Đề thi thử đại học lần thứ hai môn: Toán Khối A

Câu I: (2,0  điểm)   Cho hàm số y = 
1 
x
x - 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với 
đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1). 
Câu II: (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình: ( ) 
3 2 cos cos 
2 1 sin . 
sin cos 
x x 
x 
x x 
- 
= + 
+ 
2.  Giải hệ phương trình: 
2 
2 2 
( ) 4 1 
( ) 2 7 2 
x x y y x 
x x y y x 
ì + + = - ï 
í 
+ - = + ï î 
Câu III: (1,0 điểm)  Tính tích phân: 
1 
ln
1 ln 
e  x 
dx 
x x + ò 
Câu IV: (1,0 điểm)  Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; 
đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc  0 60  và  AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần 
lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = 
4 
a 
. 
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng  (MAC) (NPQ) ^  . 
Câu V:  (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi  số  thực không âm  a, b, c  thỏa mãn điều kiện 
3 ab bc ca + + =  , ta có: 
2 2 2 
1 1 1 
1 
2 2 2 a b c 
+ + £ 
+ + + 
Câu VI: (2,0 điểm) 
1. Trong mặt  phẳng với  hệ  tọa  độ Oxy,  cho hình  thoi ABCD có  tâm  I(2;1)  và AC = 2BD. 
Điểm M  1 (0; ) 
3 
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B 
biết B có hoành độ dương. 
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 
1 : 4 
1 2 
x t 
d y t 
z t 
= ì 
ï = - í 
ï = - + î 
;  d 2 : 
2 
1 3 3 
x y z - 
= = 
- - 
và d 3 : 
1 1 1 
5 2 1 
x y z + - + 
= =  . Viết  phương  trình đường 
thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1  , d2  , d3  lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC. 
Câu VII: (1,0 điểm)  Tìm số phức z thỏa mãn : 
2 2 
2 . 8 z z z z + + =  và  2 z z + = 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên:..SBD: 
www.laisac.page.tl 
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
KỲ THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ HAI 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
CÂU  NỘI DUNG  ĐIỂM 
TXĐ : D = R\{1} 
y’ =  2 
1 
0 
( 1) x 
- < 
- 
0,25 
lim ( ) lim ( ) 1 
x x 
f x f x 
®+¥ ®-¥ 
= =  nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
1 1 
lim ( ) , lim 
x x 
f x 
+ - ® ® 
= +¥ = -¥ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  0,25 
Bảng biến thiên 
1 
+¥ 
­¥ 
1 
­                                          ­ 
y 
y' 
x  ­¥ 1  +¥ 
Hàm số nghịch biến trên  ( ;1) -¥  và  (1; ) +¥ 
Hàm số không có cực trị 
0,25 
I­1 
(1 điểm) 
Đồ thị : 
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 
10 
8 
6 
4 
2 
2 
4 
6 
8 
10  5  5  10  15 
0,25 
Với  0  1 x ¹  , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 
0 
0  1 
x
x - 
) có phương trình : 
0 
0 2 
0 0 
1 
( ) 
( 1) 1 
x 
y x x 
x x 
= - - + 
- - 
2 
0 
2 2 
0 0 
1 
0 
( 1) ( 1) 
x 
x y 
x x 
Û + - = 
- - 
0,25 I­2 (1 điểm) 
(d)  có vec – tơ chỉ phương 
2 
0 
1 
( 1; ) 
( 1) 
u 
x 
= - 
- 
r 
0,25
0 
0 
1 
( 1; ) 
1 
IM x 
x 
= - 
- 
uuur 
Để (d) vuông góc IM điều kiện là : 
0 
0  2 
0 0 0 
0 1 1 
. 0 1.( 1) 0 
2 ( 1) 1 
x 
u IM x 
x x x 
= é 
= Û - - + = Û ê = - - ë 
r uuur  0,25 
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0) 
+ Với x0 = 2 ta có M(2, 2)  0,25 
ĐK:  sin cos 0 x x + ¹  0,25 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin cos 1 2 1 sin sin cos PT x x x x x Û - - = + + 
( ) ( ) 1 sin 1 cos sin sin .cos 0 x x x x x Û + + + + = 
( ) ( ) ( ) 1 sin 1 cos 1 sin 0 x x x Û + + + = 
0,25 
sin 1 
cos 1 
x 
x 
= - é 
Û ê = - ë 
(thoả mãn điều kiện)  0,25 II­1 
(1 điểm) 
2 
2 
2 
x k 
x m 
p p 
p p 
é = - + ê Û 
ê 
= + ë 
( ) , k mÎZ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  2 
2 
x k p p = - +  và  2 x m p p = + ( ) , k mÎZ 
0,25 
Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình 
Với  0 x ¹  , ta có: 
2 
2 2 
2 2  2 
2 
1 
4 
1 4 
( ) 2 2 7  1 
( ) 2 7 
y 
x y 
x y xy x  x 
x x y y x  y 
x y 
x 
ì + 
+ + = ï ì + + + = ï Û í í 
+ - - = + î ï + - = ï î 
0,25 
Đặt 
2  1 
, 
y 
u v x y 
x 
+ 
= = +  ta có hệ:  2 2 
4 4 3, 1 
2 7 2 15 0 5, 9 
u v u v v u 
v u v v v u 
+ = = - = = ì ì é 
Û Û í í ê - = + - = = - = î î ë  0,25 
+) Với  3, 1 v u = =  ta có hệ: 
2 2 2  1, 2 1 1 2 0 
2, 5 3 3 3 
y x y x y x y y 
y x x y x y x y 
= = ì ì ì + = + = + - = é 
Û Û Û í í í ê = - = + = = - = - ë î î î 
. 
0,25 
II­2 
(1 điểm) 
+) Với  5, 9 v u = - =  ta có hệ: 
2  1 9 
5 
y x 
x y 
ì + = 
í 
+ = - î 
, hệ này vô nghiệm. 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2). x y x y = = - 
0,25 
Đặt t =  1 ln x +  có 2tdt = 
1 
dx 
x 
x = 1 thì t = 1;  x = e thì t =  2 
0,25 
2  2 
1 1 
ln 1 
2 
1 ln 
e  x t 
dx tdt 
t x x 
- 
= = 
+ ò ò  0,25 
III 
(1 điểm) 
2 3 
1 
2( ) 
3 
t 
t = - =  0,25
2(2 2) 
3 
- 
=  0,25 
Gọi  I  là  trung  điểm  A’B’  thì 
' ' ' 
' ( ' ') 
' AA ' 
C I A B 
C I ABA B 
C I 
^ ü 
Þ ^ ý ^ þ 
suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính 
là góc  · ' C BI . 
Suy ra  ·  0 ' 60 C BI = 
·  15 ' . tan ' 
2 
a 
C I BI C BI = = 
Q 
P K 
M 
I 
N 
C A 
B 
A'  C' 
B' 
0,25 
3 
. ' ' ' ' ' ' 
1 . 15 . . AA '. AA ' . ' ' 
2 4 ABC A B C A B C 
a 
V S CI A B = = =  0,25 
/ / ' 
( ) / /( ' ) 
/ / ' 
NP BC 
NPQ C BI 
PQ C I 
ü 
Þ ý 
þ 
(1)  0,25 
IV 
(1 điểm) 
· · 
· ·  0 
' ( ) ' 
' 90 AM BI 
ABM BB I c g c suy ra AMB BIB 
suy ra AMB B BI 
= - - = 
+ = Þ ^ 
V V 
. 
Mặt khác theo chứng minh trên C’I ^ AM nên AM ^ ( ' ) C BI 
Suy ra (AMC) ^ ( ' ) C BI  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  (MAC) (NPQ) ^ 
0,25 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:  2 2 2 2 2 2 2 2 2  4 a b b c c a a b c + + + ³  0,25 
Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh  2 2 2  4 x y z xyz + + + ³  với mọi x, y, z 
không âm thỏa mãn: x + y + z = 3 
Không làm mất tính tổng quát giả sử  x £  y; x £  z thì x £ 1 ta có: 
0,25 
2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ( ) ( 2) 4 ( ) ( ) ( 2) 4 
4 
x y z xyz x y z yz x x y z y z x + + + - = + + + - - ³ + + + + - - =  0,25 
V 
(1 điểm) 
2 2 2 2 1 (3 ) 4 ( 1) ( 2) 0 
4 4 
x 
x x x x 
+ 
= + - - = - + ³ 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 
0,25 
N 
D 
I A  C 
B 
N' M 
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ 
thuộc AB, ta có : 
' 
' 
2 4 
2 5 
N I N 
N I N 
x x x 
y y y 
= - = ì 
í = - = - î 
0,25 VI.­1 
(1 điểm) 
Phương trình đường thẳng AB: 
4x + 3y – 1 = 0  0,25
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 
2 2 
4.2 3.1 1 
2 
4 3 
d 
+ - 
= = 
+ 
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có: 
2 2 2 
1 1 1
4 d x x 
= +  suy ra x =  5  suy ra BI =  5  0,25 
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính  5 
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 
2 2 
4x   3y  –  1   0 
( 2) ( 1) 5 x y 
+ = ì 
í 
- + - = î 
B có hoành độ dương nên B( 1; ­1) 
0,25 
Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1  , d2  , d3 
Ta có A (t, 4 – t, ­1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, ­3u) ; C (­1 + 5v, 1 + 2v, ­ 1 +v) 
0,25 
A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC 
( 1 5 ) 2 
4 (1 2 ) 2.(2 3 ) 
1 2 ( 1 ) 2( 3 ) 
t v u 
t v u 
t v u 
+ - + = ì 
ï Û - + + = - í 
ï - + + - + = - î 
0,25 
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (­ 1; 1; ­ 1)  0,25 
VI ­2 
(1 điểm) 
Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình  2 
1 1 1 
x y z - 
= =  0,25 
Gọi z = x + iy  ta có 
2 2  2 2 ; z x iy z z zz x y = - = = = +  0,25 
2 2  2 2 2 2 2 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1) z z z z x y x y + + = Û + = Û + =  0,25 
2 2 2 1 (2) z z x x + = Û = Û =  0,25 
VII 
(1 điểm) 
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ;  y =  1 ± 
Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 ­ i  0,25