
2
1
−tt
t
t
< 0 . 
Từ đó phương trình ⇔ sinx = cosx ⇔ x = pi
pi
k+
4
.