Đề thi thử đại học lần II môn Toán (khối A - B - D)

SỎ GD&DT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN (Khối A - B - D) - Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG (7 điểm). Dành cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm).	Cho hàm số (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .
	Câu II (2 điểm)	
	1. Giải phương trình lượng giác:.
	2. Giải hệ phương trình: 
	Câu III (1 điểm).	Tính tích phân sau:	
	Câu IV (1 điểm).
Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, và . Gọi M là trung điểm CD. 
	1. Tính thể tích khối chóp S.ABMD theo a.
	2. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AB và SM theo a.
	Câu V (1 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	. 
PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B.
	A. Theo chương trình Chuẩn
	Câu VI.a (2 điểm)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: , đường chéo BD: và đường chéo AC đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
 Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng .
	a. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau và vuông góc với nhau.
	b. Viết phương trình đường cắt cả hai đường thẳng đồng thời song song với đường thẳng .
	Câu VII.a (1 điểm). 
	Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện và là một số thuần ảo.
	B. Theo chương trình Nâng cao.
	Câu VI.b (2 điểm)
	1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip và đường thẳng . Chứng minh rằng 	đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm điểm sao cho có diện tích 	bằng 6.
	2. Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng và .
	a. Chứng minh rằng chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
	b. Gọi AB là đường vuông góc chung của và (). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
	Câu VII.b (1 điểm). 	Giải hệ phương trình:	 	
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
(1 đ)
Với ta được hàm số .
1/ TXĐ: 
2/ Sự biến thiên:
- Giới hạn: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 
- Chiều biến thiên:
 hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
- Bảng biến thiên
1 
 1
3/ Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm , cắt trục Oy tại điểm 
0.25 đ
0.25 đ
0.5 đ
2
(1 đ)
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1):
- Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
 (**)
- Khi đó gọi là các nghiệm của PT (*), ta có 
- Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là .
Suy ra 
Theo giả thiết ta được 
- Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm.
 0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
II
1
(1 đ)
Giải phương trình: . 
Vậy PT ban đầu có 1 họ nghiệm : 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
Giải hệ PT: (I)
* Nếu thì hệ (I) vô nghiệm.
* Nếu thì chia cả hai vế của cả hai PT trong hệ cho ta được hệ tương đương
- Đặt , ta được hệ phương trình:
 hoặc 
- Với 
- Với 
- Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm .
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
III
(1 đ)
Tính tích phân:
- Tính . Đặt 
- Tính 
 Đặt 
 Đổi cận : 
x
0
t
0
 Đặt 
 Đổi cận: 
x
0
t
1
, đặt 
 Đổi cận:
t
1
u
Vậy 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
IV
(1 đ)
1
(0.5 đ)
S
M
G
D
C
B
A
* Tính thể tích S.ABMD.
- Nhận thấy: SG là chiều cao của khối chóp S.ABMD,;
Do ABCD là hình thoi cạnh a, và là các tam giác đều cạnh a, M là trung điểm CD
Vậy 
0.25 đ
0.25 đ
2
(0.5 đ)
* Tính khoảng cách giữa AB và SM:
- Nhận thấy: , mà
- Lại có: 
Mặt khác 
Vì nên 
Mà 
.
Vậy 
0.25 đ
0.25 đ
V
(1 đ)
- Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
Tương tự cho 2 hạng tử còn lại, ta được:
- Sử dụng BĐT AM-GM để đánh giá mẫu số, ta có:
- Lại có: 
Suy ra 
.
Vậy 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
VI.a
1
(1 đ)
* Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật:
- Ta có: suy ra tọa độ B là nghiệm hệ: 
- Giả sử 
Do 
.
Lại có: . Mà ABCD là hình chữ nhật nên 
.
 với 
- Mặt khác điểm cùng phương
Vậy là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm.
0.25 đ
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
1
(1 đ)
.
Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là 
Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là .
a/ Ta có 
 chéo nhau.
Lại có . Vậy , chéo và vuông góc với nhau.
b/ Gọi 
 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Lại có là vectơ chỉ phương của , 
do đó cùng phương với 
. Vậy đường thẳng cần tìm là .
0.25 đ
0.25 đ
0,25 đ
0.25 đ
VII.a
(1 đ)
* Tìm số phức z...
Đặt 
Và là một số thuần ảo khi và chỉ khi 
. Vậy có hai số phức cần tìm: và 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
VI.b
1
(1 đ)
* Chứng minh đường thẳng d cắt (E) tại 2 điểm ...
- Xét hệ PT giao điểm là các giao điểm của d và (E).
- Gọi (1). Ta có 
Theo giả thiết suy ra 
- Từ (1) và (2) ta được PT , PT này vô nghiệm
- Từ (1 và (3) ta được PT .
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 
 và .
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
Ta có: và .
 đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là 
 đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là .
a/ 
Suy ra và chéo nhau.
b/ Ta có 
Do AB là đường vuông góc chung nên 
.
Mặt cầu đường kính AB có PT là: .
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
VII.b
Giải hệ PT: 
- ĐK: .
Đặt , PT (1) trở thành 
Thay vào PT (2) ta được PT 
.
Vậy hệ có 2 nghiệm là 
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.
	- Câu IV phải vẽ hình, nếu không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm.	
	- Thí sinh thi khối D thì câu I.1 cho 1.5 điểm; câu II.1 cho 1.5 đ; câu II.2 cho 1.5 đ