Câu I: Cho hàm số y=2x-1/x-1 có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m, n để đường thẳng (d) có phương trình y=mx+n cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B đối
xứng với nhau qua đường thẳng (d1): x+3y7=0.
Trêng THPT kim thµnh ii ®Ò chÝnh thøc §Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2011 lÇn iI Môn : Toán, khối A,B (Thời gian 180 không kể phát đề) Câu I: Cho hàm số 2 1 1 x y x - = - có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m, n để đường thẳng (d) có phương trình y=mx+n cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d1): x+3y7=0. Câu II: 1. Giải phương trình: 4 4 2 2 2 sin os sin 2 1 os2 cot 2 cos 2 cot 2 1 os2 2 x c x x c x x x x c x + + + - = + - 2. Giải phương trình: ( ) 3 2 2 8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x - + + + - - + = Câu III: Tính 2 0 1 cos 2 3sin 1 I x x dx x p æ ö = + ç ÷ + + è ø ò Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 0 . Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD). Câu V: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn 1 2 a b c + + = . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c b c a c a c a b P a b b c a c b c a c a b a c a b b c + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa: 1. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3xy=0, đường thẳng BD có phương trình x2y=0, góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 4 2 6 11 0 x y z x y z + + - + - - = , mặt phẳng (P): 2x+3y2z+1=0 và đường thẳng d: 1 1 2 3 5 x z y - + = - = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) biết (Q) vuông góc với (P), song song với d và tiếp xúc với (S). Câu VIIa: Cho phương trình: 3 2 5 16 30 0 z z z - + - = (1), gọi z1, z2, z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A= 2 2 2 1 2 3 z z z + + . B. Theo chương trình nâng cao Câu VIb: 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2 2 4 4 0 x y x y + - + - = và đường thẳng d có phương trình x+y+m=0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kể được hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; 1) và đường thẳng d có phương trình: 1 1 2 1 3 x y z - - = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất . Câu VIIb: Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 5 5 1 log 1 log 4 x mx x m + + ³ + + được nghiệm đúng với mọi xÎR. .H ết ....... Họ v tên.................................... SBD................... Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm . www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II Câu Đáp án Điểm I 1) Txd: D=R\{1} 2 1 lim 2 1 x x x ®±¥ - = - =>y=2 là đường tiệm cận ngang. 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + - ® ® - - = +¥ = -¥ - - =>x=1 là đường tiệm cận đứng ( ) 2 1 ' 0 1 y x = - < - với mọi x D Î Bảng biến thiên: x ¥ 1 +¥ y' y 2 +¥ ¥ 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng:(¥ ;1) và (1;+¥ ) Hàm số không tồn tại cực trị Khi x=0 =>y=1; x=1=>y=3/2 Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng 2) phương trình đường thẳng d1: 1 7 3 3 y x = - + Vì A, B đối xứng qua d1=> m=3 (do khi đó d^ d1) Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+n Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 2 1 3 1 x x n x - = + - điều kiện x¹ 1 ( ) 2 3 5 1 0 x n x n Û + - - + = (1) Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ta có điều kiện ( ) ( ) 2 5 12 1 0 3 5 1 0 n n n n ìD = - - - > ï í + - - - ¹ ï î đúng với mọi n Gọi tọa độ đỉnh A(xA;3xA+n), B(xB;3xB+n)=> tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ( ) 3 ; 2 2 A B A B x x x x I n + æ ö + + ç ÷ è ø , theo định li viet ta có: 5 3 A B n x x - + = tọa độ điểm 5 5 ; 6 2 n n I - + æ ö ç ÷ è ø , vì A, B đối xứng qua d1 => IÎd1=>n=1 Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ II 1) Giải phương trình: 4 4 2 2 2 sin os sin 2 1 os2 cot 2 os2 cot 2 1 os2 2 x c x x c x xc x x c x + + + - = + - (1) Điều kiện: sin 2 0 , 2 x x k k Z p ¹ Û ¹ Î (1)Û ( ) ( ) 2 2 2 sin 2 1 cot 2 1 os2 0 2 1 os2 2 x x c x c x + æ ö - + + = ç ÷ - è ø os4 1 c x Û = 2 x n p Û = ,nÎZ(loại) Vậy phương trình vô nghiệm. 2) Giải phương trình: ( ) 3 2 2 8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x - + + + - - + = (1) Đk: 2 5 5 0 x x - + ³ Từ (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 6 3 5 5 5 x x x x x x Þ - - - + - - + = ( ) 2 2 3 5 2 6 5 5 0(2) x loai x x x x é = Û ê ê - - + - + = ë Giải (2): đặt 2 5 5 x x - + =t, điều kiện t³0 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 6 7 0 7 t tm t t t loai = é Û + - = Û ê = - ê ë Với t=1=> 2 5 5 x x - + =1 ( ) 1 4 x tm x = é ê = ë Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=4 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ III Tính : 2 2 2 0 0 0 1 cos cos cos 2 3sin 1 2 3sin 1 x I x x dx dx x xdx x x p p p æ ö = + = + ç ÷ + + + + è ø ò ò ò 2 1 0 cos 2 3 1 2 ln 3 4 2 3sin 1 x I dx x p æ ö = = + ç ÷ + + è ø ò 2 2 2 2 0 0 0 cos sin sin x 1 2 I x xdx x x dx p p p p = = - = - ò ò 1 2 4 3 1 ln 3 4 2 3 I I I p = + = + - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ IV Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B xuống B’I, vì A=60 0 => DABD đều cạnh a. ( ) ' ' BI AD BIB AD BB AD ^ ü Þ ^ ý ^ þ =>B’IB=30 0 Mà 3 2 a BI = => 0 ' . tan 30 2 a BB BI = = Diện tích đáy ABCD là: 0,25 đ 0,25 đ I B A B' A' D D' C C' K ( ) 2 3 2 d 2 ABCD ABD a S S dv t = = Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là ( ) 3 3 '. 4 ABCD a V BB S dvtt = = Do BC//AD=>BC//(B’AD)=> khoảng cách từ BC tới mặt phẳng (B’AD) bằng khoảng cách từ B tới (B’AD). Vì ( ) ' ' BK B I BK B AD BK AD ^ ü Þ ^ ý ^ þ Xét DB’BI vuông tại B ta có 2 2 2 1 1 1 3 ' 4 a BK BK BI BB = + Þ = Vậy khoảng cách từ đường thẳng BC tới (B’AD) bằng 3 4 a . 0,25 đ 0,25 đ V Đặt a+b=x; b+c=y; a+c=z=>x+y+z=2(a+b+c)=1 xy yz zx P xy z yz x zx y => = + + + + + Ta có ( ) ( ) ( ) xy xy xy xy z xy z x y z x z y z = = + + + + + + 1 . 2 xy x y x y xy z x z y z x z y z æ ö Þ = £ + ç ÷ + + + + + è ø (1) Chứng minh tương tự 1 . 2 yz y z y z yz x y x z x y x z x æ ö = £ + ç ÷ + + + + + è ø (2) 1 . 2 zx z x z x zx y z y x y z y x y æ ö = £ + ç ÷ + + + + + è ø (3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được: 3 2 P £ => PMax= 3 2 khi a=b=c= 1 6 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Phần riêng A. Theo chương trình chuẩn VI.a 1) tọa độ điểm D là: 3 0 0 2 0 0 x y x x y y - = = ì ì Û í í - = = î î => D(0;0)ºO Vecto pháp tuyến của đường thẳng AD và BD lần lượt là ( ) ( ) 1 2 3; 1 , 1; 2 n n - - ur uur => ( ) 0 1 os 45 2 c ADB ADB = Þ = => AD=AB (1) Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 45 0 => BCD=45 0 => DBCD vuông cân tại B=>DC=2AB Theo bài ra ta có: ( ) 2 1 3. 24 2 2 ABCD AB S AB CD AD = + = = =>AB=4=>BD=4 2 Gọi tọa độ điểm ; 2 B B x B x æ ö ç ÷ è ø , điều kiện xB>0 0,25 đ 0,25 đ B D C A => 2 2 8 10 ( ) 5 4 2 2 8 10 ( ) 5 B B B B x loai x BD x x tm é = - ê æ ö ê = + = Û ç ÷ ê è ø = ê ë uuur Tọa độ điểm 8 10 4 10 ; 5 5 B æ ö ç ÷ ç ÷ è ø Vecto pháp tuyến của BC là ( ) 2;1 BC n = uuur => phương trình đường thẳng BC là: 2 4 10 0 x y + - = 2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R=5 Vectơ pháp tuyến của (P): ( ) ( ) 2;3; 2 P n = - uuur Vectơ chỉ phương của d: ( ) 3;1;5 u r Vectơ pháp tuyến của (Q): ( ) ( ) ( ) 17; 16; 7 Q P n n u = Ù = - - uuur uuur r vì (Q)^ (P); (Q)//d Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 17x16y7z+D=0 Theo bài ra ta có: ( ) ( ) 2 2 2 15 66 29 34 16 21 ; 5 17 16 7 15 66 29 D D d I Q D é = - + - + = = Û ê + + = - - ê ë Phương trình mặt phẳng (Q): 17 16 7 15 66 29 0 x y z - - + - = hoặc 17 16 7 15 66 29 0 x y z - - - - = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ VII.a 3 2 5 16 30 0 z z z - + - = có 3 nghiệm là: 1 2 3 3; 1 3 ; 1 3 z z i z i = = + = + => 2 2 2 1 2 3 7 A z z = + + = - 0,5 đ 0,5 đ B. Theo trương trình nâng cao VI.b 1) Phương trình đường tròn có tâm I(1;2) bán kính R=3, từ A kể được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và AB^AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3=>IA=3 2 . Để điểm A duy nhất => đường thẳng IA vuông góc với d ta có: ( ) 5 1 ; 3 2 7 2 m m d I d m = - - é = = Û ê = ë 2) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH³HI=> HI lớn nhất khi A º I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH uuur là vecto pháp tuyến ( ) 1 2 ; ;1 3 H d H t t t Î Þ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên Vecto chỉ phương của d là: ( ) 2;1;3 u = r ( ) ( ) 0 4;1;4 7; 1;5 AH d AHu H AH ^ Þ = Þ Þ - - uuurr uuur Phương trình mặt phẳng (P):7x+y5z77=0 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ VII.b Điều kiện: 2 4 0 mx x m + + > đúng với x R " Î 2 0 2 4 0 m m m > ì Û Û > í D = - < î (1) ( ) ( ) 2 2 5 1 log 1 log 4 x mx x m + + ³ + + ( ) 2 5 4 5 0 m x x m Û - - + - ³ đúng với x R " Î 2 5 5 0 3 0 10 21 0 m m m m m ì ì Û Û Û £ í í D £ - + - £ î î (2) Từ (1), (2)=> bất phương trình đúng với x R " Î khi m=3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Thí sinh vẫn được điểm tối đa nếu làm đúng các bài trên theo cách khác.
Tài liệu đính kèm: